1.1. Hoán vá»
Tá»ng quát ta có
Má»t hoán vá» của má»t táºp hợp có n phần tá» là má»t cách sắp xếp có thứ tá»± n phân tá» Äó (vá»i n là má»t sá» tá»± nhiên, n > 1). Sá» các hoán vá» của táºp hợp có n phần tá», kà hiá»u là ({P_n}) Äược tÃnh bằng công thức ({P_n} = n.left( {n – 1} right).left( {n – 2} right)…2.1.) |
---|
Chú ý: Kà hiá»u (n.left( {n – 1} right).left( {n – 2} right)…2.1) là n! (Äá»c là n giai thừa), ta có: ({P_n} = n!). Chẳng hạn ({P_3} = 3! = 3.2.1 = 6).
Quy Æ°á»c 0!= 1.
Và dụ 1: Từ các chữ sá» 6, 7, 8 và 9 có thá» láºp Äược bao nhiêu sá» có bá»n chữ sá» khác nhau?
Giải
Má»i cách sắp xếp bá»n chữ sá» Äã cho Äá» láºp thảnh má»t sá» có bá»n chữ sá» khác nhau là má»t hoán vá» của bá»n chữ sá» Äó.
Váºy sá» các sá» có bá»n chữ sá» khác nhau có thá» láºp Äược là ({P_4} = 4! = 24.)
1.2. Chá»nh hợp
Má»t chá»nh hợp cháºp k của n là má»t cách sắp xếp có thứ tá»± k phần tá» từ má»t táºp hợp n phần tá» (vá»i k, n là các sá» tá»± nhiên, (1 le k le n)). Sá» các chá»nh hợp cháºp k của n, kà hiá»u là ({A_n}^k), Äược tÃnh bằng công thức ({A_n}^k = n.left( {n – 1} right)…left( {n – k + 1} right)) hay ({A_n}^k = frac{{n!}}{{left( {n – k} right)!}}left( {1 le k le n} right)) |
---|
Và dụ: Má»t lá»p có 30 há»c sinh, giáo viên cần chá»n lằn lượt 4 há»c sinh trá»ng bá»n cây khác nhau Äá» tham gia lá» phát Äá»ng Tết trá»ng cây của trÆ°á»ng. Há»i giáo viên có bao nhiá»u cách chá»n?
Giải
Má»i cách chá»n lần lượt 4 trong 30 há»c sinh Äá» trá»ng bá»n cây khác nhau là má»t chá»nh hợp cháºp 4 của 30.
Váºy sá» cách chá»n là ({A_{30}}^4 = 657720).
Chú ý
+ Hoán vá» sắp xếp tất cả các phần từ của táºp hợp, còn chá»nh hợp chá»n ra má»t sá» phần tá» và sắp xếp chúng.
+ Má»i hoán vá» của n phần tá» cÅ©ng chÃnh là má»t chá»nh hợp cháºp n của n phần từ Äó. Vì váºy ({P_n} = {A_n}^n).
1.3. TỠhợp
Tá»ng quát ta có:
Má»t tá» hợp cháºp k của n là má»t cách chá»n k phần tá» từ má»t táºp hợp n phần tá» (vá»i k, n là các sá» tá»± nhiên, (0 le k le n)). Sá» các tá» hợp cháºp k của n, kà hiá»u là ({C_n}^k), Äược tinh bằng công thức ({C_n}^k = frac{{n!}}{{left( {n – k} right)!k!}}left( {0 le k le n} right)) |
---|
Chú ý
+ ({C_n}^k = frac{{{A_n}^k}}{{k!}})
+ Chá»nh hợp và tá» hợp có Äiá»m giá»ng nhau là Äá»u chá»n má»t sá» phần tá» trong má»t táºp hợp, nhÆ°ng khác nhau á» chá», chá»nh hợp là chá»n có xếp thứ tá»±, còn tá» hợp là chá»n không xếp thứ tá»±.
Và dụ: Có 7 bạn há»c sinh muá»n chÆ¡i cá» cá ngá»±a, nhÆ°ng má»i ván chá» có 4 ngÆ°á»i chÆ¡i. Há»i có bao nhiêu cách chá»n 4 bạn chÆ¡i cá» cá ngá»±a?
Giải
Má»i cách chá»n 4 bạn trong 7 bạn há»c sinh là má»t tá» hợp cháºp 4 của 7.
Váºy sá» cách chá»n 4 bạn chÆ¡i cá» cá ngá»±a là ({C_7}^4 = frac{{7!}}{{4!3!}} = 35).
1.4. Ứng dụng hoán vá», chá»nh hợp, tá» hợp và o các bà i toán Äếm
Các khái niá»m hoán vá», chá»nh hợp và tá» hợp liên quan máºt thiết vá»i nhau và là những khái niá»m cá»t lõi của các phép Äếm. Rất nhiá»u bà i toán Äếm liên quan Äến viá»c lá»±a chá»n, viá»c sắp xếp, vì váºy các công thức tÃnh ({P_n},{A_n}^k,{C_n}^k) sẽ Äược dùng rất nhiá»u.
DÆ°á»i Äây ta xét má»t sá» vÄ© dụ vá» các bà i toán Äếm.
Và dụ: Má»t lần anh HÆ°ng Äến Hà Ná»i và dá»± Äá»nh từ Hà Ná»i tham quan Äá»n Hùng, Ninh Bình, Hạ Long, ÄÆ°á»ng Lâm và Bát Trà ng, má»i ngà y Äi tham quan má»t Äá»a Äiá»m rá»i lại vá» Hà Ná»i
a) Há»i anh HÆ°ng có thá» xếp Äược bao nhiêu lá»ch trình Äi tham quan tất cả các Äá»a Äiá»m (á» Äây lá»ch trình tÃnh cả thứ tá»± tham quan).
b) Anh HÆ°ng có viá»c Äá»t xuất phải vẻ sá»m, nên anh chá» có 3 ngà y Äá» Äi tham quan 3 Äá»a Äiá»m. Há»i anh HÆ°ng có bao nhiêu cách xếp lá»ch trình Äi tham quan?
Giải
a) Anh HÆ°ng Äi tham quan 5 Äá»a Äiá»m, má»i cách xếp lá»ch trình là má»t cách chá»n có thứ tá»± của 5 Äá»a Äiá»m trên. Váºy sá» cách xép lá»ch trình chÃnh bằng sá» các hoán vá» của 5 Äá»a Äiá»m, và bằng
({P_5} = 5! = 5.4.3.2.1 = 120) (cách)
b) Nếu anh HÆ°ng chá» có 3 ngà y Äá» Äi tham quan 3 nÆ¡i, thì má»i cách xếp lá»ch trình của anh chÃnh là má»t cách chá»n có thứ tá»± 3 Äá»a Äiá»m từ 5 Äá»a Äiá»m, tức là má»t chá»nh hợp cháºp 3 của 5.
Vây sá» cách xếp lá»ch trình Äi tham quan trong trÆ°á»ng hợp nà y lÃ
({A_5}^3 = frac{{5!}}{{left( {5 – 2} right)!}} = frac{{5!}}{{2!}} = 60) (cách)
1.5. Sá» dụng máy tÃnh cầm tay
Ta có thá» dùng máy tÃnh cằm tay Äá» tÃnh sá» các hoán vá», chá»nh hợp và tá» hợp.
Hoán vá»
Äá» tÃnh n!, ta ấn phim theo trình tá»± sau:
Ãn sá» n, ấn phÃm sau Äó ấn phÃm . Khi Äó, két quả sẽ hiá»n thá» á» dòng kết quả.
Và dụ. TÃnh 9!.
Ta ấn liên tiếp các phim như sau:
Dòng kết quả hiá»n ra 362 880.
Chá»nh hợp
Äá» tinh ({A_n}^k) ta ấn phim theo trình tá»± sau:
Ãn sá» n, ấn phim ấn sá» k, sau Äó ấn phÃm . Khi Äó, kết quả sẽ hiá»n thá» á» dòng kết quả.
Và dụ. TÃnh ({A_{15}}^2)
Ta ấn các phim theo trình tự sau:
Dòng kết quả hiá»n ra 210.
TỠhợp
Äá» tÃnh ({C_n}^k) ta án phÃm theo trình tá»± sau:
Ấn sá» n, ấn phim ấn sá» k sau Äó ấn phim . Khi Äó, kết quả sẽ hiá»n thá» á» dòng kết quả.
Và dụ. Tá»nh ({C_{20}}^5)
Ta ấn các phÃm theo trình tá»± sau:
Dòng kết quả hiá»n ra 15 504.