Bài tập tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số mũ và logarit có đáp án chi tiết
Bài tập trắc nghiệm Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số mũ, logarit, lũy thừa – Toán lớp 12
| Bài tập 1: Cho $m={{log }_{a}}left( sqrt[3]{ab} right)$, với $a,b>1$ và $P=log _{a}^{2}b+16{{log }_{b}}a$. Khi biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất thì giá trị của m bằng
A. $m=2$. B. $m=1$. C. $m=frac{1}{2}$. D. $m=4$. |
Lời giải chi tiết
Ta có: $P=log _{a}^{2}b+16{{log }_{b}}a={{left( {{log }_{a}}b right)}^{2}}+frac{16}{{{log }_{a}}b}$
Đặt $t={{log }_{a}}b$ vì $a,b>1Rightarrow {{log }_{a}}b=t>0$
Khi đó $P={{t}^{2}}+frac{16}{t}={{t}^{2}}+frac{8}{t}+frac{8}{t}ge sqrt[3]{{{t}^{2}}.frac{8}{t}.frac{8}{t}}=12$.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ${{t}^{2}}=frac{8}{t}Leftrightarrow t=2Leftrightarrow {{log }_{a}}b=2$.
Lại có $m={{log }_{a}}left( sqrt[3]{ab} right)={{log }_{a}}{{left( ab right)}^{frac{1}{3}}}=frac{1}{3}{{log }_{a}}ab=frac{1}{3}left( 1+{{log }_{a}}b right)=1$. Chọn B.
| Bài tập 2: Cho x, y là số thực dương thỏa mãn $ln x+ln yge ln left( {{x}^{2}}+y right)$. Tìm giá trị nhỏ nhất ${{P}_{min }}$ của biểu thức $P=x+y$.
A. ${{P}_{min }}=6$. B. ${{P}_{min }}=2sqrt{2}+3$. C. ${{P}_{min }}=3sqrt{2}+2$. D. ${{P}_{min }}=sqrt{17}+sqrt{2}$. |
Lời giải chi tiết
Ta có $ln x+ln yge ln left( {{x}^{2}}+y right)Leftrightarrow ln left( xy right)ge ln left( {{x}^{2}}+y right)Leftrightarrow xyge {{x}^{2}}+yLeftrightarrow yleft( x-1 right)ge {{x}^{2}}$.
Mà $x,y>0$ suy ra $yleft( x-1 right)ge {{x}^{2}}>0Leftrightarrow x-1>0Leftrightarrow x>1$. Khi đó $yleft( x-1 right)ge {{x}^{2}}Leftrightarrow yge frac{{{x}^{2}}}{x-1}$.
Do đó, biểu thức $P=x+y=x+frac{{{x}^{2}}}{x-1}xrightarrow{{}}fleft( x right)=frac{2{{x}^{2}}-x}{x-1}$.
Xét hàm số $fleft( x right)$ trên khoảng $left( 1;+infty right)$, có ${f}’left( x right)=frac{2{{x}^{2}}-4x+1}{{{left( x-1 right)}^{2}}},text{ }forall xne 1$.
Phương trình ${f}’left( x right)=0Leftrightarrow left{ begin{array} {} x>1 \ {} {{x}^{2}}-4x+1=0 \ end{array} right.Leftrightarrow x=frac{2+sqrt{2}}{2}$.
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra $min fleft( x right)=fleft( frac{2+2sqrt{2}}{2} right)=3+2sqrt{2}$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là ${{P}_{min }}=3+2sqrt{2}$. Chọn B.
Nhận xét. Vì hàm số$y=ln x$ đồng biến trên khoảng $left( 0;+infty right)$ nên
$fleft( x right)>gleft( x right)Leftrightarrow ln fleft( x right)>ln gleft( x right)$ .
| Bài tập 3: Cho các số thực dương x, y thỏa mãn $log left( x+2y right)=log x+log y$.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=sqrt[4]{{{e}^{frac{{{x}^{2}}}{1+2y}}}}.{{e}^{frac{{{y}^{2}}}{1+x}}}$. A. ${{P}_{min }}={{e}^{frac{5}{8}}}$. B. ${{P}_{min }}=e$. C. ${{P}_{min }}={{e}^{frac{8}{5}}}$. D. ${{P}_{min }}={{e}^{frac{1}{2}}}$. |
Lời giải chi tiết
Từ giả thiết, ta có $log left( x+2y right)=log x+log yLeftrightarrow log left( x+2y right)=log left( xy right)Leftrightarrow x+2y=xy$.
Ta có $P=sqrt[4]{{{e}^{frac{{{x}^{2}}}{1+2y}}}}.{{e}^{frac{{{y}^{2}}}{1+x}}}={{e}^{frac{1}{4}.frac{{{x}^{2}}}{1+2y}}}.{{e}^{frac{{{y}^{2}}}{1+x}}}={{e}^{frac{{{left( frac{x}{2} right)}^{2}}}{1+2y}+frac{{{y}^{2}}}{1+2.frac{x}{2}}}}$. Đặt $left{ begin{array} {} a=frac{x}{2} \ {} b=y \ end{array} right.$, giả thiết $Leftrightarrow a+b=ab$.
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta được $a+b=able frac{{{left( a+b right)}^{2}}}{4}Leftrightarrow a+bge 4$
Và xét biểu thức $T=frac{{{a}^{2}}}{1+2b}+frac{{{b}^{2}}}{1+2a}ge frac{{{left( a+b right)}^{2}}}{2+2left( a+b right)}xrightarrow{{}}fleft( t right)=frac{{{t}^{2}}}{t+1}$ với $t=a+bge 4$.
Xét hàm số $fleft( t right)$ trên $left[ 4;+infty right)$, có ${f}’left( t right)=frac{{{t}^{2}}+2t}{{{left( t+1 right)}^{2}}}>0Rightarrow fleft( t right)$ là hàm số đồng biến trên $left[ 4;+infty right)$
Do đó $fleft( t right)ge fleft( 4 right)=frac{16}{5}$ suy ra $Tge frac{8}{5}xrightarrow{{}}P={{e}^{T}}ge {{e}^{frac{8}{5}}}$. Chọn C
Nhận xét. Bài toán có sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức $frac{{{x}^{2}}}{a}+frac{{{y}^{2}}}{b}ge frac{{{left( x+y right)}^{2}}}{a+b}$.
| Bài tập 4: Cho x, y là số thực dương thỏa mãn ${{log }_{4}}left( x+y right)+{{log }_{4}}left( x-y right)ge 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất ${{P}_{min }}$ của biểu thức $P=2x-y$.
A. ${{P}_{min }}=4$. B. ${{P}_{min }}=-4$. C. ${{P}_{min }}=2sqrt{3}$. D. ${{P}_{min }}=frac{10sqrt{3}}{3}$. |
Lời giải chi tiết
Điều kiện: $x>y>0$. Từ giả thiết, ta có ${{log }_{4}}left[ left( x+y right)left( x-y right) right]ge 1Leftrightarrow {{x}^{2}}-{{y}^{2}}ge 4text{ }left( * right)$
Ta có $P=2x-yLeftrightarrow y=2x-P$ thế vào (*), ta được ${{x}^{2}}-{{left( 2x-P right)}^{2}}ge 4$.
$Leftrightarrow {{x}^{2}}-4{{x}^{2}}+4xP-{{P}^{2}}ge 4Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-4xP+{{P}^{2}}+4le 0text{ }left( * right)$
Để bất phương trình (*) có nghiệm $text{{ }!!Delta!!text{ }’=}{{left( -2P right)}^{2}}-3left( {{P}^{2}}+4 right)ge 0Leftrightarrow {{P}^{2}}-12ge 0Leftrightarrow Pge 2sqrt{3}$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là ${{P}_{min }}=2sqrt{3}$.Chọn C.
| Bài tập 5: [Đề thi THPT Quốc gia 2017] Xét các số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện ${{log }_{3}}frac{1-xy}{x+2y}=3xy+x+2y-4$. Tìm giá trị nhỏ nhất ${{P}_{min }}$ của $P=x+y$.
A. ${{P}_{min }}=frac{9sqrt{11}-19}{9}$. B. ${{P}_{min }}=frac{9sqrt{11}+19}{9}$. C. ${{P}_{min }}=frac{18sqrt{11}-29}{21}$. D. ${{P}_{min }}=frac{2sqrt{11}-3}{3}$. |
Lời giải chi tiết
Ta có ${{log }_{3}}frac{1-xy}{x+2y}=3xy+x+2y-4Leftrightarrow {{log }_{3}}left( 1-xy right)-{{log }_{3}}left( x+2y right)=3xy+x+2y-4$
$Leftrightarrow 2-3xy+{{log }_{3}}left( 3-3xy right)=x+2y+{{log }_{3}}left( x+2y right)$
Xét hàm số $fleft( t right)=t+{{log }_{3}}t$ trên khoảng $left( 0;+infty right)$, có ${f}’left( t right)=1+frac{1}{t.ln 3}>0,text{ }forall t>0$
Suy ra $fleft( t right)$ là hàm số đồng biến trên khoảng $left( 0;+infty right)$
Mà $fleft( 3-3xy right)=fleft( x+2y right)Leftrightarrow 3-3xy=x+2yLeftrightarrow y=frac{3-x}{3x+2}$.
Khi đó, biểu thức $P=x+y=x+frac{3-x}{3x+2}=frac{3{{x}^{2}}+x+3}{3x+2}xrightarrow{{}}fleft( x right)=frac{3{{x}^{2}}+x+3}{3x+2}$
Xét hàm số $fleft( x right)$ trên khoảng $left( 0;+infty right)$, có ${f}’left( x right)=frac{9{{x}^{2}}+12x-7}{{{left( 3x+2 right)}^{2}}},text{ }forall x>0$.
Phương trình ${f}’left( x right)=0Leftrightarrow left{ begin{array} {} x>0 \ {} 9{{x}^{2}}+12x-7=0 \ end{array} right.Leftrightarrow x=frac{sqrt{11}-2}{3}$.
Tính $fleft( frac{sqrt{11}-2}{3} right)=frac{2sqrt{11}-3}{3},fleft( 0 right)=frac{3}{2}$ và $underset{xto +infty }{mathop{lim }},fleft( x right)=+infty xrightarrow{{}}underset{left( 0;+infty right)}{mathop{min }},fleft( x right)=frac{2sqrt{11}-3}{3}$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là ${{P}_{min }}=frac{2sqrt{11}-3}{3}$. Chọn D.
| Bài tập 6: Cho hai số thực x, y thỏa mãn ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}>1$ và ${{log }_{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}}left( x+2y right)ge 1$. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=2x+y$. Tính $M+m$.
A. ${{P}_{min }}=4$. B. ${{P}_{min }}=4$. C. ${{P}_{min }}=2sqrt{3}$. D. ${{P}_{min }}=frac{10sqrt{3}}{3}$. |
Lời giải chi tiết
Vì ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}>1$ suy ra $y={{log }_{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}}fleft( x right)$ là hàm số đồng biến trên tập xác định.
Khi đó ${{log }_{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}}left( x+2y right)ge {{log }_{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}}left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} right)Leftrightarrow x+2yge {{x}^{2}}+{{y}^{2}}$
$Leftrightarrow {{x}^{2}}-x+{{y}^{2}}-2yle 0Leftrightarrow left( {{x}^{2}}-x+frac{1}{4} right)+left( {{y}^{2}}-2y+1 right)le frac{5}{4}Leftrightarrow {{left( x-frac{1}{2} right)}^{2}}+{{left( y-1 right)}^{2}}le frac{5}{4}$
Xét biểu thức P, ta có $P=2x+y=2left( x-frac{1}{2} right)+y-1+2Leftrightarrow 2left( x-frac{1}{2} right)+y-1=P-2$.
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki, có ${{left[ 2left( x-frac{1}{2} right)+y-1 right]}^{2}}le left( {{2}^{2}}+{{1}^{2}} right).{{left[ {{left( x+frac{1}{2} right)}^{2}}+{{left( y-1 right)}^{2}} right]}^{2}}$
$Leftrightarrow {{left( P-2 right)}^{2}}le 5.frac{5}{4}=frac{25}{5}Leftrightarrow -frac{5}{2}le P-2le frac{5}{2}Leftrightarrow -frac{1}{2}le Ple frac{9}{2}xrightarrow{{}}left{ begin{array} {} {{P}_{min }}=-frac{1}{2} \ {} {{P}_{max }}=frac{9}{2} \ end{array} right.$.
Vậy tổng $M+m=frac{9}{2}+left( -frac{1}{2} right)=4$. Chọn C.
| Bài tập 7: [Đề thi Thử nghiệm 2017 – Bộ GD{}ĐT] Xét các số thực a, b thỏa mãn điều kiện $a>b>1$. Tìm giá trị nhỏ nhất ${{P}_{min }}$ của biểu thức $P=log _{frac{a}{b}}^{2}left( {{a}^{2}} right)+3{{log }_{b}}left( frac{a}{b} right)$.
A. ${{P}_{min }}=19$. B. ${{P}_{min }}=13$. C. ${{P}_{min }}=14$. D. ${{P}_{min }}=15$. |
Lời giải chi tiết
Ta có $log _{frac{a}{b}}^{2}left( {{a}^{2}} right)=4{{left( {{log }_{frac{a}{b}}}a right)}^{2}}=frac{4}{{{left( {{log }_{a}}frac{a}{b} right)}^{2}}}=frac{4}{{{left( {{log }_{a}}a-{{log }_{a}}b right)}^{2}}}=frac{4}{{{left( 1-{{log }_{a}}b right)}^{2}}}$.
Khi đó biểu thức $P=frac{4}{{{left( 1-{{log }_{a}}b right)}^{2}}}+3{{log }_{b}}a-3=frac{4}{{{left( 1-{{log }_{a}}b right)}^{2}}}+frac{3}{{{log }_{a}}b}-3$.
Đặt $t={{log }_{a}}b$ với $left{ begin{array} {} a>1 \ {} b>1 \ end{array} right.Rightarrow t>0$ suy ra $P=fleft( t right)=frac{4}{{{left( 1-t right)}^{2}}}+frac{3}{t}-3$.
Xét hàm số $fleft( t right)$, có ${f}’left( t right)=-frac{8}{{{left( t-1 right)}^{3}}}-frac{3}{{{t}^{2}}},text{ }{f}’left( t right)=0Leftrightarrow t=frac{1}{3}$.
Tính $fleft( frac{1}{3} right)=15,text{ }underset{tto 1}{mathop{lim }},fleft( t right)=+infty $ và $underset{tto 0}{mathop{lim }},fleft( t right)=+infty $.
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số $fleft( t right)$ là 15.
Vậy giá trị nhỏ nhất cần tìm là ${{P}_{min }}=15$. Chọn D.
| Bài tập 8: Cho các số thực a, b thỏa mãn $a>1,text{ }b>1$.
Tìm giá trị nhỏ nhất ${{P}_{min }}$ của biểu thức $P=frac{27}{2}{{left( 2{{log }_{ab}}a+{{log }_{ab}}b right)}^{2}}+4{{log }_{a}}ab$. A. ${{P}_{min }}=36$. B. ${{P}_{min }}=24$. C. ${{P}_{min }}=48$. D. ${{P}_{min }}=32$. |
Lời giải chi tiết
Xét biểu thức P, ta có $P=frac{27}{2}left( frac{2}{{{log }_{a}}ab}+frac{1}{{{log }_{b}}ab} right)+4{{log }_{a}}b+4$.
Đặt $t={{log }_{a}}btext{ }left( t>0 right)Leftrightarrow {{log }_{b}}a=frac{1}{t}$. Khi đó $P=frac{27}{2}{{left( frac{2}{t+1}+frac{t}{t+1} right)}^{2}}+4t+4$.
Xét hàm số $fleft( t right)=frac{27}{2}{{left( frac{t+2}{t+2} right)}^{2}}+4t$ với $tin left( 0;+infty right)$, có ${f}’left( t right)=frac{left( t-2 right){{left( 2t+5 right)}^{2}}}{{{left( t+1 right)}^{3}}}=0Leftrightarrow t=2$.
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy rằng $fleft( t right)$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $fleft( 2 right)=32Rightarrow {{P}_{min }}=36$. Chọn A.
| Bài tập 9: Cho hai số thực $age b>1$. Biết rằng biểu thức $T=frac{2}{{{log }_{ab}}a}+sqrt{{{log }_{a}}frac{a}{b}}$ đạt giá trị lớn nhất là M khi có số thực m sao cho $b={{a}^{m}}$. Tính $P=M+m$.
A. $M-m=frac{23}{8}$. B. $M-m=frac{81}{16}$. C. $M-m=frac{19}{8}$. D. $M-m=frac{51}{16}$. |
Lời giải chi tiết
Xét biểu thức T, ta có $T=2{{log }_{a}}ab+sqrt{{{log }_{a}}a-{{log }_{a}}b}=2{{log }_{a}}b+sqrt{1-{{log }_{a}}b}+2$.
Đặt $t={{log }_{a}}b$ với $tin left( -infty ;1 right]$, khi đó $T=fleft( t right)=2t+sqrt{1-t}+2$.
Xét hàm số $fleft( t right)$ trên khoảng $left( -infty ;1 right]$, có ${f}’left( t right)=2-frac{1}{2sqrt{1-t}};{f}’left( t right)=0Leftrightarrow t=frac{15}{16}$.
Tính $fleft( 1 right)=4,fleft( frac{15}{16} right)=frac{33}{8}$ và $underset{tto -infty }{mathop{lim }},fleft( t right)=-infty $.
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra giá trị lớn nhất của hàm số $fleft( t right)$ là $frac{33}{8}$.
Vậy $M=frac{33}{8}$ và $b={{a}^{m}}Leftrightarrow m={{log }_{a}}b=t=frac{15}{16}Rightarrow M-m=frac{51}{16}$. Chọn D.
| Bài tập 10: Cho a, b là các số thực dương khác 1. Biết rằng biểu thức $P=frac{{{log }_{a}}frac{b}{a}+{{log }_{b}}a}{{{log }_{a}}left( ab right)+{{log }_{b}}a}$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng M khi $b={{a}^{m}}$. Tính $M+m$.
A. $M+m=2$. B. $M+m=frac{2}{3}$. C. $M+m=frac{4}{3}$. D. $M+m=0$. |
Lời giải chi tiết
Xét biểu thức P, ta có $P=frac{{{log }_{a}}b-{{log }_{a}}a+{{log }_{b}}a}{lo{{g}_{a}}a+{{log }_{a}}b+{{log }_{b}}a}=frac{{{log }_{a}}b+{{log }_{b}}a-1}{{{log }_{a}}b+{{log }_{b}}a+1}$.
Đặt $t={{log }_{a}}bLeftrightarrow {{log }_{b}}a=frac{1}{t}$ với $tin mathbb{R}$, khi đó $P=fleft( t right)=frac{t+frac{1}{t}-1}{t+frac{1}{t}+1}=frac{{{t}^{2}}-t+1}{{{t}^{2}}+t+1}$.
Xét hàm số $fleft( t right)$ trên khoảng $left( -infty ;+infty right)$, có ${f}’left( t right)=frac{2left( {{t}^{2}}-1 right)}{{{left( {{t}^{2}}+t+1 right)}^{2}}},text{ }{f}’left( t right)=0Leftrightarrow t=pm 1$.
Tính $fleft( 1 right)=frac{1}{3},fleft( -1 right)=3$ và $underset{tto infty }{mathop{lim }},fleft( t right)=1$ suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số $fleft( t right)$ bằng $frac{1}{3}$.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $t=1Leftrightarrow {{log }_{a}}b=1Leftrightarrow a=b$.
Vậy $M=frac{1}{3},text{ }b={{a}^{m}}=aRightarrow m=1xrightarrow{{}}M+m=frac{1}{3}+1=frac{4}{3}$. Chọn C.
| Bài tập 11: Cho a, b là hai số thực dương thỏa mãn ${{b}^{2}}=3ab+4{{a}^{2}}$ và $ain left[ 4;{{2}^{32}} right]$. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P={{log }_{frac{b}{8}}}4a+frac{3}{4}{{log }_{2}}frac{b}{4}$. Tính tổng $T=M+m$.
A. $T=frac{3701}{124}$. B. $T=frac{7}{2}$. C. $T=frac{2957}{124}$. D. $T=frac{1897}{62}$. |
Lời giải chi tiết
Từ giả thiết, ta có ${{b}^{2}}=3ab+4{{a}^{2}}Leftrightarrow 4.{{left( frac{a}{b} right)}^{2}}+3.frac{a}{b}-1=0Leftrightarrow frac{a}{b}=frac{1}{4}Leftrightarrow b=4a$.
Khi đó $P={{log }_{frac{b}{8}}}4a+frac{3}{4}{{log }_{2}}frac{b}{4}={{log }_{frac{b}{8}}}b+frac{3}{4}left( {{log }_{2}}b-{{log }_{2}}4 right)=frac{1}{{{log }_{b}}frac{b}{8}}+frac{3}{4}{{log }_{2}}b-frac{3}{2}$
$=frac{1}{1-{{log }_{b}}8}+frac{3}{4}{{log }_{2}}b-frac{3}{2}=frac{1}{1-frac{3}{{{log }_{2}}b}}+frac{3}{4}{{log }_{2}}b-frac{3}{2}=frac{{{log }_{2}}b}{{{log }_{2}}b-3}+frac{3}{4}{{log }_{2}}b-frac{3}{2}$.
Đặt $t={{log }_{2}}b$ với $ain left[ 4;{{2}^{32}} right]Rightarrow 16le ble {{2}^{34}}Rightarrow 4le {{log }_{2}}ble 34Rightarrow tin left[ 4;34 right]$.
Xét hàm số $fleft( t right)=frac{t}{t-3}+frac{3}{4}t$ với $tin left[ 4;34 right]$, ta có ${f}’left( t right)=frac{3left( {{t}^{2}}-6t+5 right)}{4{{left( t-3 right)}^{2}}};text{ }forall tin left[ 4;34 right]$.
Phương trình ${f}’left( t right)=0Leftrightarrow left{ begin{array} {} 4le tle 34 \ {} {{t}^{2}}-6t+5=0 \ end{array} right.Leftrightarrow t=5Rightarrow fleft( 4 right)=7,fleft( 5 right)=frac{25}{4},fleft( 34 right)=frac{1649}{62}$.
Suy ra $left{ begin{array} {} underset{left[ 4;34 right]}{mathop{max }},fleft( t right)=fleft( 34 right)=frac{1649}{62} \ {} underset{left[ 4;34 right]}{mathop{min }},fleft( t right)=fleft( 5 right)=frac{25}{4} \ end{array} right.Rightarrow left{ begin{array} {} M={{P}_{max }}=frac{778}{31} \ {} m={{P}_{min }}=frac{19}{4} \ end{array} right.Rightarrow T=M+m=frac{3701}{124}$. Chọn A.
| Bài tập 12: Cho các số thực a, b thỏa mãn điều kiện $ab=4,text{ }age frac{1}{2},text{ }bge 1$. Tìm giá trị lớn nhất ${{P}_{max }}$ của biểu thức $P={{left( {{log }_{frac{1}{2}}}a right)}^{3}}+{{left( {{log }_{frac{1}{2}}}b-1 right)}^{3}}$.
A. ${{P}_{max }}=-63$. B. ${{P}_{max }}=-6$. C. ${{P}_{max }}=-frac{27}{4}$. D. ${{P}_{max }}=0$. |
Lời giải chi tiết
Đặt $x={{log }_{frac{1}{2}}}a$ và $y={{log }_{frac{1}{2}}}b$ suy ra
$x+y={{log }_{frac{1}{2}}}a+{{log }_{frac{1}{2}}}b={{log }_{frac{1}{2}}}left( ab right)={{log }_{frac{1}{2}}}4=-2$.
Khi đó $P={{x}^{3}}+{{left( y-1 right)}^{3}}$ mà $x+y=-2Leftrightarrow y=-x-2Rightarrow P={{x}^{3}}+{{left( -x-3 right)}^{3}}=-9{{x}^{2}}-27x-27$.
$=-9left( {{x}^{2}}+3x+3 right)=-9left( {{x}^{2}}+2.frac{3}{2}x+frac{9}{4} right)-frac{27}{4}=-9{{left( x+frac{3}{2} right)}^{2}}-frac{27}{4}le frac{-27}{4}Rightarrow {{P}_{max }}=-frac{27}{4}$.
Dấu “=” xảy ra $Leftrightarrow x=-frac{3}{2}Rightarrow y=-frac{1}{2}xrightarrow{{}}left{ begin{array} {} {{log }_{frac{1}{2}}}a=-frac{3}{2} \ {} {{log }_{frac{1}{2}}}b=-frac{1}{2} \ end{array} right.Leftrightarrow a={{left( frac{1}{2} right)}^{-frac{3}{2}}};text{ }b={{left( frac{1}{2} right)}^{-frac{1}{2}}}$. Chọn C.
| Bài tập 13: Cho hai số thực a, b thỏa mãn $0<a<b<1$ và biểu thức $P={{log }_{frac{a}{b}}}sqrt{a}-4{{log }_{a}}left( a+frac{b}{4} right)$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính $S=a+b$.
A. $S=frac{5}{16}$. B. $S=frac{5}{8}$. C. $S=frac{5}{4}$. D. $S=frac{5}{32}$. |
Lời giải chi tiết
Ta có ${{log }_{frac{a}{b}}}sqrt{a}=frac{1}{2}{{log }_{frac{a}{b}}}a=frac{1}{2{{log }_{a}}frac{a}{b}}=frac{1}{2left( 1-{{log }_{a}}b right)}$.
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có $a+frac{b}{4}ge 2sqrt{a.frac{b}{4}}=sqrt{ab}$.
Do $a<1Rightarrow {{log }_{a}}left( a+frac{b}{4} right)le {{log }_{a}}sqrt{ab}Rightarrow -4{{log }_{a}}left( a+frac{b}{4} right)ge -4{{log }_{a}}sqrt{ab}=-2left( 1+{{log }_{a}}b right)$.
Suy ra $P=frac{1}{2left( 1-{{log }_{a}}b right)}-2left( 1+{{log }_{a}}b right)=frac{1}{2left( 1-x right)}-2left( 1+x right)=fleft( x right)$, với $x={{log }_{a}}b$.
Do $0<a<b<1Rightarrow 0<{{log }_{a}}b<1Rightarrow 0<x<1$
Xét trên khoảng $left( 0;1 right)$ có ${f}’left( x right)=-2+frac{1}{2{{left( 1-x right)}^{2}}}Rightarrow {f}’left( x right)=0Leftrightarrow x=frac{1}{2}$.
Suy ra $fleft( x right)ge fleft( frac{1}{2} right)=-2$. Vậy ${{P}_{min }}=underset{left( 0;1 right)}{mathop{min }},fleft( x right)=fleft( frac{1}{2} right)=-2$.
Dấu “=” xảy ra $Leftrightarrow left{ begin{array} {} a=frac{b}{4} \ {} {{log }_{a}}b=x=frac{1}{2} \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} a=frac{1}{16} \ {} b=frac{1}{4} \ end{array} right.Rightarrow S=a+b=frac{5}{16}$. Chọn A.
| Bài tập 14: Cho hai số thực a, b thỏa mãn điều kiện $frac{1}{4}<a<b<1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất ${{P}_{min }}$ của biểu thức $P={{log }_{b}}left( a-frac{1}{4} right)+{{log }_{frac{a}{b}}}sqrt{a}$.
A. $frac{1}{2}$. B. $frac{9}{2}$. C. $frac{19}{4}$. D. $frac{7}{2}$. |
Lời giải chi tiết
Ta có ${{log }_{frac{a}{b}}}sqrt{a}=frac{1}{2{{log }_{a}}frac{a}{b}}=frac{1}{2left( 1-{{log }_{a}}b right)}$.
Và ${{a}^{2}}-a+frac{1}{4}={{left( a-frac{1}{2} right)}^{2}}ge 0Leftrightarrow a-frac{1}{4}le {{a}^{2}}Rightarrow {{log }_{b}}left( a-frac{1}{4} right)ge {{log }_{b}}{{a}^{2}}=frac{2}{{{log }_{a}}b}$, với $bin left( frac{1}{4};1 right)$.
Vậy $P={{log }_{b}}left( a-frac{1}{4} right)+{{log }_{frac{a}{b}}}sqrt{a}ge frac{2}{{{log }_{a}}b}+frac{1}{2left( 1-{{log }_{a}}b right)}=frac{2}{x}+frac{1}{2left( 1-x right)}=fleft( x right)$, với $x={{log }_{a}}b$.
Do $frac{1}{4}<a<b<1Rightarrow 0<{{log }_{a}}b<1Rightarrow xin left( 0;1 right)$. Xét $fleft( x right)=frac{2}{x}+frac{1}{2left( 1-x right)}$ trên $left( 0;1 right)$, có
${f}’left( x right)=-frac{2}{{{x}^{2}}}+frac{1}{2{{left( 1-x right)}^{2}}},text{ }{f}’left( x right)=0Leftrightarrow -frac{2}{{{x}^{2}}}+frac{1}{2{{left( 1-x right)}^{2}}}=0Leftrightarrow 4{{left( 1-x right)}^{2}}={{x}^{2}}Leftrightarrow x=frac{2}{3}$.
Suy ra $Pge fleft( x right)ge fleft( frac{2}{3} right)=frac{9}{2}$. Dấu “=” xảy ra khi $Leftrightarrow {{log }_{a}}b=x=frac{2}{3}$. Chọn B.
| Bài tập 15: Cho hai số thực a, b thỏa mãn $frac{1}{6}<a<b<1$. Biết rằng biểu thức $P=frac{1}{2}log _{frac{b}{a}}^{2}sqrt{a}-{{log }_{a}}frac{{{b}^{2}}}{{{a}^{3}}}$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng m khi có số thực n sao cho $b={{a}^{n}}$. Tính $S=m+n$.
A. $S=frac{1}{2}$. B. $S=frac{1}{2}$. C. $S=-frac{3}{2}$. D. $S=frac{5}{2}$. |
Lời giải chi tiết
Ta có $log _{frac{b}{a}}^{2}sqrt{a}=frac{1}{4}.log _{frac{b}{a}}^{2}a=frac{1}{4log _{a}^{2}frac{b}{a}}=frac{1}{4{{left( {{log }_{a}}b-1 right)}^{2}}},text{ }{{log }_{a}}frac{{{b}^{2}}}{{{a}^{3}}}=2{{log }_{a}}b-3$.
Vậy $P=frac{1}{2}.frac{1}{4{{left( {{log }_{a}}b-1 right)}^{2}}}-2{{log }_{a}}b+3=frac{1}{8{{left( x-1 right)}^{2}}}-2x+3=fleft( x right)$, với $x={{log }_{a}}b$.
Do $0<a<b<aRightarrow 0<{{log }_{a}}b<1Rightarrow xin left( 0;1 right)$.
Xét $fleft( x right)=frac{1}{8{{left( x-1 right)}^{2}}}-2x+3$ trên $left( 0;1 right)$, có
${f}’left( x right)=-frac{1}{4{{left( x-1 right)}^{3}}}-2,{f}’left( x right)=0Leftrightarrow 2+frac{1}{4{{left( x-1 right)}^{3}}}=0Leftrightarrow {{left( x-1 right)}^{3}}=-frac{1}{8}Leftrightarrow x=frac{1}{2}$
Suy ra $P=fleft( x right)ge fleft( frac{1}{2} right)=frac{5}{2}$. Dấu “=” xảy ra $Leftrightarrow {{log }_{a}}b=x=frac{1}{2}Leftrightarrow b={{a}^{frac{1}{2}}}$.
Vậy $m=frac{5}{2},text{ }n=frac{1}{2}Rightarrow S=m+n=3$. Chọn B.
| Bài tập 16: Gọi a, b, c là ba số thực khác 0 và thay đổi thỏa mãn điều kiện ${{3}^{a}}={{5}^{b}}={{15}^{-c}}$ .
Tìm giá trị nhỏ nhất của $P={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-4left( a+b+c right)$. A. $-3-{{log }_{5}}3$. B. $-4$. C. $-2-sqrt{3}$. D. $-2-{{log }_{3}}5$. |
Lời giải chi tiết
Ta có ${{3}^{a}}={{5}^{b}}={{15}^{-c}}=tLeftrightarrow left{ begin{array} {} a={{log }_{3}}t \ {} b={{log }_{5}}t \ {} -c={{log }_{15}}t \ end{array} right.Leftrightarrow frac{1}{a}={{log }_{t}}3;text{ }frac{1}{b}={{log }_{t}}5;text{ }-frac{1}{c}={{log }_{t}}15$.
Mặt khác ${{log }_{t}}3+{{log }_{t}}5={{log }_{t}}left( 3.5 right)={{log }_{t}}15Rightarrow frac{1}{a}+frac{1}{b}=-frac{1}{c}Leftrightarrow frac{1}{a}+frac{1}{b}+frac{1}{c}=0Leftrightarrow ab+bc+ca=0$.
Khi đó $P={{left( a+b+c right)}^{2}}-2left( ab+bc+ca right)-4left( a+b+c right)={{left( a+b+c right)}^{2}}-4left( a+b+c right)$
$={{left( a+b+c right)}^{2}}-2.2left( a+b+c right)+{{2}^{2}}-4={{left( a+b+c-2 right)}^{2}}-4ge -4Rightarrow {{P}_{min }}=-4$. Chọn B.
| Bài tập 17: Cho hai số thực a, b thỏa mãn điều kiện $a>0,text{ }0<b<2$ .
Tìm giá trị nhỏ nhất ${{P}_{min }}$ của biểu thức $P=frac{{{left( 2b right)}^{a}}}{{{left( {{2}^{a}}-{{b}^{a}} right)}^{2}}}+frac{{{2}^{a}}+2{{b}^{a}}}{2{{b}^{a}}}$. A. ${{P}_{min }}=frac{9}{4}$. B. ${{P}_{min }}=frac{7}{4}$. C. ${{P}_{min }}=frac{13}{4}$. D. ${{P}_{min }}=4$. |
Lời giải chi tiết
Ta có $P=frac{{{left( 2b right)}^{a}}}{{{left( {{2}^{a}}-{{b}^{a}} right)}^{2}}}+frac{{{2}^{a}}+2{{b}^{a}}}{2{{b}^{a}}}=frac{{{2}^{a}}.{{b}^{a}}}{{{left( {{2}^{a}} right)}^{2}}-{{2.2}^{a}}{{.2}^{b}}+{{left( {{b}^{a}} right)}^{2}}}+frac{{{2}^{a}}}{2{{b}^{a}}}+1$.
Đặt $t=frac{{{2}^{a}}}{{{b}^{a}}}={{left( frac{2}{b} right)}^{a}}$, vì $bin left( 0;2 right)Leftrightarrow frac{2}{b}>1$ và $a>o$ suy ra ${{left( frac{2}{b} right)}^{a}}>1Leftrightarrow t>1$.
Khi đó $frac{{{2}^{a}}.{{b}^{a}}}{{{left( {{2}^{a}} right)}^{2}}-{{2.2}^{a}}{{.2}^{b}}+{{left( {{b}^{a}} right)}^{2}}}=frac{{{left( frac{2}{b} right)}^{a}}}{{{left( frac{2}{b} right)}^{a}}-2.{{left( frac{2}{b} right)}^{a}}+1}=frac{t}{{{t}^{2}}-2t+1}xrightarrow{{}}P=frac{t}{{{t}^{2}}-2t+1}+frac{t}{2}+1$.
Xét hàm số $fleft( t right)=frac{t}{{{t}^{2}}-2t+1}+frac{t}{2}$ trên khoảng $left( 1;+infty right)$, có ${f}’left( t right)=frac{{{t}^{3}}-3{{t}^{2}}+t-3}{2{{left( t-1 right)}^{3}}},text{ }forall t>1$.
Phương trình ${f}’left( t right)=0Leftrightarrow left{ begin{array} {} t>1 \ {} {{t}^{3}}-3{{t}^{2}}+t-3=0 \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} t>1 \ {} {{t}^{2}}left( t-3 right)+t-3=0 \ end{array} right.Leftrightarrow t=3$.
Tính $fleft( 3 right)=frac{9}{4},text{ }underset{tto {{1}^{+}}}{mathop{lim }},fleft( t right)=+infty $ và $underset{tto +infty }{mathop{lim }},fleft( t right)=+infty $ suy ra $underset{left( 1;+infty right)}{mathop{min }},fleft( t right)=fleft( 3 right)=frac{9}{4}$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là ${{P}_{min }}=frac{9}{4}+1=frac{13}{4}$. Chọn C.
| Bài tập 18: Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn $5+{{16.4}^{{{x}^{2}}-2y}}=left( 5+{{16}^{{{x}^{2}}-2y}} right){{.7}^{2y-{{x}^{2}}+2}}$ .
Tìm giá trị nhỏ nhất ${{P}_{min }}$ của biểu thức $P=frac{2xy+16}{x}$. A. ${{P}_{min }}=16$. B. ${{P}_{min }}=8$. C. ${{P}_{min }}=12$. D. ${{P}_{min }}=10$. |
Lời giải chi tiết
Đặt $t={{x}^{2}}-2y$, khi đó giả thiết $Leftrightarrow 5+{{16.4}^{t}}=left( 5+{{16}^{t}} right){{.7}^{2-t}}Leftrightarrow frac{5+{{4}^{t+2}}}{{{7}^{t+2}}}=frac{5+{{4}^{2t}}}{{{7}^{2t}}}$.
Xét hàm số $fleft( a right)=frac{5+{{4}^{a}}}{{{7}^{a}}}=5.{{left( frac{1}{7} right)}^{a}}+{{left( frac{4}{7} right)}^{a}}$, có ${f}’left( a right)=5.{{left( frac{1}{7} right)}^{a}}.ln left( frac{1}{7} right)+{{left( frac{4}{7} right)}^{a}}.ln left( frac{4}{7} right)<0,text{ }forall ain mathbb{R}$.
Suy ra $fleft( a right)$ là hàm số nghịch biến trên $mathbb{R}$ mà $fleft( t+2 right)=fleft( 2t right)Leftrightarrow t+2=2tLeftrightarrow t=2$.
Do đó ${{x}^{2}}-2y=2Leftrightarrow 2y={{x}^{2}}-2xrightarrow{{}}P=frac{x.left( {{x}^{2}}-2 right)+16}{x}={{x}^{2}}+frac{16}{x}-2=fleft( x right)$.
Xét hàm số $fleft( x right)={{x}^{2}}+frac{16}{x}-2$ trên khoảng $left( 0;+infty right)$, có ${f}’left( x right)=2x-frac{16}{{{x}^{2}}},{f}’left( x right)=0Leftrightarrow x=2$.
Tính $fleft( 2 right)=10,text{ }underset{xto {{0}^{+}}}{mathop{lim }},fleft( x right)=+infty $ và $underset{xto +infty }{mathop{lim }},fleft( x right)=+infty $ suy ra $underset{left( 0;+infty right)}{mathop{min }},fleft( x right)=fleft( 2 right)=10$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là ${{P}_{min }}=10$. Chọn D.
| Bài tập 19: Cho hai số thực $a>1,text{ }b>1$ thỏa mãn phương trình ${{a}^{x}}.{{b}^{{{x}^{2}}-1}}=1$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S={{left( frac{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}} right)}^{2}}-4left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} right)$ thuộc khoảng nào dưới đây?
A. $left( 1;frac{3}{2} right)$. B. $left( 2;frac{5}{2} right)$. C. $left( frac{9}{2};5 right)$. D. $left( frac{7}{2};4 right)$. |
Lời giải chi tiết
Ta có ${{a}^{x}}.{{b}^{{{x}^{2}}-1}}=1Leftrightarrow {{log }_{b}}left( {{a}^{x}}.{{b}^{{{x}^{2}}-1}} right)={{log }_{b}}1Leftrightarrow {{x}^{2}}+x.{{log }_{a}}b-1=0text{ }left( * right)$
Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt $Leftrightarrow text{ }!!Delta!!text{ }={{left( {{log }_{a}}b right)}^{2}}+4>0$ (luôn đúng).
Khi đó, theo hệ thức Viet ta được $left{ begin{array} {} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-{{log }_{a}}b \ {} {{x}_{1}}{{x}_{2}}=-1 \ end{array} right.xrightarrow{{}}S=4{{log }_{a}}b+frac{1}{log _{a}^{2}}b$.
Lại có $4{{log }_{a}}b+frac{1}{log _{a}^{2}}b=2{{log }_{a}}b+2{{log }_{a}}b+frac{1}{log _{a}^{2}b}ge 3sqrt[3]{4log _{a}^{2}b.frac{1}{log _{a}^{2}b}}=3sqrt[3]{4}$
Suy ra $Sge 3sqrt[3]{4}$. Dấu bằng xảy ra $Leftrightarrow 2{{log }_{a}}b=frac{1}{log _{a}^{2}b}Leftrightarrow {{left( {{log }_{a}}b right)}^{3}}=frac{1}{2}Leftrightarrow {{log }_{a}}b=frac{1}{sqrt[3]{2}}$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của S là $3sqrt[3]{4}in left( frac{9}{2};5 right)$. Chọn C.
Nhận xét:
- Bài toán áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho ba số thực dương $$
- Với điều kiện $a>1,text{ }b>1xrightarrow{{}}{{log }_{a}}b>0$ nên áp dụng được bất đẳng thức AM – GM.
| Bài tập 20: Cho $x>0,text{ }y>0$ thỏa mãn ${{2018}^{2left( {{x}^{2}}-y+1 right)}}=frac{2x+y}{{{left( x+1 right)}^{2}}}$.
Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=2y-3x$. A. $frac{1}{2}$. B. $frac{7}{8}$. C. $frac{3}{4}$. D. $frac{5}{6}$. |
Lời giải chi tiết
Ta có ${{2018}^{2left( {{x}^{2}}-y+1 right)}}=frac{2x+y}{{{left( x+1 right)}^{2}}}Leftrightarrow {{left( x+1 right)}^{2}}{{.2018}^{2{{left( x+1 right)}^{2}}}}=left( 2x+y right){{.2018}^{2left( 2x+y right)}}text{ }left( * right)$.
Xét hàm số $fleft( t right)=t{{.2018}^{2t}}$ trên $left( 0;+infty right)$, có ${f}’left( t right)={{2018}^{2t}}+2t{{.2018}^{2t}}.ln 2018>0$.
Suy ra $fleft( t right)$ là hàm đồng biến trên $left( 0;+infty right)$ nên $left( * right)Leftrightarrow fleft[ {{left( x+1 right)}^{2}} right]=fleft( 2x+y right)$
$Leftrightarrow {{left( x+1 right)}^{2}}=2x+yLeftrightarrow {{x}^{2}}+2x+1=2x+yLeftrightarrow y={{x}^{2}}+1$.
Khi đó $P=2y-3x=2left( {{x}^{2}}+1 right)-3x=2{{x}^{2}}-3x+2=frac{1}{8}{{left( 4x-3 right)}^{2}}+frac{7}{8}ge frac{7}{8}$.
Dấu bằng xảy ra khi $4x-3=0Leftrightarrow x=frac{3}{4}xrightarrow{{}}y=frac{25}{16}$. Vậy ${{P}_{min }}=frac{7}{8}$. Chọn B.
| Bài tập 21: Cho $a>0,text{ }b>0$ thỏa mãn ${{log }_{3a+2b+1}}left( 9{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+1 right)+{{log }_{6ab+1}}left( 3a+2b+1 right)=2$.
Giá trị của biểu thức $a+2b$ bằng A. 6. B. 9. C. $frac{7}{2}$. D. $frac{5}{2}$. |
Lời giải chi tiết
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có
$2={{log }_{3a+2b+1}}left( 9{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+1 right)+{{log }_{6ab+1}}left( 3a+2b+1 right)ge 2sqrt{{{log }_{3a+2b+1}}left( 9{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+1 right).{{log }_{6ab+1}}left( 3a+2b+1 right)}$
$Leftrightarrow 1ge sqrt{{{log }_{6ab+1}}left( 9{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+1 right)}Leftrightarrow {{log }_{6ab+1}}left( 9{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+1 right)le 1Leftrightarrow 9{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+1le 6ab+1$
$Leftrightarrow {{left( 3a right)}^{2}}-2.3a.b+{{b}^{2}}le 0Leftrightarrow {{left( 3a-b right)}^{2}}le 0Leftrightarrow 3a-b=0Leftrightarrow b=3a$.
Dấu bằng xảy ra $Leftrightarrow {{log }_{3a+2b+1}}left( 9{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+1 right)={{log }_{6ab+1}}left( 3a+2b+1 right)=1$
Khi đó, ta có hệ $left{ begin{array} {} b=3a \ {} 9{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+1=3a+2b+1 \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} b=3a \ {} 9{{a}^{2}}+{{b}^{2}}=3a+2b \ end{array} right.Leftrightarrow left( a;b right)=left( frac{1}{2};frac{3}{2} right)$.
Vậy $a+2b=frac{1}{2}+2.frac{3}{2}=frac{1}{2}+3=frac{7}{2}$. Chọn C.
| Bài tập 22: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện $xyle 4y-1$.
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=frac{6left( 2x+y right)}{x}+ln frac{x+2y}{y}$ bằng $a+ln b$. Tích $a.b$ bằng A. 45. B. 115. C. 108. D. 81. |
Lời giải chi tiết
Ta có $xyle 4y-1Leftrightarrow frac{x}{y}le frac{4y-1}{{{y}^{2}}}=frac{4}{y}-frac{1}{{{y}^{2}}}=4-{{left( 2-frac{1}{y} right)}^{2}}le 4$
Lại có $P=frac{6left( 2x+y right)}{x}+ln frac{x+2y}{y}=12+frac{6y}{x}+ln left( frac{x}{y}+2 right)$.
Đặt $t=frac{x}{y}in left( 0;4 right]$ khi đó $P=fleft( t right)=12+frac{6}{t}+ln left( t+2 right)$.
Xét hàm số $fleft( t right)=12+frac{6}{t}+ln left( t+2 right)$ trên $left( 0;4 right]$, có ${f}’left( t right)=-frac{6}{{{t}^{2}}}+frac{1}{t+2}$;
Dựa vào bảng biến thiên, ta được $underset{left( 0;4 right]}{mathop{min }},fleft( 4 right)=fleft( 4 right)=frac{27}{6}+ln 6$
Do đó $min P=frac{27}{6}+ln 6=a+ln bxrightarrow{{}}left{ begin{array} {} a=frac{27}{6} \ {} b=6 \ end{array} right.$. Vậy $a.b=6.frac{27}{6}=81$. Chọn D.