Biến đổi bất phương trình về dạng x$fleft( u right)
Hàm số $fleft( t right)$ đồng biến trên D thì $u,vin D$ ta có $fleft( u right)
Hàm số $fleft( t right)$ nghịch biến trên D thì $u,vin D$ ta có $fleft( u right)v$.
| Bài tập 1: Giải các phương trình sau:
a) $sqrt{2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+6x+11}-sqrt{5-x}=2sqrt{3}$. b) $left( 2{{x}^{2}}+1+2sqrt{3-x} right)x-7sqrt{3-x}=0$. . |
Lời giải chi tiết
.a) Điều kiện $left{ begin{array} {} 2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+6x+11ge 0 \ {} xle 5 \ end{array} right.left( D right)$.
Xét hàm số $fleft( x right)=sqrt{2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+6x+11}-sqrt{5-x};text{ }xin left( D right)$.
Ta có: ${f}’left( x right)=frac{3{{x}^{2}}-3x+3}{sqrt{2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+6x+11}}+frac{1}{2sqrt{5-x}}>0,text{ }forall xin left( D right)$ nên hàm số đồng biến trên D.
Phương trình đã cho trở thành $fleft( x right)=2sqrt{3}=fleft( 2 right)Rightarrow x=2$. Thử lại thu được nghiệm duy nhất $x=2$.
b) Điều kiện $xle 3$. Phương trình đã cho tương đương với
$2{{x}^{3}}+x=left( 7-2x right)sqrt{3-x}Leftrightarrow 2{{x}^{3}}+x=2left( 3-x right)sqrt{3-x}+sqrt{3-x}text{ }left( 1 right)$
Xét hàm số $fleft( t right)=2{{t}^{3}}+t;text{ }tin mathbb{R}Rightarrow {f}’left( t right)=6{{t}^{2}}+1>0,text{ }forall tin mathbb{R}$, vậy hàm số liên tục và đồng biến.
Khi đó $left( 1 right)Leftrightarrow fleft( x right)=fleft( sqrt{3-x} right)Leftrightarrow x=sqrt{3-x}Leftrightarrow left[ begin{array} {} 0le xle 3 \ {} {{x}^{2}}+x-3=0 \ end{array} right.Leftrightarrow x=frac{sqrt{13}-1}{2}$.
Kết luận phương trình để bài có nghiệm duy nhất $x=frac{sqrt{13}-1}{2}$.
| Bài tập 2: Giải các phương trình sau
a) $sqrt{frac{6}{3-x}}+sqrt{frac{8}{2-x}}=6$. b) $sqrt{5{{x}^{3}}-1}+sqrt[3]{2x-1}+x=4$. |
Lời giải chi tiết
a) Điều kiện $x0,text{ }forall xin left( -infty ;2 right)$.
Suy ra hàm số $fleft( x right)$ liên tục và đồng biến trên miền $left( -infty ;2 right)$.
Mặt khác $fleft( frac{3}{2} right)=0$ nên phương trình $fleft( x right)=0$ có duy nhất nghiệm $x=frac{3}{2}$. Kết luận $S=left{ frac{3}{2} right}$.
b) Điều kiện $5{{x}^{3}}ge 1$.
Xét hàm số $fleft( x right)=sqrt{5{{x}^{3}}-1}+sqrt[3]{2x-1}+x;text{ }xin left[ sqrt[3]{frac{1}{5}};+infty right)$.
Ta có ${f}’left( x right)=frac{15{{x}^{2}}}{2sqrt{5{{x}^{3}}-1}}+frac{2}{3sqrt[3]{{{left( 2x-1 right)}^{2}}}}>0,text{ }forall xin left[ sqrt[3]{frac{1}{5}};+infty right)$ nên hàm số đồng biến trên $left[ sqrt[3]{frac{1}{5}};+infty right)$.
Bài toán trở thành $fleft( x right)=fleft( 1 right)Leftrightarrow x=1$. Kết luận tập nghiệm $S=left{ 1 right}$.
| Bài tập 3: Giải phương trình
a) ${{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+12x-7=sqrt[3]{-{{x}^{3}}+9{{x}^{2}}-19x+11}$. b) ${{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+4x+2=left( 3x+2 right)sqrt{3x+1}$. |
Lời giải chi tiết
a) Điều kiện $xin mathbb{R}$.
Phương trình đã cho tương đương với
$Leftrightarrow {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+3x-1+2left( x+1 right)=-{{x}^{3}}+9{{x}^{2}}-19x+11+2sqrt[3]{-{{x}^{3}}+9{{x}^{2}}-19x+11}$
$Leftrightarrow {{left( x-1 right)}^{3}}+2left( x-1 right)=-{{x}^{3}}+9{{x}^{2}}-19x+11+2sqrt[3]{-{{x}^{3}}+9{{x}^{2}}-19x+11}text{ }left( * right)$
Xét hàm số $fleft( t right)={{t}^{3}}+2t$ ta có ${f}’left( t right)=3{{t}^{2}}+2>0,text{ }forall tin mathbb{R}$.
Do vậy hàm số $fleft( t right)$ liên tục và đồng biến trên $mathbb{R}$. Khi đó
$left( * right)Leftrightarrow fleft( x-1 right)=fleft( sqrt[3]{-{{x}^{3}}+9{{x}^{2}}-19x+11} right)Leftrightarrow x-1=sqrt[3]{-{{x}^{3}}+9{{x}^{2}}-19x+11}$
$Leftrightarrow {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+3x-1=-{{x}^{3}}+9{{x}^{2}}-19x+11Leftrightarrow {{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+11x-6=0Leftrightarrow left( x-1 right)left( x-2 right)left( x-3 right)=0$
$Rightarrow xin left{ 1;2;3 right}$.
Kết luận tập hợp nghiệm $S=left{ 1;2;3 right}$.
b) Điều kiện $xge -frac{1}{3}$. Phương trình đã cho tương đương với
${{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+3x+1+x+1=left( 3x+1+1 right)sqrt{3x+1}Leftrightarrow {{left( x+1 right)}^{3}}+x+1=left( 3x+1 right)sqrt{3x+1}+sqrt{3x+1}$
Xét hàm số $fleft( t right)={{t}^{3}}+t,text{ }tin mathbb{R}Rightarrow {f}’left( t right)=3{{t}^{2}}+1>0,text{ }forall tin mathbb{R}$, hàm số liên tục và đồng biến trên $mathbb{R}$.
Thu được $fleft( x+1 right)=fleft( sqrt{3x+1} right)Leftrightarrow x+1=sqrt{3x+1}Leftrightarrow left{ begin{array} {} xge -1 \ {} {{x}^{2}}+2x+1=3x+1 \ end{array} right.Leftrightarrow xin left{ 0;1 right}$
Đối chiếu điều kiện, kết luận phương trình đã cho có hai nghiệm $x=0;text{ }x=1$.
| Bài tập 4: Giải phương trình $frac{{{x}^{2}}+3x-4}{sqrt{2x+1}+2}=left( 2x+2 right)left( sqrt{x+3}-2 right)$ trên tập số thực. |
Lời giải chi tiết
Điều kiện $left{ begin{array} {} 2x+1ge 0 \ {} x+3ge 0 \ end{array} right.Leftrightarrow xge -frac{1}{2}$, ta có phương trình đã cho
$Leftrightarrow frac{left( x-1 right)left( x+4 right)}{sqrt{2x+1}+2}=frac{left( x-1 right)left( 2x+2 right)}{sqrt{x+3}+2}Leftrightarrow left[ begin{array} {} x=1 \ {} frac{left( x+4 right)}{sqrt{2x+1}+2}=frac{left( 2x+2 right)}{sqrt{x+3}+2}text{ }left( * right) \ end{array} right.$
Giải phương trình (*), chúng ta có
$left( * right)Leftrightarrow frac{x+3+1}{sqrt{2x+1}+2}=frac{2x+1+1}{sqrt{x+3}+2}Leftrightarrow left( x+3+1 right)left( sqrt{x+3}+2 right)=left( 2x+1+1 right)left( sqrt{2x+1}+2 right)$
$Leftrightarrow {{left( sqrt{x+3} right)}^{3}}+2{{left( sqrt{x+3} right)}^{2}}+sqrt{x+3}={{left( sqrt{2x+1} right)}^{3}}+2{{left( sqrt{2x+1} right)}^{2}}+sqrt{2x+1}$
Xét hàm số $fleft( t right)={{t}^{3}}+2{{t}^{2}}+t$, với điều kiện $tge 0$ vì $left{ begin{array} {} sqrt{x+3}ge 0 \ {} sqrt{2x+1}ge 0 \ end{array} right.$, có
${f}’left( t right)=3{{t}^{2}}+4t+1>0,text{ }forall tge 0$ do đó $fleft( t right)$ là hàm số đồng biến và liên tục trên $left[ 0;+infty right)$ nên suy ra
$fleft( sqrt{x+3} right)=fleft( sqrt{2x+1} right)Leftrightarrow sqrt{x+3}=sqrt{2x+1}Leftrightarrow x=2$.
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm $x=1;text{ }x=2$.
| Bài tập 5: Giải phương trình $frac{{{x}^{2}}+6x+8}{{{x}^{2}}-2x+2}=xleft( sqrt{x+3}-1 right)text{ }left( xin mathbb{R} right)$ |
Lời giải chi tiết
Điều kiện $xge -3$. Phương trình đã cho tương đương với
$frac{left( x+2 right)left( x+4 right)}{{{x}^{2}}-2x+2}=frac{xleft( x+2 right)}{sqrt{x+3}+1}Leftrightarrow left[ begin{array} {} x=-2 \ {} frac{left( x+4 right)}{{{left( x-1 right)}^{2}}+1}=frac{x}{sqrt{x+3}+1}text{ }left( 1 right) \ end{array} right.$
Đặt $sqrt{x+3}=u;text{ }x-1=v$ ta thu được $left( 1 right)Leftrightarrow frac{{{u}^{2}}+1}{{{v}^{2}}+1}=frac{v+1}{u+1}Leftrightarrow {{u}^{3}}+{{u}^{2}}+u={{v}^{3}}+{{v}^{2}}+v$.
Xét hàm số $fleft( t right)={{t}^{3}}+{{t}^{2}}+t;text{ }tin mathbb{R}Rightarrow {f}’left( t right)=3{{t}^{2}}+2t+1>0,text{ }forall tin mathbb{R}$.
Hàm số liên tục và đồng biến trên tập số thực nên
$fleft( u right)=fleft( v right)Leftrightarrow u=vLeftrightarrow sqrt{x+3}=x-1Leftrightarrow left{ begin{array} {} xge 1 \ {} x+3={{x}^{2}}-2x+1 \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} xge 1 \ {} {{x}^{2}}-3x-2=0 \ end{array} right.Leftrightarrow x=frac{3+sqrt{17}}{2}$.
Kết luận bài toán có nghiệm duy nhất $x=frac{3+sqrt{17}}{2}$.
| Bài tập 6: Giải hệ phương trình $left{ begin{array} {} left( 4{{x}^{2}}+1 right)x+left( y-3 right)sqrt{5-2y}=0 \ {} 4{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2sqrt{3-4x}=7 \ end{array} right.left( x,yin mathbb{R} right)$ |
Lời giải chi tiết
Điều kiện $xle frac{3}{4},yle frac{5}{2}$.
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương $left( 4{{x}^{2}}+1 right)2x=left( 5-2y+1 right)sqrt{5-2y}text{ }left( 1 right)$
Khi đó phương trình (1) có dạng: $fleft( 2x right)=fleft( sqrt{5-2y} right)$ với $fleft( t right)=left( {{t}^{2}}+1 right)t={{t}^{3}}+tleft( tin mathbb{R} right)$
Ta có: ${f}’left( t right)=3{{t}^{2}}+1>0text{ }left( forall tin mathbb{R} right)Rightarrow fleft( t right)$ đồng biến trên $mathbb{R}$.
Do đó $left( 1 right)Leftrightarrow 2x=sqrt{5-2y}Leftrightarrow left{ begin{array} {} xge 0 \ {} y=frac{5-4{{x}^{2}}}{2} \ end{array} right.$
Thế vào phương trình (2) ta được: $4{{x}^{2}}+{{left( frac{5}{2}-2{{x}^{2}} right)}^{2}}+2sqrt{3-4x}-7=0text{ }left( 3 right)$
Do $x=0;text{ }x=frac{3}{4}$ không phải là nghiệm của phương trình
Xét hàm số $gleft( x right)=4{{x}^{2}}+{{left( frac{5}{2}-2{{x}^{2}} right)}^{2}}+2sqrt{3-4x}-7$ trên khoảng $left( 0;frac{3}{4} right)$.
Ta có: ${g}’left( x right)=8x-8xleft( 5-2{{x}^{2}} right)-frac{4}{sqrt{3-4x}}=4xleft( 4{{x}^{2}}-3 right)-frac{4}{sqrt{3-4x}}
Mặt khác $gleft( frac{1}{2} right)=0Rightarrow left( 3 right)$ có nghiệm duy nhất $x=frac{1}{2}Rightarrow y=2$.
Vậy nghiệm của hệ phương trình là $left( frac{1}{2};2 right)$
| Bài tập 7: Giải hệ phương trình sau: $left{ begin{array} {} 20sqrt{6-x}-17sqrt{5-y}-3xsqrt{6-x}+3ysqrt{5-y}=0 \ {} 2sqrt{2x+y+5}+3sqrt{3x+2y+11}={{x}^{2}}+6x+13 \ end{array} right.$ |
Lời giải chi tiết
Điều kiện: $xle 6;text{ }yle 5;text{ }2x+y+5ge 0;text{ }3x+2y+11ge 0$.
Khi đó: $PTleft( 1 right)Leftrightarrow left( 20-3x right)sqrt{6-x}=left( 17-3y right)sqrt{5-y}$
$Leftrightarrow left( sqrt{6-x} right)left[ 3left( 6-x right)+2 right]=sqrt{5-y}left[ 3left( 5-y right)+2 right]$
Xét hàm $fleft( t right)=tleft( 3{{t}^{2}}+2 right)left( tin mathbb{R} right)Rightarrow sqrt{6-x}=sqrt{5-y}Leftrightarrow y=x-1$
Thế vào PT(2) ta có: $2sqrt{3x+4}+3sqrt{5x+9}={{x}^{2}}+6x+13$.
$Leftrightarrow left( {{x}^{2}}+x right)left( frac{2}{2sqrt{3x+4}+2x+4}+frac{3}{3sqrt{5x+9}+3x+9}+1 right)=0$.
Do $xin left[ -frac{4}{3};6 right]Rightarrow x=0;x=-1$.
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm $left( 0;-1 right);left( -1;-2 right)$.
| Bài tập 8: Giải hệ phương trình sau: $left{ begin{array} {} {{x}^{2}}+frac{x}{x+1}=left( y+2 right)sqrt{left( x+1 right)left( y+1 right)} \ {} left( {{x}^{2}}-2x-2 right)sqrt{y+1}=4left( x+1 right) \ end{array} right.$ |
Lời giải chi tiết
Điều kiện: $left{ begin{array} {} yge -1 \ {} x>-1 \ end{array} right.$. Ta có: $PTleft( 1 right)Leftrightarrow frac{{{x}^{2}}}{sqrt{x+1}}+frac{x}{left( x+1 right)sqrt{x+1}}=left( y+2 right)sqrt{y+1}$
$Leftrightarrow frac{{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+x}{left( x+1 right)sqrt{x+1}}=left( y+2 right)sqrt{y+1}Leftrightarrow {{left( frac{x}{sqrt{x+1}} right)}^{3}}+frac{x}{sqrt{x+1}}={{left( sqrt{y+1} right)}^{3}}+sqrt{y+1}$
Xét hàm số: $fleft( t right)={{t}^{3}}+tleft( tin mathbb{R} right)$ đồng biến trên $mathbb{R}$.
Ta có: $fleft( frac{x}{sqrt{x+1}} right)=fleft( sqrt{y+1} right)Leftrightarrow x=sqrt{left( x+1 right)left( y+1 right)}$ thế vào PT(2) ta có:
$frac{xleft( {{x}^{2}}-2x-2 right)}{sqrt{x+1}}=4left( x+1 right)Leftrightarrow {{x}^{3}}-2xleft( x+1 right)-4left( x+1 right)sqrt{x+1}=0$
Đặt $z=sqrt{x+1}$ ta có: ${{x}^{3}}+2x{{z}^{2}}-4{{z}^{3}}=0Leftrightarrow x=2z$
$Leftrightarrow x=2sqrt{x+1}Leftrightarrow left{ begin{array} {} xge 0 \ {} {{x}^{2}}=4x+4 \ end{array} right.Leftrightarrow x=2pm 2sqrt{2}Rightarrow y=3$.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $left( x;y right)=left( 2pm 2sqrt{2};3 right)$.
| Bài tập 9: Giải hệ phương trình sau: $left{ begin{array} {} 2{{x}^{2}}+2x+1+sqrt{x+2}=2{{y}^{2}}+3y+sqrt{2y+1} \ {} {{x}^{2}}+2{{y}^{2}}-2x+y=2 \ end{array} right.$ |
Lời giải chi tiết
Điều kiện: $xge -2;yge -frac{1}{2}$. Khi đó ta có: $left( 1 right)-left( 2 right)$ ta có: ${{x}^{2}}+4x+3+sqrt{x+2}=4{{y}^{2}}+4y+sqrt{2y+1}$
$Leftrightarrow {{left( x+2 right)}^{2}}+sqrt{x+2}={{left( 2y+1 right)}^{2}}+sqrt{2y+1}$. Xét hàm số $fleft( t right)={{t}^{2}}+sqrt{t}$ đồng biến trên $left( 0;+infty right)$.
Khi đó ta có: $fleft( x+2 right)=fleft( sqrt{2y+1} right)Leftrightarrow x+1=2y$ thế vào PT(2) ta có:
${{left( 2y-1 right)}^{2}}+2{{y}^{2}}-2left( 2y-1 right)+y=2Leftrightarrow 6{{y}^{2}}-7y+1=0Leftrightarrow left[ begin{array} {} y=1;text{ }x=1 \ {} y=frac{1}{6};text{ }x=-frac{2}{3} \ end{array} right.$.
Vậy nghiệm của hệ phương trình là: $left( 1;1 right);left( -frac{2}{3};frac{1}{6} right)$.
| Bài tập 10: [Đề thi tham khảo của Bộ GD{}ĐT năm 2018] Có bao nhiêu giá trị nguyên của hàm số m để phương trình $sqrt[3]{m+3sqrt[3]{m+3sin x}}=sin x$ có nghiệm thực?
A. 5. B. 7. C. 3. D. 2. |
Lời giải chi tiết
Đặt $sqrt[3]{m+3sin x}=a;text{ }sin x=b$ ta có: $left{ begin{array} {} sqrt[3]{m+3a}=b \ {} sqrt[3]{m+3b}=a \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} m+3a={{b}^{3}} \ {} m+3b={{a}^{3}} \ end{array} right.$
$Rightarrow 3left( a-b right)={{b}^{3}}-{{a}^{3}}=left( b-a right)left( {{b}^{2}}+ba+{{a}^{2}} right)Leftrightarrow left( b-a right)left( {{b}^{2}}+ba+{{a}^{2}}+3 right)=0$
Do ${{b}^{2}}+ab+{{a}^{2}}+3>0Rightarrow a=bRightarrow m+3sin x={{sin }^{3}}xLeftrightarrow m={{sin }^{3}}x-3sin x={{b}^{3}}-3b=fleft( b right)$.
Xét $fleft( b right)={{b}^{3}}-3bleft( bin left[ -1;1 right] right)$ ta có: ${f}’left( b right)=3{{b}^{2}}-3le 0left( forall bin left[ -1;1 right] right)$.
Do đó hàm số $fleft( b right)$ nghịch biến trên $left[ -1;1 right]$.
Vậy $fleft( b right)in left[ fleft( 1 right);fleft( -1 right) right]=left[ -2;2 right]$. Do đó PT đã cho có nghiệm $Leftrightarrow min left[ -2;2 right]$ .
Vậy có 5 giá trị nguyên của m thỏa mãn. Chọn A.
| Bài tập 11: Có bao nhiêu giá trị nguyên của hàm số m để phương trình $sqrt[{}]{m+2sqrt[{}]{m+2sin x}}=sin x$ có nghiệm thực?
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. |
Lời giải chi tiết
Điều kiện: $sin xge 0$
Đặt $left{ begin{array} {} u=sin x \ {} v=2sqrt{m+2sin x} \ end{array} right.text{ }left( u,vge 0 right)Rightarrow left{ begin{array} {} sqrt{m+2v}=u \ {} sqrt{m+2u}=v \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} m+2v={{u}^{2}} \ {} m+2u={{v}^{2}} \ end{array} right.Rightarrow 2left( v-u right)={{u}^{2}}-{{v}^{2}}$
$Leftrightarrow 2left( v-u right)=left( u-v right)left( u+v right)Leftrightarrow left( u-v right)left( u+v+2 right)=0text{ }left( * right)$
Do $u,text{ }vge 0$ nên $left( * right)Leftrightarrow u=vRightarrow m={{u}^{2}}-2u$ với $u=sin xtext{ }left( uin left[ 0;1 right] right)$.
Xét $fleft( u right)={{u}^{2}}-2utext{ }left( uin left[ 0;1 right] right)$ ta có ${f}’left( u right)=2u-2le 0$.
Suy ra hàm số $fleft( u right)$ nghịch biến trên đoạn $left[ 0;1 right]$.
Mặt khác $fleft( 0 right)=0;fleft( 1 right)=-1Rightarrow $ Phương trình có nghiệm khi $min left[ -1;0 right]$.
Kết hợp $min mathbb{Z}Rightarrow left[ begin{array} {} m=0 \ {} m=-1 \ end{array} right.$. Chọn C.
| Bài tập 12: Cho phương trình $xsqrt{x}+sqrt{x+12}=mleft( sqrt{5-x}+sqrt{4-x} right)left( 1 right)$ (m là tham số thực). Gọi $A=left{ min mathbb{Z}left| left( 1 right)text{ co }!!grave{mathrm{u}}!!text{ nghie }!!ddot{mathrm{a}}!!text{ m} right. right}$. Số phần tử của tập hợp A là?
A. 12. B. 4. C. 21. D. 0. |
Lời giải chi tiết
Điều kiện $0le xle 4$. Khi đó $PTLeftrightarrow m=frac{xsqrt{x}+sqrt{x+12}}{sqrt{5-x}+sqrt{4-x}}$
Xét hàm số $fleft( x right)=gleft( x right).hleft( x right)$ trong đó $gleft( x right)=xsqrt{x}+sqrt{x+12};hleft( x right)=frac{1}{sqrt{5-x}+sqrt{4-x}}$
Ta có: $gleft( x right)>0;hleft( x right)>0left( forall xin left[ 0;4 right] right)$
Mặt khác ${g}’left( x right)=frac{3}{2}sqrt{x}+frac{1}{2sqrt{x+12}}>0;{h}’left( x right)=frac{frac{1}{2sqrt{5-x}}+frac{1}{2sqrt{4-x}}}{{{left( sqrt{5-x}+sqrt{4-x} right)}^{2}}}>0$
Do đó 2 hàm số $gleft( x right)$ và $hleft( x right)$ luôn dương và đồng biến do đó hàm số $fleft( x right)=gleft( x right).hleft( x right)$ cũng luôn dương và đồng biến trên $left[ 0;4 right]$, $fleft( 0 right)=frac{2sqrt{3}}{2+sqrt{5}};fleft( 4 right)=12Rightarrow left( 1 right)$ có nghiệm khi và chỉ khi $min left[ frac{2sqrt{3}}{2+sqrt{5}};12 right]$. Do đó $A=left{ min mathbb{Z}left| left( 1 right)text{ co }!!grave{mathrm{u}}!!text{ nghie }!!ddot{mathrm{a}}!!text{ m} right. right}$ có 12 phần tử. Chọn A.