Bài tập số phức – Lấy môđun 2 vế tìm số phức có đáp án
Phương pháp lấy modun 2 về tìm số phức
Ta có: ${{z}_{1}}={{z}_{2}}Rightarrow left| {{z}_{1}} right|=left| {{z}_{2}} right|$
Lưu ý sử dụng các tính chất: $left| z right|=left| overline{z} right|,text{ }z.overline{z}={{left| z right|}^{2}};text{ }left| {{z}_{1}}{{z}_{2}} right|=left| {{z}_{1}} right|.left| {{z}_{2}} right|$ và $left| frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}} right|=frac{left| {{z}_{1}} right|}{left| {{z}_{2}} right|}left( {{z}_{2}}ne 0 right)$.
Bài tập giải số phức bằng phương pháp lấy Modun 2 vế có Lời giải chi tiết
| Bài tập 1: Cho số phức $z=a+bileft( a;bin mathbb{R} right)$ thỏa mãn $z-4=left( 1+i right)left| z right|-left( 4+3z right)i$.
Tìm tổng $S=2a+b$. A. $S=2$. B. $S=frac{4}{5}$. C. $S=4$. D. $S=0$. |
Lời giải chi tiết
Ta có: $PTLeftrightarrow z-4=left| z right|+ileft| z right|-4i-3izLeftrightarrow left( 1+3i right)z=left( left| z right|+4 right)+left( left| z right|-4 right)itext{ }left( * right)$
Lấy môđun 2 vế ta được: $left| left( 1+3i right)z right|=sqrt{{{left( left| z right|+4 right)}^{2}}+{{left( left| z right|-4 right)}^{2}}}$
$Leftrightarrow sqrt{10}left| z right|=sqrt{{{left( left| z right|+4 right)}^{2}}+{{left( left| z right|-4 right)}^{2}}}Leftrightarrow 10{{left| z right|}^{2}}=2{{left| z right|}^{2}}+32Leftrightarrow left| z right|=2$
Thế vào (*) ta có: $left( 1+3i right)z=6+2iRightarrow z=frac{6+2i}{1+3i}=frac{6-8i}{5}Rightarrow a=frac{6}{5};b=frac{-8}{5}Rightarrow S=frac{4}{5}$. Chọn B.
| Bài tập 2: Cho số phức $zne 0$ thỏa mãn $left( 2+3i right)left| z right|=frac{sqrt{26}}{overline{z}}+3-2i$. Khi đó
A. $0<left| z right|<1$. B. $1le left| z right|<2$. C. $2le left| z right|<3$. D. $left| z right|ge 3$. |
Lời giải chi tiết
Ta có: $left( 2+3i right)left| z right|=frac{sqrt{26}}{overline{z}}+3-2iLeftrightarrow 2left| z right|-3+3ileft| z right|+2i=frac{sqrt{26}}{overline{z}}$
$Leftrightarrow left( 2left| z right|-3 right)+left( 3left| z right|+2 right)i=frac{sqrt{26}}{overline{z}}text{ }left( * right)$
Lấy môđun 2 vế của biểu thức (*) ta được: $sqrt{{{left( 2left| z right|-3 right)}^{2}}+{{left( 3left| z right|+2 right)}^{2}}}=left| frac{sqrt{26}}{overline{z}} right|=frac{sqrt{26}}{left| z right|}text{ }left( * right)$
$Leftrightarrow 13{{left| z right|}^{2}}+13=frac{26}{{{left| z right|}^{2}}}Leftrightarrow {{left| z right|}^{4}}+{{left| z right|}^{2}}-2=0Leftrightarrow left[ begin{array} {} {{left| z right|}^{2}}=1 \ {} {{left| z right|}^{2}}=-2 \ end{array} right.Rightarrow left| z right|=1$. Chọn B.
| Bài tập 3: Cho số phức $z=a+bileft( a;bin mathbb{R} right)$ thỏa mãn phương trình $frac{left( left| z right|-1 right)left( 1+iz right)}{z-frac{1}{overline{z}}}=i$. Tính ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}$.
A. $3+2sqrt{2}$. B. $2+2sqrt{2}$. C. $3-2sqrt{2}$. D. 4. |
Lời giải chi tiết
ĐK: $left| z right|ne 1;text{ }overline{z}ne 0$
Ta có: $frac{left( left| z right|-1 right)left( 1+iz right)}{z-frac{1}{overline{z}}}=iLeftrightarrow left( left| z right|-1 right)left( 1+iz right)=ifrac{z.overline{z}-1}{overline{z}}=ifrac{{{left| z right|}^{2}}-1}{overline{z}}=ifrac{left( left| z right|-1 right)left( left| z right|+1 right)}{overline{z}}$
$Leftrightarrow overline{z}left( 1+iz right)=ileft( left| z right|+1 right)Leftrightarrow overline{z}=ileft( left| z right|+1-{{left| z right|}^{2}} right)$
Lấy môđun 2 vế ta được: $left| overline{z} right|=left| i right|left| left| z right|+1-{{left| z right|}^{2}} right|Leftrightarrow left| z right|=left| left| z right|+1-{{left| z right|}^{2}} right|$. Đặt $left| z right|=tge 0$
Khi đó $t=left| t+1-{{t}^{2}} right|Leftrightarrow left[ begin{array} {} t+1-{{t}^{2}}=t \ {} t+1-{{t}^{2}}=-t \ end{array} right.Rightarrow {{t}^{2}}-2t-1=0Rightarrow left[ begin{array} {} t=1+sqrt{2} \ {} t=1-sqrt{2}left( loai right) \ end{array} right.$
Suy ra $left| z right|=1+sqrt{2}Rightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{left| z right|}^{2}}=3+2sqrt{2}$. Chọn A.
| Bài tập 4: Cho số phức z thỏa mãn $left( 1+2i right)left| z right|=frac{sqrt{10}}{z}-2+i$. Hỏi phần thực của số phức $w=frac{1}{1+z}$ bằng bao nhiêu?
A. $frac{sqrt{3}}{2}$. B. $-frac{sqrt{3}}{2}$. C. $frac{1}{2}$. D. $frac{1}{4}$. |
Lời giải chi tiết
Giả thiết $left( 1+2i right)left| z right|=frac{sqrt{10}}{z}-2+iLeftrightarrow left| z right|+2i.left| z right|+2-i=frac{sqrt{10}}{z}Leftrightarrow left| z right|+2+left( 2left| z right|-1 right)i=frac{sqrt{10}}{z}$.
Lấy môđun hai vế của (*) ta được $sqrt{{{left( left| z right|+2 right)}^{2}}+{{left( 2left| z right|-1 right)}^{2}}}=frac{sqrt{10}}{left| z right|}Rightarrow left| z right|=1$.
Do đó $1+2i=frac{sqrt{10}}{z}-2+iLeftrightarrow z=frac{sqrt{10}}{3+i}Rightarrow w=frac{1}{1+z}=frac{1}{2}+frac{-3+sqrt{10}}{2}i$. Chọn C.
| Bài tập 5: Cho số phức z thỏa mãn $left( 3-4i right)z-frac{4}{left| z right|}=8$. Trên mặt phẳng tọa độ, khoảng cách từ gốc tọa độ đến điểm biểu diễn số phức z thuộc tập nào?
A. $left( frac{9}{4};+infty right)$. B. $left( frac{1}{4};frac{5}{4} right)$. C. $left( 0;frac{1}{4} right)$. D. $left( frac{1}{2};frac{9}{4} right)$. |
Lời giải chi tiết
Ta có $left( 3-4i right)z-frac{4}{left| z right|}=8Leftrightarrow left( 3-4i right)z=8+frac{4}{left| z right|}text{ }left( * right)$.
Lấy môđun hai vế của (*) và sử dụng công thức $left| {{z}_{1}}.{{z}_{2}} right|=left| {{z}_{1}} right|.left| {{z}_{2}} right|$, ta được
$left( * right)Leftrightarrow left| left( 3-4i right)z right|=left| 8+frac{4}{left| z right|} right|=8+frac{4}{left| z right|}$
$Leftrightarrow 5left| z right|=8+frac{4}{left| z right|}Leftrightarrow 5{{left| z right|}^{2}}-8left| z right|-4=0Leftrightarrow left| z right|=2$. Gọi $Mleft( x;y right)$ là điểm biểu diễn số phức z. Khi đó $OM=sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=left| z right|=2in left( frac{1}{2};frac{9}{4} right)$. Chọn D.
| Bài tập 6: Xét số phức z thỏa mãn $2iz=left( i-1 right)left| z right|-left( 1+i right)$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. $left| z right|=2sqrt{2}$. B. $left| z right|=sqrt{2}$. C. $left| z right|=1$. D. $left| z right|=2$. |
Lời giải chi tiết
Ta có: $2iz=left( i-1 right)left| z right|-left( 1+i right)Leftrightarrow 2iz=left| z right|i-left| z right|-1-iLeftrightarrow 2iz=-left| z right|-1+left( left| z right|-1 right)itext{ }left( * right)$
Lấy môđun hai vế của (*), ta được $left| 2iz right|=sqrt{{{left( left| z right|+1 right)}^{2}}+{{left( left| z right|-1 right)}^{2}}}Leftrightarrow 2left| z right|=sqrt{{{left( left| z right|+1 right)}^{2}}+{{left( left| z right|-1 right)}^{2}}}$
$Leftrightarrow 4{{left| z right|}^{2}}={{left( left| z right|+1 right)}^{2}}+{{left( left| z right|-1 right)}^{2}}Leftrightarrow 4{{left| z right|}^{2}}=2{{left| z right|}^{2}}+2Leftrightarrow {{left| z right|}^{2}}=1Leftrightarrow left| z right|=1$. Chọn C.
| Bài tập 7: [Đề thi THPT Quốc gia 2018] Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn $left| z right|left( z-4-i right)+2i=left( 5-i right)z$:
A. 2. B. 3. C. 1. D. 4. |
Lời giải chi tiết
$PTLeftrightarrow zleft( 5-i-left| z right| right)=-4left| z right|+left( 2-left| z right| right)i$
Lấy môđun 2 vế ta được: $left| z right|.left| 5-i-left| z right| right|=sqrt{16{{left| z right|}^{2}}+{{left( 2-left| z right| right)}^{2}}}$
Đặt $t=left| z right|left( tge 0 right)$ ta có: $t.left| 5-i-t right|=sqrt{16{{t}^{2}}+{{left( 2-t right)}^{2}}}Leftrightarrow t.sqrt{{{left( 5-t right)}^{2}}+{{1}^{2}}}=sqrt{17{{t}^{2}}-4t+4}$
$Leftrightarrow {{t}^{4}}-10{{t}^{3}}+9{{t}^{2}}+4t-4=0Leftrightarrow left( t-1 right)left( {{t}^{3}}-9{{t}^{2}}+4 right)=0Leftrightarrow left[ begin{array} {} t=1 \ {} t=8,95 \ {} t=0,69 \ {} t=-0,64left( loai right) \ end{array} right.$
Ứng với mỗi giá trị $tge 0Rightarrow z=frac{-4t+left( 2-t right)i}{5-i-t}Rightarrow $ có một số phức z.
Do vậy có 3 số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn B.
| Bài tập 8: Cho hai số phức ${{z}_{1}},text{ }{{z}_{2}}$ thỏa mãn $left| {{z}_{1}} right|=2,text{ }left| {{z}_{2}} right|=sqrt{2}$. Gọi M, N lần lượt là điểm biểu diễn số phức ${{z}_{1}}$ và $i{{z}_{2}}$. Biết rằng $widehat{MON}=45{}^circ $ với O là gốc tọa độ. Tính $left| z_{1}^{2}+4z_{2}^{2} right|$.
A. $4sqrt{2}$. B. 4. C. 6. D. $4sqrt{5}$. |
Lời giải chi tiết
Ta có $left{ begin{array} {} left| {{z}_{1}} right|=2 \ {} left| {{z}_{2}} right|=sqrt{2} \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} left| {{z}_{1}} right|=2 \ {} left| i{{z}_{2}} right|=sqrt{2} \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} left| {{z}_{1}} right|=2 \ {} i{{z}_{2}}=sqrt{2} \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} left| {{z}_{1}} right|=2 \ {} {{z}_{2}}=-isqrt{2} \ end{array} right.$
Do đó, điểm N biểu diễn số phức $i{{z}_{2}}$ có tọa độ là $Nleft( sqrt{2};0 right)$.
Vì $widehat{MON}=45{}^circ $ và $OM=2Rightarrow OM=ONsqrt{2}Rightarrow Mleft( sqrt{2};sqrt{2} right)$.
Suy ra ${{z}_{1}}=sqrt{2}+isqrt{2}$ và ${{z}_{2}}=-isqrt{2}xrightarrow{{}}left| z_{1}^{2}+4z_{2}^{2} right|=4sqrt{5}$. Chọn D.
| Bài tập 9: Cho hai số phức ${{z}_{1}}$ và ${{z}_{2}}$ thỏa mãn $left| {{z}_{1}} right|=3,text{ }left| {{z}_{2}} right|=4,text{ }left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} right|=sqrt{37}$. Xét số phức $z=frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}}=a+bi$. Tìm $left| b right|$.
A. $left| b right|=frac{3}{8}$. B. $left| b right|=frac{sqrt{3}}{8}$. C. $left| b right|=frac{3sqrt{3}}{8}$. D. $left| b right|=frac{8}{3}$. |
Lời giải chi tiết
Chọn ${{z}_{2}}=4xrightarrow{{}}left{ begin{array} {} left| {{z}_{1}} right|=3 \ {} left| {{z}_{1}}-4 right|=sqrt{37} \ end{array} right.$. Gọi ${{z}_{1}}=a+biRightarrow left{ begin{array} {} {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=9 \ {} {{left( a-4 right)}^{2}}+{{b}^{2}}=37 \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} a=-frac{3}{2} \ {} b=-frac{3sqrt{3}}{2} \ end{array} right.$.
Vậy $z=frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}}=frac{-frac{3}{2}-frac{3sqrt{3}}{2}i}{4}=-frac{3}{8}-frac{3sqrt{3}}{8}ixrightarrow[{}]{}left| b right|=frac{3sqrt{3}}{8}$. Chọn C.
| Bài tập 10: Cho hai số phức ${{z}_{1}},text{ }{{z}_{2}}$ thỏa mãn $left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} right|=sqrt{3},text{ }left| {{z}_{1}} right|=left| {{z}_{2}} right|=1$. Tính ${{z}_{1}}overline{{{z}_{2}}}+overline{{{z}_{1}}}{{z}_{2}}$.
A. ${{z}_{1}}overline{{{z}_{2}}}+overline{{{z}_{1}}}{{z}_{2}}=0$. B. ${{z}_{1}}overline{{{z}_{2}}}+overline{{{z}_{1}}}{{z}_{2}}=1$. C. ${{z}_{1}}overline{{{z}_{2}}}+overline{{{z}_{1}}}{{z}_{2}}=2$. D. ${{z}_{1}}overline{{{z}_{2}}}+overline{{{z}_{1}}}{{z}_{2}}=-1$. |
Lời giải chi tiết
Chọn ${{z}_{2}}=1xrightarrow{{}}left{ begin{array} {} left| {{z}_{1}} right|=1 \ {} left| {{z}_{1}}+1 right|=sqrt{3} \ end{array} right.$. Gọi ${{z}_{1}}=a+biRightarrow left{ begin{array} {} {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=1 \ {} {{left( a+1 right)}^{2}}+{{b}^{2}}=3 \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} a=frac{1}{2} \ {} b=-frac{sqrt{3}}{2} \ end{array} right.$.
Vậy ${{z}_{1}}=frac{1}{2}-frac{sqrt{3}}{2}ixrightarrow{{}}{{z}_{1}}overline{{{z}_{2}}}+overline{{{z}_{1}}}{{z}_{2}}=frac{1}{2}-frac{sqrt{3}}{2}i+frac{1}{2}+frac{sqrt{3}}{2}i=1$. Chọn B.
| Bài tập 11: Cho ba số phức ${{z}_{1}},text{ }{{z}_{2}},text{ }{{z}_{3}}$ thỏa mãn $left| {{z}_{1}} right|=left| {{z}_{2}} right|=left| {{z}_{3}} right|=1$ và ${{z}_{1}}+{{z}_{2}}+{{z}_{3}}=0$. Tính giá trị của biểu thức $P=z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}$.
A. $P=-1$. B. $P=0$. C. $P=1$. D. $P=2$. |
Lời giải chi tiết
Ta có $A=z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}={{left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}}+{{z}_{3}} right)}^{2}}-2left( {{z}_{1}}{{z}_{2}}+{{z}_{2}}{{z}_{3}}+{{z}_{3}}{{z}_{1}} right)=-2left( {{z}_{1}}{{z}_{2}}+{{z}_{2}}{{z}_{3}}+{{z}_{3}}{{z}_{1}} right)$
$=-2{{z}_{1}}{{z}_{2}}{{z}_{3}}left( frac{1}{{{z}_{1}}}+frac{1}{{{z}_{2}}}+frac{1}{{{z}_{3}}} right)=-2{{z}_{1}}{{z}_{2}}{{z}_{3}}left( frac{left| {{z}_{1}} right|}{{{z}_{1}}}+frac{left| {{z}_{2}} right|}{{{z}_{2}}}+frac{left| {{z}_{3}} right|}{{{z}_{3}}} right)=-{{z}_{1}}{{z}_{2}}{{z}_{3}}left( overline{{{z}_{1}}}+overline{{{z}_{2}}}+overline{{{z}_{3}}} right)$
Mặt khác ${{z}_{1}}+{{z}_{2}}+{{z}_{3}}=0Rightarrow overline{{{z}_{1}}}+overline{{{z}_{2}}}+overline{{{z}_{3}}}=0$ suy ra $P=0$. Chọn B.
| Bài tập 12: Cho số phức $z=a+bine 0text{ }left( a,bin mathbb{R} right)$ sao cho z không phải là số thực và $frac{z}{1+{{z}^{2}}}$ là số thực. Tính giá trị của biểu thức $P=frac{left| z right|}{1+{{left| z right|}^{2}}}$.
A. $P=frac{1}{5}$. B. $P=frac{1}{2}$. C. $P=frac{1}{3}$. D. $P=1$. |
Lời giải chi tiết
Cách 1. Tư duy nhanh, w là số thực ® $frac{1}{w}$ là số thực ® $z+frac{1}{z}$ là số thực.
Mà dễ thấy $z+overline{z}$ là số thực nên $overline{z}=frac{1}{z}Leftrightarrow z.overline{z}=1Leftrightarrow {{left| z right|}^{2}}=1Leftrightarrow left| z right|=1Rightarrow frac{left| z right|}{1+{{left| z right|}^{2}}}=frac{1}{2}$.
Cách 2. Ta có biến đổi $frac{z}{1+{{z}^{2}}}=frac{overline{z}}{1+{{overline{z}}^{2}}}Leftrightarrow z+z.{{overline{z}}^{2}}=overline{z}+overline{z}.{{z}^{2}}Leftrightarrow z-overline{z}=left( z-overline{z} right).z.overline{z}$
$Leftrightarrow left[ begin{array} {} z-overline{z}=0 \ {} z.overline{z}=1 \ end{array} right.Leftrightarrow z.overline{z}=1Leftrightarrow {{left| z right|}^{2}}=1Rightarrow frac{left| z right|}{1+{{left| z right|}^{2}}}=frac{1}{2}$.
Cách 3. Chọn $w=frac{z}{1+{{z}^{2}}}=frac{1}{2}Leftrightarrow {{left( z-1 right)}^{2}}=0Leftrightarrow z=1Rightarrow left| z right|=1Rightarrow frac{left| z right|}{1+{{left| z right|}^{2}}}=frac{1}{2}$. Chọn B.
| Bài tập 13: Cho hai số phức ${{z}_{1}},text{ }{{z}_{2}}$ thỏa ${{z}_{1}},{{z}_{2}}ne 0,text{ }{{z}_{1}}+{{z}_{2}}ne 0$ và $frac{1}{{{z}_{1}}+{{z}_{2}}}=frac{1}{{{z}_{1}}}+frac{2}{{{z}_{2}}}$. Tính $left| frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}} right|$.
A. $left| frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}} right|=frac{sqrt{2}}{2}$. B. $left| frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}} right|=frac{sqrt{3}}{2}$. C. $left| frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}} right|=2sqrt{3}$. D. $left| frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}} right|=frac{2}{sqrt{3}}$. |
Lời giải chi tiết
Cách 1. Ta có $frac{1}{{{z}_{1}}}+frac{2}{{{z}_{2}}}=frac{1}{{{z}_{1}}+{{z}_{2}}}Leftrightarrow frac{2{{z}_{1}}+{{z}_{2}}}{{{z}_{1}}{{z}_{2}}}=frac{1}{{{z}_{1}}+{{z}_{2}}}Leftrightarrow left( 2{{z}_{1}}+{{z}_{2}} right)left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} right)={{z}_{1}}{{z}_{2}}$.
$Leftrightarrow {{left( {{z}_{2}} right)}^{2}}+2.{{z}_{1}}.{{z}_{2}}+2{{left( {{z}_{1}} right)}^{2}}=0Leftrightarrow 2{{left( frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}} right)}^{2}}+2left( frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}} right)+1=0Leftrightarrow frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}}=-frac{1+i}{2}$.
Khi đó $P=left| frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}} right|=left| -frac{1+i}{2} right|=frac{sqrt{2}}{2}$.
Cách 2. Chọn ${{z}_{1}}=iRightarrow frac{1}{i}+frac{2}{{{z}_{2}}}=frac{1}{i+{{z}_{2}}}Rightarrow {{z}_{2}}=1-iRightarrow left| frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}} right|=frac{sqrt{2}}{2}$. Chọn A.
.