Tìm tất cả các giá trị của tham số (m) để phương trình (log _3^23x + {log _3}x + m – 1 = 0) có đúng 2 nghiệm phân biệt thuộc khoảng (left( {0;1} right).)

Điều kiện: (x > 0.)

Đặt (t = {log _3}x Rightarrow x in left( {0;;1} right) Rightarrow t in left( { – infty ;;0} right))

Khi đó ta có phương trình:

 (begin{array}{l}log _3^23x + {log _3}x + m – 1 = 0 Leftrightarrow {left( {{{log }_3}3 + {{log }_3}x} right)^2} + {log _3}x – 1 =  – m\ Leftrightarrow log _3^2x + 3{log _3}x =  – m Leftrightarrow {t^2} + 3t =  – m;;left( * right)end{array})

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thuộc (left( {0;;1} right) Leftrightarrow ) phương trình ẩn (t) có hai nghiệm phân biệt thuộc (left( { – infty ;;3} right).)

Xét hàm số: (y = {t^2} + 3t) trên (left( { – infty ;;3} right)) ta có: (y’ = 2t + 3)

( Rightarrow y’ = 0 Leftrightarrow 2t + 3 = 0 Leftrightarrow t =  – frac{3}{2}.)

Ta có BBT:

Để phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt thuộc (left( { – infty ;;0} right)) thì đường thẳng (y = m) cắt đồ thị hàm số (y = fleft( t right)) tại hai điểm phân biệt thuộc (left( { – infty ;0} right) Leftrightarrow  – frac{9}{4} <  – m < 0 Leftrightarrow 0 < m < frac{9}{4})

Chọn A.