Tìm m để đồ thị hàm số đạt cực trị tại các điểm A, B thỏa mãn điều kiện K.
Phương pháp giải cực trị hàm bậc 3 có chứa tham số m
Xét hàm số $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$
Khi $y’=3a{{x}^{2}}+2bx+c=0$ có hai nghiệm phân biệt ta gọi $Aleft( {{x}_{1}};{{y}_{1}} right)$ và $Bleft( {{x}_{2}};{{y}_{2}} right)$là tọa độ hai điểm cực trị thì theo định lý Viet ta có: $left{ begin{matrix} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=frac{-2b}{3a} \ {{x}_{1}}{{x}_{2}}=frac{c}{3a}text{ } \end{matrix} right..$
Thực hiện phép chia đa thức $y$ cho $y’$ ta được $y=y’.gleft( x right)+hleft( x right).$
Khi đó ${{y}_{1}}=y’left( {{x}_{1}} right).gleft( {{x}_{1}} right)+hleft( {{x}_{1}} right)=hleft( {{x}_{1}} right)$ và ${{y}_{2}}=y’left( {{x}_{2}} right).gleft( {{x}_{2}} right)+hleft( {{x}_{2}} right)=hleft( {{x}_{2}} right)$
Chú ý:
Độ dài đoạn thẳng $AB=sqrt{{{left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} right)}^{2}}+{{left( {{y}_{1}}-{{y}_{2}} right)}^{2}}}.$
$overrightarrow{OA}.overrightarrow{OB}=left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} right)left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} right)={{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{y}_{1}}{{y}_{2}}.$
Tam giác $CAB$ vuông tại $C$ thì $overrightarrow{CA}.overrightarrow{CB}=0.$
Công thức diện tích $Delta CAB:{{S}_{CAB}}=frac{1}{2}dleft( C;AB right).AB.$
Bài tập tìm m để hàm số đạt cực đại cực tiểu tại A, B thõa mãn điều kiện K
| Bài tập 1: Cho hàm số $y=frac{2}{3}{{x}^{3}}+left( m-1 right){{x}^{2}}-4mleft( 3m-1 right)x+7.$ Tìm $m$ để hàm số có cực đại, cực tiểu tại ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ sao cho $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=8$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: $y’=2{{x}^{2}}+2left( m-1 right)x-4mleft( 3m-1 right);forall xin mathbb{R}$
Đặt $fleft( x right)={{x}^{2}}+left( m-1 right)x-2mleft( 3m-1 right).$
Để hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu $Leftrightarrow y’=0$ có hai nghiệm phân biệt $Leftrightarrow fleft( x right)=0$ có hai nghiệm phân biệt
$Leftrightarrow {{Delta }_{fleft( x right)}}>0Leftrightarrow {{left( m-1 right)}^{2}}+8mleft( 3m-1 right)>0Leftrightarrow 25{{m}^{2}}-10m+1>0Leftrightarrow {{left( 5m-1 right)}^{2}}>0Leftrightarrow mne frac{1}{5}$
Khi đó gọi $Aleft( {{x}_{1}};{{y}_{1}} right)$, $Bleft( {{x}_{2}};{{y}_{2}} right)$ lần lượt là tọa độ của hai điểm cực trị, áp dụng định lý Viet cho phương trình $fleft( x right)=0$ suy ra $left{ begin{matrix}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=1-mtext{ } \{{x}_{1}}{{x}_{2}}=2mleft( 1-3m right)text{ } \end{matrix} right.(*)$
Từ giả thiết, ta có $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=8Leftrightarrow {{left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}=8,$ kết hợp với (*) ta được
${{left( 1-m right)}^{2}}-4mleft( 1-3m right)=8Leftrightarrow {{m}^{2}}-2m+1+12{{m}^{2}}-4m=8Leftrightarrow 13{{m}^{2}}-6m-7=0Leftrightarrow left[ begin{matrix} m=1 \ m=frac{-7}{13} \end{matrix} right.$
Đối chiếu với điều kiện $mne frac{1}{5}$ nên $m=1;m=frac{-7}{13}$ là giá trị cần tìm.
| Bài tập 2: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-frac{3}{2}left( 4m+1 right){{x}^{2}}-3left( 5{{m}^{2}}+m right)x-m-1.$ Tìm $m$ để hàm số có cực đại, cực tiểu và hoành độ các điểm cực trị lớn hơn$-4$. |
Lời giải chi tiết
Ta có: $y’=3{{x}^{2}}-3left( 4m+1 right)x-3left( 5{{m}^{2}}+m right);forall xin mathbb{R}$
Đặt $fleft( x right)={{x}^{2}}-left( 4m+1 right)x-5{{m}^{2}}-m.$
Để hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu $Leftrightarrow y’=0$ có hai nghiệm phân biệt $Leftrightarrow fleft( x right)=0$ có hai nghiệm phân biệt
$Leftrightarrow {{Delta }_{fleft( x right)}}>0Leftrightarrow {{left( 4m+1 right)}^{2}}+4left( 5{{m}^{2}}+m right)=36{{m}^{2}}+12m+1={{left( 6m+1 right)}^{2}}>0Leftrightarrow mne frac{-1}{6}$
Khi đó gọi $Aleft( {{x}_{1}};{{y}_{1}} right)$, $Bleft( {{x}_{2}};{{y}_{2}} right)$ lần lượt là tọa độ của hai điểm cực trị, áp dụng định lý Viet cho phương trình $fleft( x right)=0$ suy ra $left{ begin{matrix} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=4m+1text{ } \ {{x}_{1}}{{x}_{2}}=-5{{m}^{2}}-mtext{ } \end{matrix} right.(*)$
Từ giả thiết, ta có $left{ begin{matrix} {{x}_{1}}>-4 \ {{x}_{2}}>-4 \end{matrix} right.Leftrightarrow left{ begin{matrix} {{x}_{1}}+4>0 \ {{x}_{2}}+4>0 \end{matrix} right.Leftrightarrow left{ begin{matrix} left( {{x}_{1}}+4 right)+left( {{x}_{2}}+4 right)>0 \ left( {{x}_{1}}+4 right)left( {{x}_{2}}+4 right)>0text{ } \end{matrix} right.Leftrightarrow left{ begin{matrix} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}>-8text{ } \ {{x}_{1}}{{x}_{2}}+4left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} right)+16>0 \end{matrix} right.$
Kết hợp với (*) ta được
$left{ begin{matrix} 4m+1>-8text{ } \ -5{{m}^{2}}-m+4left( 4m+1 right)+16>0 \end{matrix} right.Leftrightarrow left{ begin{matrix} 4m>-9text{ } \ 5{{m}^{2}}-15m-20-9text{ } \ -1
Đối chiếu với điều kiện $mne frac{-1}{6}$ nên suy ra $min left( -1;frac{-1}{6} right)cup left( frac{-1}{6};4 right)$ là giá trị cần tìm.
| Bài tập 3: Cho hàm số $y={{x}^{3}}+left( m-3 right)frac{{{x}^{2}}}{2}-2left( {{m}^{2}}-m right)x+1.$ Tìm $m$ để hàm số có cực đại, cực tiểu sao cho $x_{1}^{2}.{{x}_{2}}+{{x}_{1}}.x_{2}^{2}=frac{-16}{9}.$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: $y’=3{{x}^{2}}+left( m-3 right)x-2left( {{m}^{2}}-m right);forall xin mathbb{R}$
Đặt $fleft( x right)=3{{x}^{2}}+left( m-3 right)x-2left( {{m}^{2}}-m right).$
Để hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu $Leftrightarrow y’=0$ có hai nghiệm phân biệt $Leftrightarrow fleft( x right)=0$ có hai nghiệm phân biệt
$Leftrightarrow {{Delta }_{fleft( x right)}}>0Leftrightarrow {{left( m-3 right)}^{2}}+24left( {{m}^{2}}-m right)=25{{m}^{2}}-30m+9={{left( 5m-3 right)}^{2}}>0Leftrightarrow mne frac{5}{3}$
Khi đó gọi $Aleft( {{x}_{1}};{{y}_{1}} right)$, $Bleft( {{x}_{2}};{{y}_{2}} right)$ lần lượt là tọa độ của hai điểm cực trị, áp dụng định lý Viet cho phương trình $fleft( x right)=0$ suy ra ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=frac{3-m}{3};{{x}_{1}}{{x}_{2}}=frac{2m-2{{m}^{2}}}{3}text{ (*)}$
Từ giả thiết, ta có $x_{1}^{2}.{{x}_{2}}+{{x}_{1}}.x_{2}^{2}=frac{-16}{9}Leftrightarrow {{x}_{1}}{{x}_{2}}left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} right)+frac{16}{9}=0.$ Kết hợp với (*) ta được
$frac{2m-2{{m}^{2}}}{3}.frac{3-m}{3}+frac{16}{9}=0Leftrightarrow left( 2m-2{{m}^{2}} right)left( 3-m right)+16=0$
$Leftrightarrow 6m-2{{m}^{2}}-6{{m}^{2}}+2{{m}^{3}}+16=0Leftrightarrow 2{{m}^{3}}-8{{m}^{2}}+6m+16=0Leftrightarrow m=-1.$
Đối chiếu với điều kiện $mne frac{5}{3}$ nên suy ra $m=-1$ là giá trị cần tìm.
| Bài tập 4: Cho hàm số $y=frac{1}{3}{{x}^{3}}-left( 2m+3 right)frac{{{x}^{2}}}{2}+left( {{m}^{2}}+3m right)x-m+1.$ Tìm $m$ để hàm số có cực đại, cực tiểu sao cho $x_{CD}^{3}-2{{x}_{CT}}=-10.$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: $y’={{x}^{2}}-left( 2m+3 right)x+{{m}^{2}}+3m;forall xin mathbb{R}$
Đặt $fleft( x right)={{x}^{2}}-left( 2m+3 right)x+{{m}^{2}}+3m.$
Để hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu $Leftrightarrow y’=0$ có hai nghiệm phân biệt $Leftrightarrow fleft( x right)=0$ có hai nghiệm phân biệt$Leftrightarrow {{Delta }_{fleft( x right)}}>0Leftrightarrow {{left( 2m+3 right)}^{2}}-4left( {{m}^{2}}+3m right)=9>0Leftrightarrow min mathbb{R}$
Khi đó gọi $Aleft( {{x}_{1}};{{y}_{1}} right)$, $Bleft( {{x}_{2}};{{y}_{2}} right)$ lần lượt là tọa độ của hai điểm cực trị, ta có
$left[ begin{matrix} {{x}_{1}}=frac{-b+sqrt{Delta }}{2a}=frac{2m+3+3}{2}=m+3 \ {{x}_{2}}=frac{-b-sqrt{Delta }}{2a}=frac{2m+3-3}{2}=mtext{ } \end{matrix} right.Rightarrow {{x}_{1}}>{{x}_{2}}text{ }left( 3>0Rightarrow m+3>m right)$
Mặt khác, vì hệ số của hàm số bậc ba $a=frac{1}{3}>0$ do đó suy ra
${{x}_{1}}={{x}_{CT}}=m+3;{{x}_{2}}={{x}_{CD}}=mtext{ (*)}$
Từ giả thiết, ta có $x_{CD}^{3}-2{{x}_{CT}}=-10.$ Kết hợp với (*) ta được
${{m}^{3}}-2left( m+3 right)=-10Leftrightarrow {{m}^{3}}-2m+4=0Leftrightarrow m=-2$
Đối chiếu với điều kiện $min mathbb{R}$ nên suy ra $m=-2$ là giá trị cần tìm.
| Bài tập 5: Cho hàm số $y=frac{-1}{3}{{x}^{3}}-left( 2m-1 right)frac{{{x}^{2}}}{2}+left( m-{{m}^{2}} right)x.$ Tìm $m$ để hàm số có cực đại, cực tiểu sao cho $3x_{CT}^{2}+x_{CD}^{2} |
Lời giải chi tiết
Ta có: $y’=-{{x}^{2}}+left( 2m-1 right)x+m-{{m}^{2}};forall xin mathbb{R}$
Đặt $fleft( x right)={{x}^{2}}-left( 2m-1 right)x+{{m}^{2}}-m.$
Để hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu $Leftrightarrow y’=0$ có hai nghiệm phân biệt $Leftrightarrow fleft( x right)=0$ có hai nghiệm phân biệt$Leftrightarrow {{Delta }_{fleft( x right)}}>0Leftrightarrow {{left( 2m-1 right)}^{2}}-4left( {{m}^{2}}-m right)=1>0Leftrightarrow min mathbb{R}$
Khi đó gọi $Aleft( {{x}_{1}};{{y}_{1}} right)$, $Bleft( {{x}_{2}};{{y}_{2}} right)$ lần lượt là tọa độ của hai điểm cực trị, ta có
$left[ begin{matrix} {{x}_{1}}=frac{-b+sqrt{Delta }}{2a}=frac{2m-1+1}{2}=mtext{ } \ {{x}_{2}}=frac{-b-sqrt{Delta }}{2a}=frac{2m-1-1}{2}=m-1text{ } \end{matrix} right.Rightarrow {{x}_{1}}>{{x}_{2}}text{ }left( 0>-1Rightarrow m>m-1 right)$
Mặt khác, vì hệ số của hàm số bậc ba $a=frac{-1}{3}
${{x}_{1}}={{x}_{CT}}=m-1;{{x}_{2}}={{x}_{CD}}=mtext{ (*)}$
Từ giả thiết, ta có $3x_{CT}^{2}+x_{CD}^{2}
$3{{left( m-1 right)}^{2}}+{{m}^{2}}
Đối chiếu với điều kiện $min mathbb{R}$ nên suy ra $frac{1}{2}
| Bài tập 6: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-left( 2m+1 right){{x}^{2}}+mx+2left( C right).$ Tìm $m$ để hàm số có 2 cực trị tại ${{x}_{1}}$ và ${{x}_{2}}$ thỏa mãn $A=4{{x}_{1}}{{x}_{2}}+3left( x_{1}^{2}+x_{2}^{2} right)=2$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: $y’=3{{x}^{2}}-2left( 2m+1 right)x+m=0text{ (1)}text{.}$
Để hàm số đã cho 2 điểm cực trị $Leftrightarrow PT(1)$ có hai nghiệm phân biệt
$Leftrightarrow Delta ‘={{left( 2m+1 right)}^{2}}-3m>0Leftrightarrow 4{{m}^{2}}+m+1>0Leftrightarrow min mathbb{R}$
Khi đó gọi ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ là hoành độ các điểm cực trị. Theo định lý Viet ta có: $left{ begin{matrix} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=frac{2left( 2m+1 right)}{3} \ {{x}_{1}}{{x}_{2}}=frac{m}{3}text{ } \end{matrix} right.$
Do vậy $A=4{{x}_{1}}{{x}_{2}}+3left[ {{left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}} right]=3{{left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}=frac{4{{left( 2m+1 right)}^{2}}}{3}-frac{2m}{3}$
$A=frac{16{{m}^{2}}+14m+4}{3}=2Leftrightarrow 16{{m}^{2}}+14m-2=0Leftrightarrow left[ begin{matrix} m=-1 \ m=frac{1}{8}text{ } \end{matrix} right..$
Vậy $m=-1;m=frac{1}{8}$ là các giá trị cần tìm.
| Bài tập 7: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+3mx+2left( C right).$ Tìm giá trị của tham số $m$ để hàm số có 2 điểm cực trị tại ${{x}_{1}}$ và ${{x}_{2}}$ sao cho$2{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=5.$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: $y’=3{{x}^{2}}-6x+3m=0Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x+m=0text{ (1)}$
Để hàm số đã cho 2 điểm cực trị $Leftrightarrow PT(1)$ có hai nghiệm phân biệt $Leftrightarrow Delta ‘=1-m>0Leftrightarrow m
Khi đó gọi ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$là hoành độ các điểm cực trị. Theo định lý Viet ta có: $left{ begin{matrix} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2 \ {{x}_{1}}{{x}_{2}}=mtext{ } \end{matrix} right.$
Kết hợp: $left{ begin{matrix} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2text{ } \ begin{array} {} 2{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=5 \ {} {{x}_{1}}{{x}_{2}}=m \ end{array} \end{matrix} right.Leftrightarrow left{ begin{matrix} {{x}_{1}}=-1text{ } \ begin{array} {} {{x}_{2}}=3 \ {} m={{x}_{1}}{{x}_{2}}=-3text{ }(tm) \ end{array} \end{matrix} right.$
Vậy $m=-3$ là giá trị cần tìm.
| Bài tập 8: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3left( m+1 right){{x}^{2}}+6mx+2left( C right).$ Tìm giá trị của tham số $m$ để hàm số có 2 điểm cực trị tại ${{x}_{1}}$ và ${{x}_{2}}$ đều dương và thỏa mãn$sqrt{{{x}_{1}}}+sqrt{{{x}_{2}}}=sqrt{10}.$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: $y’=3{{x}^{2}}-6left( m+1 right)x+6m=0Leftrightarrow {{x}^{2}}-2left( m+1 right)x+2m=0text{ (1)}text{.}$
Để hàm số đã cho 2 điểm cực trị dương$Leftrightarrow PT(1)$ có hai nghiệm phân biệt dương
$Leftrightarrow left{ begin{matrix} Delta ‘={{left( m+1 right)}^{2}}-2m={{m}^{2}}+1>0 \ 2left( m+1 right)>0text{ } \ 2m>0text{ } \end{matrix} right.Leftrightarrow m>0.$
Khi đó gọi ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$là hoành độ các điểm cực trị. Theo định lý Viet ta có: $left{ begin{matrix} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m+2 \ {{x}_{1}}{{x}_{2}}=2mtext{ } \end{matrix} right.$
Theo giả thiết, ta có ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}+2sqrt{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}2m+2+2sqrt{2m}=10Leftrightarrow 2m+2sqrt{m}-8=0.$
Đặt $t=sqrt{2m}text{ }left( tge 0 right)$ ta có: ${{t}^{2}}+2t-8=0Leftrightarrow left[ begin{matrix} t=2Rightarrow sqrt{2m}=2Leftrightarrow m=2text{ }left( tm right) \ t=-4text{ }(loai)text{ } \end{matrix} right.$
Vậy $m=2$ là giá trị cần tìm.
| Bài tập 9: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+3left( 2m+1 right)x+1left( C right).$ Tìm giá trị của tham số $m$ để hàm số có 2 điểm cực trị tại ${{x}_{1}}$ và ${{x}_{2}}$ đều dương và thỏa mãn$frac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}}+frac{{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}}=-6.$. |
Lời giải chi tiết
Ta có: $y’=3{{x}^{2}}-6mx+3left( 2m+1 right)=0Leftrightarrow {{x}^{2}}-2mx+2m+1=0text{ (1)}$
Để hàm số đã cho 2 điểm cực trị $Leftrightarrow PT(1)$ có 2 nghiệm phân biệt $Leftrightarrow Delta ‘={{m}^{2}}-2m-1>0text{ (*)}$
Khi đó gọi ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$là hoành độ các điểm cực trị. Theo định lý Viet ta có: $left{ begin{matrix} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2mtext{ } \ {{x}_{1}}{{x}_{2}}=2m+1text{ } \end{matrix} right.$
Theo giả thiết, ta có $frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=frac{{{left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=frac{4{{m}^{2}}-2left( 2m+1 right)}{2m+1}=-6$
$Leftrightarrow left[ begin{matrix} mne frac{1}{2}text{ } \ 4{{m}^{2}}+8m+4=0 \end{matrix} right.Leftrightarrow m=-1text{ }left( tm right).$ Vậy $m=-1$ là giá trị cần tìm.
| Bài tập 10: Cho hàm số $y=frac{1}{3}{{x}^{3}}-frac{1}{2}left( 2m-1 right){{x}^{2}}+mx+1$ có đồ thị là $left( C right).$Tìm $m$ để hàm số có 2 điểm cực trị tại hai điểm có hoành độ ${{x}_{1}}$ và ${{x}_{2}}$ sao cho $left( {{x}_{1}}+1 right)left( {{x}_{2}}+1 right)=2$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: $y’={{x}^{2}}-left( 2m-1 right)x-mtext{ (*)}$
Để hàm số đạt cực trị tại hai điểm phân biệt thì (*) có 2 nghiệm phân biệt $Leftrightarrow Delta >0Leftrightarrow {{left( 2m-1 right)}^{2}}+4m>0Leftrightarrow 4{{m}^{2}}+1>0,forall m$
Gọi ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$là hoành độ của hai điểm cực trị $Rightarrow {{x}_{1}},{{x}_{2}}$là hai nghiệm của phương trình
$left( * right)Leftrightarrow left{ begin{matrix} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m-1text{ } \ {{x}_{1}}{{x}_{2}}=-mtext{ } \end{matrix} right.$
Ta có $left( {{x}_{1}}+1 right)left( {{x}_{2}}+1 right)=2Leftrightarrow {{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+1=2Leftrightarrow -m+2m-1+1=2Leftrightarrow m=2$
Vậy $m=2$ là giá trị cần tìm.
| Bài tập 11: Cho hàm số $y=frac{1}{3}{{x}^{3}}-frac{1}{2}left( m-1 right){{x}^{2}}+x+2$, có đồ thị là $left( C right).$Tìm $m$ để hàm số đạt cực trị tại hai điểm có hoành độ ${{x}_{1}}$,${{x}_{2}}$ sao cho $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=18$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: $y’={{x}^{2}}-left( m-1 right)x+1text{ (*)}$
Để hàm số đạt cực trị tại hai điểm phân biệt thì (*) có 2 nghiệm phân biệt $Leftrightarrow Delta >0Leftrightarrow {{left( m-1 right)}^{2}}-4>0Leftrightarrow {{m}^{2}}-2m-3>0Leftrightarrow left[ begin{matrix} m>3 \ m
Gọi ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$là hoành độ của hai điểm cực trị $Rightarrow {{x}_{1}},{{x}_{2}}$là hai nghiệm của phương trình
$left( * right)Leftrightarrow left{ begin{matrix} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=m-1text{ } \ {{x}_{1}}{{x}_{2}}=1text{ } \end{matrix} right.$
Ta có $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=18Leftrightarrow {{left( x_{1}^{{}}+x_{2}^{{}} right)}^{3}}-3x_{1}^{{}}x_{2}^{{}}left( x_{1}^{{}}+x_{2}^{{}} right)=18$
$Leftrightarrow {{left( m-1 right)}^{3}}-3left( m-1 right)=18Leftrightarrow {{m}^{3}}-3{{m}^{2}}-16=0Leftrightarrow left( m-4 right)left( {{m}^{2}}+m+4 right)=0Leftrightarrow m=4$
Vậy $m=4$ là giá trị cần tìm.
| Bài tập 12: Tìm $m$ để hàm số $y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+3x+1$đạt cực trị tại ${{x}_{1}}$;${{x}_{2}}$ sao cho ${{left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+1 right)}^{2}}=25{{x}_{1}}{{x}_{2}}.$ |
Lời giải chi tiết
$y’=3{{x}^{2}}-6mx+3=text{3}left( {{x}^{2}}-2mx+1 right);y’=0Leftrightarrow {{x}^{2}}-2mx+1=0.$
Hàm số đã cho đạt cực trị tại ${{x}_{1}}$;${{x}_{2}}$$Leftrightarrow y’=0$ có 2 nghiệm phân biệt
$Leftrightarrow Delta ‘={{m}^{2}}-1>0Leftrightarrow left[ begin{matrix} m>1text{ } \ m
Theo định lý Viet có ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m;{{x}_{1}}{{x}_{2}}=1$
Theo đề bài ${{left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+1 right)}^{2}}=25{{x}_{1}}{{x}_{2}}$ nên ${{left( 2m+1 right)}^{2}}=25Leftrightarrow left[ begin{matrix} 2m+1=5text{ } \ 2m+1=-5 \end{matrix} right.Leftrightarrow left[ begin{matrix} m=2text{ } \ m=-3 \end{matrix} right.text{ }left( TMleft( * right) right)$
Đ/s: $m=2$ hoặc $m=-3$.
| Ví dụ 13: Cho hàm số $y=2{{x}^{3}}-3left( m+1 right){{x}^{2}}+6mx+1$$left( C right).$Tìm $m$ để hàm số đạt cực trị tại các điểm ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ thỏa mãn $4x_{1}^{2}+{{x}_{1}}+x_{2}^{2}=19.$ |
Lời giải
Ta có: $y’=6{{x}^{2}}-6left( m+1 right)x+6m=0Leftrightarrow {{x}^{2}}-left( m+1 right)x+m=0Leftrightarrow {{x}^{2}}-x-mx+m=0$
$Leftrightarrow xleft( x-1 right)-mleft( x-1 right)=0Leftrightarrow left( x-m right)left( x-1 right)=0Leftrightarrow left[ begin{matrix} x=1 \ x=m \end{matrix}text{ }left( 1 right) right.$
Để hàm số có 2 điểm cực trị thì (1) phải có 2 nghiệm phân biệt $Leftrightarrow mne 1.$
Khi đó ta xét 2 trường hợp:
TH1: Cho ${{x}_{1}}=1;{{x}_{2}}=m$ta có: $4+1+{{m}^{2}}=19Leftrightarrow m=pm sqrt{19}text{ }left( tm right)$
TH2: Cho ${{x}_{1}}=m;{{x}_{2}}=1$ta có: $4{{m}^{2}}+m+1=19Leftrightarrow 4{{m}^{2}}+m-18=0Leftrightarrow left[ begin{matrix} m=2 \ m=frac{9}{4} \end{matrix} right.text{ }left( tm right)$
Vậy $m=pm sqrt{19};m=2;m=frac{9}{4}$ là các giá trị cần tìm.
| Ví dụ 14: Cho hàm số $y=2{{x}^{3}}-3left( m+2 right){{x}^{2}}+12mx+3$$left( C right).$Tìm $m$ để hàm số đạt cực trị tại các điểm ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ thỏa mãn $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2{{x}_{1}}=7.$ |
Lời giải
Ta có: $y’=6{{x}^{2}}-6left( m+2 right)x+12m=0Leftrightarrow {{x}^{2}}-left( m+2 right)x+2m=0Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x-2mx+2m=0$
$Leftrightarrow xleft( x-2 right)-mleft( x-2 right)=0Leftrightarrow left( x-m right)left( x-2 right)=0Leftrightarrow left[ begin{matrix} x=2 \ x=m \end{matrix}text{ }left( 1 right) right.$
Để hàm số có 2 điểm cực trị thì (1) phải có 2 nghiệm phân biệt $Leftrightarrow mne 2.$
Khi đó ta xét 2 trường hợp:
TH1: Cho ${{x}_{1}}=2;{{x}_{2}}=m$ta có: $4+{{m}^{2}}+4=7Leftrightarrow m=-1text{ }left( loai right)$
TH2: Cho ${{x}_{1}}=m;{{x}_{2}}=2$ta có: ${{m}^{2}}+2m+4=7Leftrightarrow {{m}^{2}}+2m-3=0Leftrightarrow left[ begin{matrix} m=1text{ } \ m=-3 \end{matrix} right.text{ }left( tm right)$
Vậy $m=1;m=-3$ là các giá trị cần tìm.
| Ví dụ 15: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+3left( 1-{{m}^{2}} right)x+1$$left( C right).$Tìm $m$ để hàm số đạt cực trị tại các điểm ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ thỏa mãn: $3x_{1}^{2}+x_{2}^{{}}+{{x}_{1}}x_{2}^{{}}=5.$ |
Lời giải
Ta có: $y’=3{{x}^{2}}-6x+3left( 1-{{m}^{2}} right)=0Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x+1-{{m}^{2}}=0Leftrightarrow {{left( x-1 right)}^{2}}={{m}^{2}}$
$Leftrightarrow left[ begin{matrix} x-1=mtext{ } \ x-1=-m \end{matrix}Leftrightarrow right.left[ begin{matrix} x=1+mtext{ } \ x=1-m \end{matrix} right.$
Để hàm số có 2 điểm cực trị thì (1) phải có 2 nghiệm phân biệt $Leftrightarrow 1+mne 1-mLeftrightarrow mne 0.$
Khi đó ta xét 2 trường hợp:
TH1: Cho ${{x}_{1}}=1+m;{{x}_{2}}=1-m$ta có: $3{{left( 1+m right)}^{2}}+1-m+left( 1-m right)left( 1+m right)=5$
$Leftrightarrow 2{{m}^{2}}+5m+5=5Leftrightarrow left[ begin{matrix} m=0left( loai right) \ m=-frac{5}{2}text{ } \end{matrix} right.$
TH2: Cho ${{x}_{1}}=1-m;{{x}_{2}}=1+m$ta có: $3{{left( 1-m right)}^{2}}+1+m+left( 1-m right)left( 1+m right)=5text{ }$
$Leftrightarrow 2{{m}^{2}}-5m+5=5Leftrightarrow left[ begin{matrix} m=0left( loai right)text{ } \ m=frac{5}{2}text{ } \end{matrix} right.text{ }$
Vậy $m=pm frac{5}{2}$ là các giá trị cần tìm.
| Ví dụ 16: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+3left( {{m}^{2}}-1 right)x+{{m}^{3}}$$left( C right).$Tìm $m$ để hàm số đạt cực trị tại các điểm ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ thỏa mãn: $frac{3}{{{x}_{1}}}+frac{1}{{{x}_{2}}}=2.$ |
Lời giải
Ta có: $y’=3{{x}^{2}}-6mx+3left( {{m}^{2}}+1 right)=0Leftrightarrow {{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}-1=0Leftrightarrow {{left( x-m right)}^{2}}={{1}^{2}}$
$Leftrightarrow left[ begin{matrix} x-m=1text{ } \ x-m=-1 \end{matrix}Leftrightarrow right.left[ begin{matrix} x=m+1text{ } \ x=m-1text{ } \end{matrix} right.$
Để hàm số có 2 điểm cực trị thì (1) phải có 2 nghiệm phân biệt $Leftrightarrow m+1ne m-1Leftrightarrow min mathbb{R}.$
Khi đó ta xét 2 trường hợp:
TH1: Cho ${{x}_{1}}=m+1;{{x}_{2}}=m-1$ta có: $frac{3}{m+1}+frac{1}{m-1}=2Leftrightarrow 4m-2=2left( {{m}^{2}}-1 right)left( mne pm 1 right)$
$Leftrightarrow 2{{m}^{2}}-4m=0Leftrightarrow left[ begin{matrix} m=0text{ } \ m=2text{ } \end{matrix} right.$
TH2: Cho ${{x}_{1}}=m-1;{{x}_{2}}=m+1$ta có: $frac{3}{m-1}+frac{1}{m+1}=2Leftrightarrow 4m+2=2left( {{m}^{2}}-1 right)$
$Leftrightarrow {{m}^{2}}-2m-2=0Leftrightarrow m=1pm sqrt{3}$
Vậy $m=0;m=1;m=1pm sqrt{3}$ là các giá trị cần tìm.
| Ví dụ 17: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+3left( {{m}^{2}}-3 right)x-4$. Tìm $m$ để hàm số có cực đại, cực tiểu tại ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ sao cho ${{x}_{2}}=-5{{x}_{1}}.$ |
Lời giải
TXĐ: $D=mathbb{R}$. Ta có: $y’=3{{x}^{2}}-12x-3left( {{m}^{2}}-3 right);y’=0Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x-{{m}^{2}}+3=0$
Hàm số đã cho đạt cực trị ${{x}_{1}};{{x}_{2}}Leftrightarrow y’=0$ có 2 nghiệm phân biệt
$Leftrightarrow Delta =4+{{m}^{2}}-3>0Leftrightarrow min mathbb{R}text{ }left( * right)$
Khi đó theo Viet có ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=4;{{x}_{1}}{{x}_{2}}=3-{{m}^{2}}$. Bài ra ${{x}_{2}}=-5{{x}_{1}}Rightarrow {{x}_{1}}-5{{x}_{1}}=4Leftrightarrow {{x}_{1}}=-1Rightarrow {{x}_{2}}=5$
$Rightarrow 3-{{m}^{2}}=-1.5Leftrightarrow {{m}^{2}}=8Leftrightarrow m=pm 2sqrt{2}.$ Thỏa mãn (*).
| Ví dụ 18: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3left( m-1 right){{x}^{2}}+3left( {{m}^{2}}-3m right)x+7$. Tìm $m$ để hàm số có cực đại, cực tiểu tại ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ sao cho $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=8.$ |
Lời giải
TXĐ: $D=mathbb{R}$. Ta có: $y’=3{{x}^{2}}-6left( m-1 right)x+3left( {{m}^{2}}-3m right);y’=0Leftrightarrow {{x}^{2}}-2left( m-1 right)x+{{m}^{2}}-3m=0$
Hàm số đã cho có cực trị ${{x}_{1}};{{x}_{2}}Leftrightarrow y’=0$ có 2 nghiệm phân biệt
$Leftrightarrow Delta ={{left( m-1 right)}^{2}}-left( {{m}^{2}}-3m right)>0Leftrightarrow m+1>0Leftrightarrow m>-1text{ }left( * right)$
Khi đó theo Viet có ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2left( m-1 right);{{x}_{1}}{{x}_{2}}={{m}^{2}}-3m.$.
Bài ra có $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=8Leftrightarrow {{left( x_{1}^{{}}+x_{2}^{{}} right)}^{2}}-2x_{1}^{{}}x_{2}^{{}}=8Rightarrow 4{{left( m-1 right)}^{2}}-2left( {{m}^{2}}-3m right)=8$
$Leftrightarrow 2{{m}^{2}}-2m-4=0Leftrightarrow left[ begin{matrix} m=-1left( Kotext{ }TMleft( * right) right) \ m=2left( TMleft( * right) right) \end{matrix} right.$.
| Ví dụ 19: Tìm $m$ để hàm số $y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+{{m}^{3}}$đạt cực trị tại ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ sao cho $x_{1}^{{}}+2x_{2}^{{}}=3.$ |
Lời giải
TXĐ: $mathbb{R}$. Ta có: $y’=3{{x}^{2}}-6mx=3xleft( x-2m right);y’=0Leftrightarrow left[ begin{matrix} x=0text{ } \ x=2m \end{matrix} right.$
Hàm số đã cho đạt cực trị ${{x}_{1}};{{x}_{2}}Leftrightarrow y’=0$ có 2 nghiệm phân biệt $Leftrightarrow 2mne 0Leftrightarrow mne 0text{ }left( * right)$
TH1:${{x}_{1}}=0;{{x}_{2}}=2m$khi đó: $x_{1}^{{}}+2x_{2}^{{}}=3Leftrightarrow =0+2.2m=3Leftrightarrow m=frac{3}{4}.$ Đã thỏa mãn (*).
TH2:${{x}_{1}}=2m;{{x}_{2}}=0$khi đó: $x_{1}^{{}}+2x_{2}^{{}}=3Leftrightarrow =2m+2.0=3Leftrightarrow m=frac{3}{2}.$ Đã thỏa mãn (*).
| Ví dụ 20: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3left( m+1 right){{x}^{2}}+left( 6m+3 right)x+5,$ có đồ thị là $left( C right).$Tìm $m$ để hàm số đạt cực trị tại hai điểm có hoành độ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ sao cho ${{x}_{1}}+5{{x}_{2}}=2$ |
Lời giải
Ta có: $y’=3{{x}^{2}}-6left( m+1 right)x+6m+3=3left[ {{x}^{2}}-2left( m+1 right)x+2m+1 right]$
Hàm số đã có cực đại, cực tiểu khi $y’=0$ có 2 nghiệm phân biệt
$Leftrightarrow Delta ‘>0Leftrightarrow {{left( m+1 right)}^{2}}-left( 2m+1 right)>0Leftrightarrow mne 0$
Khi đó $y’=0Rightarrow left[ begin{matrix} x=2m+1 \ x=1text{ } \end{matrix} right.$
TH1:${{x}_{1}}=2m+1;{{x}_{2}}=1Rightarrow 2m+1+5=2Rightarrow m=-2$
TH2: ${{x}_{1}}=1;{{x}_{2}}=2m+1Rightarrow 1+5left( 2m+1 right)=2Rightarrow m=-frac{2}{5}$
Vậy $m=-2;,m=-frac{2}{5}$ là giá trị cần tìm.
| Ví dụ 21: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+3left( {{m}^{2}}-1 right)x+1,$ có đồ thị là $left( C right).$Tìm $m$ để hàm số đạt cực trị tại hai điểm có hoành độ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ sao cho ${{x}_{1}}>{{x}_{2}}$và $x_{1}^{3}+2x_{2}^{3}=8.$ |
Lời giải
Ta có: $y’=3{{x}^{2}}-6mx+3left( {{m}^{2}}-1 right)=3left[ {{x}^{2}}-2mx+left( {{m}^{2}}-1 right) right]$
Hàm số đã có cực đại, cực tiểu khi $y’=0$ có 2 nghiệm phân biệt
$Leftrightarrow Delta ‘>0Leftrightarrow {{m}^{2}}-left( {{m}^{2}}-1 right)>0Leftrightarrow 1>0,forall m$
Khi $y’=0Rightarrow left[ begin{matrix} x=m-1 \ x=m+1 \end{matrix} right..$ Ta có $m+1>m-1Rightarrow {{x}_{1}}=m+1,{{x}_{2}}=m-1$
Theo bài thì $x_{1}^{3}+2x_{2}^{3}=8Leftrightarrow {{left( m+1 right)}^{3}}+2{{left( m-1 right)}^{3}}=8Leftrightarrow 3{{m}^{3}}-3{{m}^{2}}+9m-9=0$
$Leftrightarrow left( m-1 right)left( 3{{m}^{2}}+9 right)=0Leftrightarrow m=1.$ Vậy $m=1$ là giá trị cần tìm.
| Ví dụ 22: Cho hàm số $y=frac{1}{3}{{x}^{3}}-4{{x}^{2}}+2m+frac{1}{3}$$left( C right).$Tìm $m$ để hàm số 2 điểm cực trị tại $A$ và $B$ sao cho tam giác $OAB$ nhận điểm $Gleft( 0;frac{2}{3} right)$ làm trọng tâm. |
Lời giải
Ta có: $y’={{x}^{2}}-4Leftrightarrow {{x}^{2}}=4Leftrightarrow x=pm 2$
Khi đó hàm số luôn có 2 điểm cực trị tại $Aleft( -2;2m+frac{17}{3} right)$ và $Bleft( 2;2m-5 right)$
Do đó trọng tâm tam giác $OAB$ có tọa độ $Gleft( 0;frac{4m+frac{2}{3}}{3} right)$
Từ giả thiết bài toán ta cho: $4m+frac{2}{3}=2Leftrightarrow m=frac{1}{3}$
Vậy $m=frac{1}{3}$ là giá trị cần tìm.
| Ví dụ 23: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+2{{m}^{3}}$$left( C right).$Tìm $m$ để hàm số 2 điểm cực trị tại $A$ và $B$ sao cho $AB=OAsqrt{5}$ trong đó điểm $A$ là điểm cực trị thuộc trục tung và $O$ là gốc tọa độ. |
Lời giải
Ta có: $y’=3{{x}^{2}}-6mx=0Leftrightarrow 3xleft( x-2m right)=0Leftrightarrow left[ begin{matrix} x=0text{ } \x=2m \end{matrix} right.text{ }left( 1 right)$
Để hàm số có 2 điểm cực trị thì (1) phải có 2 nghiệm phân biệt $Leftrightarrow mne 0$.
Khi đó với $x=0Rightarrow y=2{{m}^{3}}Rightarrow Aleft( 0;2{{m}^{3}} right)$ (vì A thuộc trục tung)
Với $x=2mRightarrow y=-2{{m}^{3}}Rightarrow Bleft( 2m;-2{{m}^{3}} right)$
Theo bài ra ta sẽ có: $A{{B}^{2}}=5.O{{A}^{2}}Leftrightarrow 4{{m}^{2}}+16{{m}^{6}}=5.4{{m}^{6}}Leftrightarrow 4{{m}^{2}}=4{{m}^{6}}Leftrightarrow left[ begin{matrix} m=0text{(loai) } \ {{m}^{4}}=1Leftrightarrow m=pm 1 \end{matrix} right.$
Vậy $m=pm 1$ là giá trị cần tìm.
| Ví dụ 24: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+4$$left( C right).$Tìm $m$ để hàm số 2 điểm cực trị tại $A$ và $B$ sao cho tam giác $OAB$ có diện tích bằng 4. |
Lời giải
Ta có: $y’=3{{x}^{2}}-6mx=0Leftrightarrow 3xleft( x-2m right)=0Leftrightarrow left[ begin{matrix} x=0text{ } \ x=2m \end{matrix} right.text{ }left( 1 right)$
Để hàm số có 2 điểm cực trị thì (1) phải có 2 nghiệm phân biệt $Leftrightarrow mne 0$.
Khi đó với $x=0Rightarrow y=2{{m}^{3}}Rightarrow Aleft( 0;4 right).$
Với $x=2mRightarrow y=-2{{m}^{3}}Rightarrow Bleft( 2m;-4{{m}^{3}}+4 right)$
Ta có: $OA=4$và $O$ và $A$ đều thuộc trục $Oy$ nên ${{S}_{AOB}}=frac{1}{2}.OA.dleft( B;Oy right)=2.left| 2m right|=4Leftrightarrow m=pm 1$
Vậy $m=pm 1$ là giá trị cần tìm.
| Ví dụ 25: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+4{{m}^{3}}$, có đồ thị là $left( C right).$Tìm $m$ để hàm số đạt cực trị tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$ sao cho tam giác ${{S}_{OAB}}=4$ |
Lời giải
Ta có: $y’=3{{x}^{2}}-6mx=3xleft( x-2m right)$, hàm số có hai điểm cực trị khi $mne 0.$
Khi$y’=0Leftrightarrow 3xleft( x-2m right)=0Leftrightarrow left[ begin{matrix} x=0Rightarrow y=4{{m}^{3}} \ x=2mRightarrow y=0 \end{matrix} right.$
Giả sử $Aleft( 0;4{{m}^{3}} right),Bleft( 2m;0 right)$ là các điểm cực trị của hàm số
Ta có ${{S}_{AOB}}=4Leftrightarrow frac{1}{2}.OA.OB=4Leftrightarrow frac{1}{2}.left| 4{{m}^{3}} right|.left| 2m right|=4Leftrightarrow left| {{m}^{4}} right|=1Leftrightarrow {{m}^{4}}=1Leftrightarrow left[ begin{matrix} m=1text{ } \ m=-1 \end{matrix} right.$
Vậy $m=1,m=-1$ là giá trị cần tìm.
| Ví dụ 26: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+2$ (với m là tham số thực).
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu sao cho đường thẳng đi qua hai điểm cực trị cắt các trục tọa độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4. |
Lời giải
Ta có: $y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+2,y’=3{{x}^{2}}-6mx$. Cho $y’=0Leftrightarrow left[ begin{matrix} x=0text{ } \ x=2m \end{matrix}. right.$
Để hàm số có cả cực đại và cực tiểu thì $y’=0$ có hai nghiệm phân biệt, tức là $mne 0$.
Ta có $y=frac{1}{3}left( x-m right).y’+2{{m}^{2}}x+2Rightarrow $ phương trình qua cực trị là $y=2{{m}^{2}}x+2.$
Tại $x=0Rightarrow y=2,y=0Rightarrow x-frac{1}{{{m}^{2}}}.$
Nên diện tích tam giác tạo bởi các trục là $S=frac{1}{2}.2.frac{1}{{{m}^{2}}}=4Leftrightarrow m=pm frac{1}{2}.$
Vậy $m=pm frac{1}{2}$ là giá trị cần tìm.
| Ví dụ 27: Cho hàm số $y=frac{1}{3}{{x}^{3}}-frac{1}{2}left( m-3 right){{x}^{2}}+left( m-2 right)x+1.$ Giá trị của $m$ để hàm số có 2 điểm cực trị trái dấu là:
A. $m>2.$ B. $m>3.$ C. $mD. $m |
Lời giải
$y’={{x}^{2}}-left( m-3 right)x+m-2.$ Để hàm số có 2 điểm cực trị trái dấu thì ${{x}^{2}}-left( m-3 right)x+m-2=0$ có 2 nghiệm trái dấu $Leftrightarrow left{ begin{matrix} Delta ={{b}^{2}}-4ac>0 \ acChọn D.
| Ví dụ 29: Tìm $m$ để hàm số$fleft( x right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+mx-1$ có 2 điểm cực trị ${{x}_{1}}$ và ${{x}_{2}}$ thỏa mãn $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=3.$
A. $m=frac{2}{3}.$ B. $m=pm frac{3}{2}.$ C. $m=pm 2.$ D. $m=frac{3}{2}.$ |
Lời giải
$y’=3{{x}^{2}}-6x+m.$ ĐK có 2 cực trị là $Delta ‘=9+3m>0$
Khi đó $left{ begin{matrix} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2 \ {{x}_{1}}{{x}_{2}}=frac{m}{3}text{ } \end{matrix} right..$ Theo giả thiết $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=3Leftrightarrow 4-2.frac{m}{3}=3Leftrightarrow m=frac{3}{2}left( t/m right).$ Chọn D.
| Ví dụ 30: Cho hàm số $y=frac{2}{3}{{x}^{3}}-m{{x}^{2}}-2left( 3{{m}^{2}}-1 right)x+frac{2}{3}left( C right).$ Tìm $m$ để hàm số đạt cực trị tại ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ sao cho ${{x}_{1}}{{x}_{2}}+2left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} right)=1.$
A. $m=0;m=frac{2}{3}.$ B. $m=0.$ C. $m=frac{2}{3}.$ D. $m=pm sqrt{frac{2}{3}}.$ |
Lời giải
Ta có:$y’=2{{x}^{2}}-2mx-2left( 3{{m}^{2}}-1 right)=0Leftrightarrow {{x}^{2}}-mx-left( 3{{m}^{2}}-1 right)=0.$
ĐK có 2 cực trị là $Delta =4{{m}^{2}}-1>0.$
Khi đó $left{ begin{matrix} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=mtext{ } \ {{x}_{1}}{{x}_{2}}=-3{{m}^{2}}text{+1 } \end{matrix} right.$
GT $Leftrightarrow -3{{m}^{2}}+1+2m=1Leftrightarrow left[ begin{matrix} m=0left( loai right) \ m=frac{2}{3}text{ } \end{matrix} right..$ Chọn C.
| Ví dụ 31: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+3left( m+1 right)x+1.$ Tìm $m$ để hàm số đạt cực trị tại các điểm ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ thỏa mãn: $3left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} right)+4{{x}_{1}}{{x}_{2}}+16=0.$
A. $m=-2.$ B. $m=2.$ C. $m=-3.$ D. $m=3.$ |
Lời giải
Ta có:$y’=3{{x}^{2}}-6mx+3left( m+1 right)=0Leftrightarrow {{x}^{2}}-2mx+m+1=0.$
ĐK có 2 cực trị $Delta ‘={{m}^{2}}-m-1>0.$ Khi đó $left{ begin{matrix} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2mtext{ } \ {{x}_{1}}{{x}_{2}}=mtext{+1 } \end{matrix} right.$
Do đó $3.2m+4.left( m+1 right)+16=0Leftrightarrow m=-2$ (thỏa mãn). Chọn A.
| Ví dụ 32: Tìm các giá trị của tham số$m$ để hàm số$y=frac{1}{3}{{x}^{3}}+left( m+3 right){{x}^{2}}+4left( m+3 right)x+{{m}^{2}}-m$ có các điểm cực trị ${{x}_{1}}$,${{x}_{2}}$ thỏa mãn điều kiện $-1A. $left( -infty ;-2 right).$ B. $left( -frac{7}{2};-2 right).$ C. $left( -infty ;-3 right)cup left( 1;+infty right).$ D. $left( -frac{7}{2};-3 right).$. |
Lời giải
Ta có $y’=left[ frac{1}{3}{{x}^{3}}+left( m+3 right){{x}^{2}}+4left( m+3 right)x+{{m}^{2}}-m right]begin{matrix} ‘ \ {} \end{matrix}={{x}^{2}}+2left( m+3 right)x+4left( m+3 right).$
Hàm số có hai cực trị khi và chỉ khi $Delta left( y’=0 right)>0Leftrightarrow {{left( m+3 right)}^{2}}-4left( m+3 right)>0$
$Leftrightarrow left[ begin{matrix} m+3>4 \ m+31text{ } \ m
Khi đó gọi hai cực trị là ${{x}_{1}}$,${{x}_{2}}$, suy ra $left{ begin{matrix} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-2left( m+3 right)text{ } \ {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=4left( mtext{+3} right)text{ } \end{matrix} right.$
Mặt khác $-1-2text{ } \end{matrix} right.Leftrightarrow left{ begin{matrix} {{x}_{1}}.{{x}_{2}}+left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} right)+1>0 \ {{x}_{1}}+{{x}_{2}}>2text{ } \end{matrix} right.$
$Leftrightarrow left{ begin{matrix} 4left( m+3 right)-2left( m+3 right)+1>0 \ -2left( m+3 right)>-2text{ } \end{matrix} right.Leftrightarrow left{ begin{matrix} m+3>-frac{1}{2} \ m+3-frac{7}{2}text{ } \ m
Kết hợp (*)$Rightarrow min left( -frac{7}{2};-2 right).$ Chọn D.
| Ví dụ 33: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3x+2m+1.$ Tìm tất cả các giá trị của thm số $m$ giá trị cực đại của hàm số bằng 4
A. $m=2.$ B. $m=frac{5}{2}.$ C. $m=frac{1}{2}.$ D. $m=5.$ |
Lời giải
Ta có $y’=3{{x}^{2}}-3=0Leftrightarrow left[ begin{matrix} x=1text{ } \ x=-1 \end{matrix} right..$ Hàm số có $a=1>0$ nên ${{x}_{CT}}>{{x}_{CD}}Rightarrow {{x}_{CD}}=-1$
Khi đó ${{y}_{CD}}=yleft( -1 right)=3+2m=4Leftrightarrow m=frac{1}{2}.$ Chọn C.
| Ví dụ 34: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3x+m$. Tìm $m$ để đồ thị hàm số đạt cực trị tại các điểm$A$ và $B$ sao cho$O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}=12$ (với $O$ là gốc tọa độ).
A. $m=pm 1.$ B. $m=pm sqrt{2}.$ C. $m=pm sqrt{3}.$ D. $m=pm 2.$ |
Lời giải
$y’=3{{x}^{2}}-3=0Leftrightarrow left[ begin{matrix} x=1Rightarrow y=m-2text{ } \ x=-1Rightarrow y=m+2text{ } \end{matrix} right..$ Khi đó $Aleft( 1;m-2 right),Bleft( -1;m+2 right)$
Ta có: $O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}=1+{{left( m-2 right)}^{2}}+1+{{left( m+2 right)}^{2}}=2{{m}^{2}}+10=12Leftrightarrow m=pm 1.$ Chọn A.
| Ví dụ 35: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m+1$. Số các giá trị nguyên của $m$để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm khác phía so với trục hoành.
A. 5. B. 4. C. 3. D. 2. |
Lời giải
$y’=-3{{x}^{2}}+6x=0Leftrightarrow left[ begin{matrix} x=0Rightarrow y=m+1text{ } \ x=2Rightarrow y=m-3text{ } \end{matrix} right..$ Để hai điểm cực trị nằm khác phía so với trục hoành thì ${{y}_{CD}}.{{y}_{CT}}Chọn C.
| Ví dụ 36: Tìm $m$ để đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-3left( m+1 right){{x}^{2}}+3mx+2-m$ đạt cực trị$Aleft( {{x}_{1}};{{y}_{2}} right)$ và $Bleft( {{x}_{2}};{{y}_{2}} right)$ thỏa mãn: $frac{{{y}_{1}}-{{y}_{2}}}{left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} right)left( {{x}_{1}}{{x}_{2}}-2 right)}A. $m>2.$ B. $mge 2.$ C. $mD. $min mathbb{R}.$ |
Lời giải
Ta có:$y’=3{{x}^{2}}-6left( m+1 right)x+3m=0Leftrightarrow {{x}^{2}}-2left( m+1 right)x+m=0$
Hàm số có 2 điểm cực trị $Leftrightarrow Delta ‘={{left( m+1 right)}^{2}}-m>0Leftrightarrow {{m}^{2}}+m+1>0Leftrightarrow min mathbb{R}.$
Do hàm số có $a=1>0$ nên ${{x}_{CD}}{{y}_{CT}}$ nên trong trường hợp này ta luôn có
$frac{{{y}_{1}}-{{y}_{2}}}{{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}0Leftrightarrow {{x}_{1}}{{x}_{2}}=m>2Leftrightarrow m>2.$ Chọn A.
| Ví dụ 37: Gọi d là đường thẳng đi qua cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số $y=frac{{{x}^{3}}}{3}+m{{x}^{2}}+9x-1.$ Tìm tất cả các giá trị của m để d đi qua điểm $Aleft( -frac{9}{2};8 right).$
A. $m=-4.$ B. $m=-3.$ C. $m=4.$ D. $m=4$hoặc $m=-3.$ |
Lời giải
Ta có:$y’={{x}^{2}}+2mx+9=0.$
ĐK để hàm số có cực trị là $Delta {{‘}_{y’}}={{m}^{2}}-9>0$
Khi đó ta có: $y=y’.left( frac{x}{3}+frac{m}{3} right)+left( 6-frac{2}{3}{{m}^{2}} right)x-1-3mRightarrow $ đường thẳng $left( d right)$ đi qua cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số là: $d:y=left( 6-frac{2}{3}{{m}^{2}} right)x-1-3m$
Để d đi qua điểm $Aleft( -frac{9}{2};8 right)$ thì $left( 6-frac{2}{3}{{m}^{2}} right).left( -frac{9}{2} right)-1-3m=8$
$Leftrightarrow {{m}^{2}}-m-12=0Leftrightarrow left[ begin{matrix} m=4text{ } \ m=-3left( l right) \end{matrix} right..$ Chọn C.
| Ví dụ 38: Tìm $m$ để đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+1$ có hai điểm cực trị $A,B$ sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 1 (O là gốc tọa độ).
A. $m=pm 3.$ B. $m=pm 1.$ C. $m=pm 5.$ D. $m=pm 2.$ |
Lời giải
Xét hàm số $y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+1$, ta có $y’=3{{x}^{2}}-6mx;y’=0Leftrightarrow xleft( x-2m right)=0Leftrightarrow left[ begin{matrix} x=0text{ } \ x=2m \end{matrix} right..$
Để hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi $mne 0.$ Khi đó gọi $Aleft( 0;1 right)$ và $Bleft( 2m;1-4{{m}^{3}} right).$
Phương trình đường thẳng OA là $x=0Rightarrow dleft( B;left( OA right) right)=2left| m right|$
$Rightarrow {{S}_{Delta ABC}}=frac{1}{2}.dleft( Bleft( OA right) right).OA=left| m right|=1Rightarrow m=pm 1.$ Chọn B.