Tính tổng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số (y = cos x – frac{2}{3}{cos ^3}x) trên đoạn (left[ {0;pi } right]).
Câu hỏi:
Tính tổng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số (y = cos x – frac{2}{3}{cos ^3}x) trên đoạn (left[ {0;pi } right]).
A. (frac{{sqrt 2 }}{3}).
B. (frac{2}{3}).
C. (0).
D. (frac{{2sqrt 2 }}{3}).
Lời giải
Chọn C
Xét hàm số (y = fleft( x right) = cos x – frac{2}{3}{cos ^3}x) trên đoạn (left[ {0;pi } right]).
Đặt (t = cos x). Ta có (t in left[ { – 1;;1} right]) và hàm số đã cho trở thành (y = gleft( t right) = t – frac{2}{3}{t^3}).
(y’ = 1 – 2{t^2}); (left{ begin{array}{l}y’ = 0\t in left[ { – 1;;1} right]end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}1 – 2{t^2} = 0\t in left[ { – 1;;1} right]end{array} right. Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}{t = frac{{sqrt 2 }}{2}}\{t = – frac{{sqrt 2 }}{2}}end{array}} right.).
(gleft( { – 1} right) = – frac{1}{3}), (gleft( 1 right) = frac{1}{3}), (gleft( { – frac{{sqrt 2 }}{2}} right) = – frac{{sqrt 2 }}{3}), (gleft( {frac{{sqrt 2 }}{2}} right) = frac{{sqrt 2 }}{3}).
Vậy (mathop {max }limits_{left[ { – 1;1} right]} gleft( t right) = gleft( {frac{{sqrt 2 }}{2}} right) = frac{{sqrt 2 }}{3}), (mathop {min }limits_{left[ { – 1;1} right]} gleft( t right) = gleft( { – frac{{sqrt 2 }}{2}} right) = – frac{{sqrt 2 }}{3})
hay (mathop {max }limits_{left[ {0;pi } right]} y = fleft( {frac{pi }{4}} right) = frac{{sqrt 2 }}{3}), (mathop {min }limits_{left[ {0;pi } right]} y = fleft( {frac{{3pi }}{4}} right) = – frac{{sqrt 2 }}{3}).
Tổng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất là (frac{{sqrt 2 }}{3} + left( { – frac{{sqrt 2 }}{3}} right) = 0).
Nhận xét: Ta có (x in left[ {0;;pi } right] Rightarrow pi – x in left[ {0;;pi } right]) và (fleft( {pi – x} right) = – fleft( x right)).
Do đó nếu hàm số đạt giá trị lớn nhất tại ({x_0}) thì sẽ đạt giá trị nhỏ nhất tại (pi – {x_0}) và giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất là hai số đối nhau. Vậy tổng cần tìm bằng (0).
=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số