Tìm tất cả giá trị của (m) để hàm số (y = {x^3} + 3{x^2} + mx + m) nghịch biến trên một khoảng có độ dài không nhỏ hơn 1.

TXĐ :   (D = mathbb{R})

Ta có :

(begin{array}{l}fleft( x right) = {x^3} + 3{x^2} + mx + m\ Rightarrow f’left( x right) = 3{x^2} + 6x + mend{array})

Phương trình (f’left( x right)) có hệ số ({x^2}) dương nên để hàm số (y = fleft( x right)) có khoảng nghịch biến thì phương trình (f’left( x right) = 0) có 2 nghiệm phân biệt.

Do đó  

Khi đó phương trình (f’left( x right) = 0) có 2 nghiệm phân biệt ({x_1};{x_2}) thỏa mãn (left{ begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  – 2\{x_1}.{x_2} = dfrac{m}{3}end{array} right.)

Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng (left( {{x_1};{x_2}} right))

Để khoảng nghịch biến có độ dài không  nhỏ hơn 1 nên  ({x_2} – {x_1} ge 1)

Ta có :

(begin{array}{l}{x_2} – {x_1} ge 1\ Leftrightarrow {left( {{x_2} + {x_1}} right)^2} – 4{x_1}{x_2} ge 1\ Leftrightarrow {left( { – 2} right)^2} – 4dfrac{m}{3} ge 1\ Leftrightarrow dfrac{{4m}}{3} le 3 Leftrightarrow m le dfrac{9}{4}left( {t/m} right)end{array})

Chọn C