Bài tập viết Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn có đáp án chi tiết
Dưới đây là một số bài tập viết phương trình mặt phăng theo đoạn chắn có đáp án
| Bài tập 1: Cho điểm $Aleft( 3;0;0 right)$ và điểm $Mleft( 0;2;-1 right).$Viết phương trình mặt phẳng $left( alpha right)$đi qua A, M sao cho $left( alpha right)$cắt các trục $Oy$, $Oz$ lần lượt tại các điểm B, C sao cho ${{V}_{OABC}}=frac{1}{2},$ với O là gốc tọa độ. |
Lời giải chi tiết
Giả sử mặt phẳng $left( alpha right)$cắt các trục $Oy$; $Oz$ lần lượt tại $Bleft( 0;b;0 right)$ và $Cleft( 0;0;c right)$
Phương trình mặt phẳng $left( ABC right)$ là: $frac{x}{3}+frac{y}{b}+frac{z}{c}=1$ $left( bcne 0 right)$
Do $left( alpha right)$đi qua điểm$Mleft( 0;2;-1 right)$ nên $frac{2}{b}-frac{1}{c}=1Rightarrow frac{1}{c}=frac{2}{b}-1=frac{2-b}{b}Rightarrow c=frac{b}{2-b}$
Lại có: ${{V}_{OABC}}=frac{1}{6}OA.OB.OC=frac{1}{6}.3left| bc right|=frac{1}{2}Leftrightarrow left| bc right|=1$
Khi đó: $left| b.frac{b}{2-b} right|=1Leftrightarrow left[ begin{array} {} {{b}^{2}}=2-b \ {} {{b}^{2}}=b-2 \ end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array} {} b=1 \ {} b=-2 \ end{array} right.$
Với $b=1Rightarrow c=1Rightarrow left( alpha right):frac{x}{3}+frac{y}{1}+frac{z}{1}=1$
Với $b=-2Rightarrow c=frac{-1}{2}Rightarrow left( alpha right):frac{x}{3}-frac{y}{2}-2z=1$
| Bài tập 2: Cho điểm $Aleft( -1;0;0 right)$ và mặt phẳng $left( P right):x+2y+2=0$. Viết phương trình mặt phẳng đi qua A, vuông góc với $left( P right)$ và cắt các trục $Oy$, $Oz$ lần lượt tại các điểm B, C sao cho ${{S}_{ABC}}=frac{3}{2}$ |
Lời giải chi tiết
Giả sử mặt phẳng $left( alpha right)$ cắt các trục $Oy$, $Oz$ lần lượt tại $Bleft( 0;b;0 right)$ và $Cleft( 0;0;c right)$
Phương trình mặt phẳng $left( ABC right)$ là: $frac{x}{-1}+frac{y}{b}+frac{z}{c}=1$ $left( bcne 0 right)$
Do $left( ABC right)bot left( P right)Rightarrow overrightarrow{{{n}_{ABC}}}.overrightarrow{{{n}_{left( P right)}}}=0Rightarrow -1+frac{2}{b}=0Rightarrow b=2$
Khi đó: $overrightarrow{AB}left( 1;2;0 right);overrightarrow{AC}left( 1;0;c right)Rightarrow {{S}_{ABC}}=frac{1}{2}left| left[ overrightarrow{AB};overrightarrow{AC} right] right|=frac{sqrt{5{{c}^{2}}+4}}{2}=frac{3}{2}Leftrightarrow {{c}^{2}}=1Leftrightarrow c=pm 1$
Suy ra $left( ABC right):-x+frac{y}{2}pm frac{z}{1}=1$
| Bài tập 3: Cho mặt phẳng $left( P right):2x-y+z-5=0$. Viết phương trình $left( Q right)$ chứa đường $Delta =left( P right)cap left( xOy right)$ và cắt các trục tọa độ tại A, B, C sao cho ${{V}_{OABC}}=frac{125}{36}$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: $left( xOy right):z=0Rightarrow Delta :left{ begin{array} {} x=t \ {} y=-5+2t \ {} z=0 \ end{array} right.Rightarrow overrightarrow{{{u}_{Delta }}}=left( 1;2;0 right)$
Do $left( Q right)$ chứa đường thẳng $Delta Rightarrow left( Q right)$ qua điểm $left( 0;-5;0 right)$
Giả sử $left( Q right):frac{x}{a}+frac{y}{-5}+frac{z}{c}=1$$left( a;cne 0 right)$$Rightarrow overrightarrow{{{n}_{left( Q right)}}}=left( frac{1}{a};-frac{1}{5};frac{1}{c} right)$
Ta có: $overrightarrow{{{n}_{left( Q right)}}}.overrightarrow{{{u}_{Delta }}}=0Rightarrow frac{1}{a}-frac{2}{5}=0Rightarrow a=frac{5}{2}$
Lại có: ${{V}_{OABC}}=frac{1}{6}left| abc right|=frac{125}{36}Rightarrow frac{1}{6}left| frac{5}{2}.5.c right|=frac{125}{36}Rightarrow c=pm frac{5}{3}Rightarrow left( ABC right):frac{2}{5}x-frac{y}{5}pm frac{3}{5}z=1$
Hay $2x-ypm 3z-5=0$
| Bài tập 4: Cho hai điểm $Mleft( 1;2;1 right)$, $Nleft( -1;0;-1 right)$. Viết $left( P right)$ đi qua M, N và cắt các trục $Ox$, $Oy$ theo tứ tự tại A, B (khác O) sao cho $AM=sqrt{3}BN$ |
Lời giải chi tiết
Gọi $Aleft( a;0;0 right)$, $Bleft( 0;b;0 right)$ và $Cleft( 0;0;c right)$ là giao điểm của $left( P right)$ với các trục tọa độ
Phương trình mặt phẳng $left( P right)$ là: $frac{x}{a}+frac{y}{b}+frac{z}{c}=1$$left( abcne 0 right)$
Do $left( P right)$ đi qua các điểm $Mleft( 1;2;1 right)$, $Nleft( -1;0;-1 right)$$Rightarrow left{ begin{array} {} frac{1}{a}+frac{2}{b}+frac{1}{c}=1 \ {} frac{-1}{a}-frac{1}{c}=1 \ end{array} right.Rightarrow left{ begin{array} {} frac{1}{a}+frac{1}{c}=-1 \ {} frac{2}{b}=2 \ end{array} right.Rightarrow left{ begin{array} {} frac{1}{a}+frac{1}{c}=-1 \ {} b=1 \ end{array} right.$
Lại có: $AM=sqrt{3}BNLeftrightarrow A{{M}^{2}}=3B{{N}^{2}}Leftrightarrow {{left( a-1 right)}^{2}}+4+1=3left[ left( 1+{{b}^{2}}+1 right) right]=9$
$Leftrightarrow {{left( a-1 right)}^{2}}=4Leftrightarrow left[ begin{array} {} a=3Rightarrow c=frac{-3}{4} \ {} a=-1Rightarrow frac{1}{c}=0left( loai right) \ end{array} right.$
Khi đó $left( P right):frac{x}{3}+frac{y}{1}-frac{4z}{3}=1$ hay $left( P right):x+3y-4z-3=0$
| Bài tập 5: Cho hai điểm $Mleft( 1;9;4 right)$. Viết $left( P right)$ đi qua M và cắt các trục tọa độ theo thứ thự tại A, B, C (khác O) sao cho $8.OA=12.OB+16=37.OC$, với ${{x}_{A}}>0;{{y}_{B}}>0;{{z}_{C}}<0$ |
Lời giải chi tiết
Gọi $Aleft( a;0;0 right)$, $Bleft( 0;b;0 right)$ và $Cleft( 0;0;c right)$ với $a>0;b>0;c0;b>0;c<0$
Do $8.OA=12.OB+16=37.OCRightarrow 8a=12b+16=-37c$
Ta có: $8a=12b+16=-37cRightarrow frac{1}{a}+frac{9}{frac{8a-16}{12}}+frac{4}{-frac{8}{37}a}=1Leftrightarrow frac{35-4a}{{{a}^{2}}-2a}=1Leftrightarrow left[ begin{array} {} a=5 \ {} a=-7left( loai right) \ end{array} right.$
Với $a=5Rightarrow left{ begin{array} {} b=2 \ {} c=frac{-40}{37} \ end{array} right.Rightarrow left( P right):frac{x}{5}+frac{y}{2}-frac{37}{40}z=1$hay $left( P right):8x+20y-37z-40=0$
| Bài tập 6: Phương trình mặt phẳng đi qua 2 điểm $Aleft( 3;0;0 right)$ và $Bleft( 0;6;0 right)$ cắt trục $Oz$ tai C sao cho thể tích tứ diện $O.ABC$ bằng 12 là:
A. $frac{x}{3}+frac{y}{6}+frac{z}{4}=1$ B. $frac{x}{3}+frac{y}{6}-frac{z}{4}=1$ C. $frac{x}{3}+frac{y}{6}+frac{z}{2}=1$ D. Cả A và B đều đúng |
Lời giải chi tiết
Giả sử $Cleft( 0;0;c right)$ ta có phương trình mặt phẳng $left( ABC right)$ là: $frac{x}{3}+frac{y}{6}+frac{z}{c}=1$
Ta có $OA,OB,OC$đôi một vuông góc nên ${{V}_{OABC}}=frac{1}{6}OA.OB.OC=frac{1}{6}.3.6.left| c right|=12Leftrightarrow c=pm 4$.
Chọn D
| Bài tập 7: Gọi A, B, C là giao điểm của mặt phẳng $left( P right):x+frac{y}{b}+frac{z}{c}=1$$left( bcne 0 right)$ với các trục tọa độ. Diện tích tam giác $ABC$ bằng:
A. $frac{sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+bc}}{2}$ B. $frac{bc}{2}$ C. $frac{sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}}}{2}$ D. $frac{bc}{6}$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: $Aleft( 1;0;0 right);Bleft( 0;b;0 right);Cleft( 0;0;c right)$. $overrightarrow{AB}=left( -1;b;0 right);overrightarrow{AC}=left( -1;0;c right)$
Khi đó: ${{S}_{ABC}}=frac{1}{2}left| left[ overrightarrow{AB};overrightarrow{AC} right] right|=frac{1}{2}left| left( bc;c;b right) right|=frac{sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}}}{2}$. Chọn C
| Bài tập 8: Trong không gian tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $Aleft( 2;0;0 right)$ và $Hleft( 1;1;1 right)$. Viết phương trình mặt phẳng $left( P right)$ đi qua A, H sao cho $left( P right)$ cắt các tia $Oy$, $Oz$ lần lượt tại B, C sao cho diện tích tam giác ABC bằng $4sqrt{6}$
A. $left( P right):x+2y+2z-2=0$ B. $left( P right):2x+2y+z-4=0$ C. $left( P right):2x+y+2z-4=0$ D. $left( P right):2x+y+z-4=0$ |
Lời giải chi tiết
Gọi $Bleft( 0;b;0 right)$ và $Cleft( 0;0;c right)$(điều kiện $b,c>0$) suy ra $left( P right):frac{x}{2}+frac{y}{b}+frac{z}{c}=1$
Vì $Hin left( P right)$ nên $frac{1}{b}+frac{1}{c}=frac{1}{2}$
${{S}_{ABC}}=frac{1}{2}left| left[ overrightarrow{AB};overrightarrow{AC} right] right|=frac{1}{2}sqrt{{{left( bc right)}^{2}}+{{left( 2c right)}^{2}}+{{left( 2b right)}^{2}}}=4sqrt{6}Leftrightarrow {{b}^{2}}{{c}^{2}}+4{{b}^{2}}+4{{c}^{2}}=384$
Đặt $left{ begin{array} {} u=b+c \ {} v=bc \ end{array} right.Rightarrow left{ begin{array} {} v=2u \ {} {{v}^{2}}+4left( {{u}^{2}}-2v right)=384 \ end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array} {} u=8;v=16 \ {} u=-6;v=-12left( loai right) \ end{array} right.Rightarrow left{ begin{array} {} b+c=8 \ {} bc=16 \ end{array} right.Leftrightarrow b=c=4$
Vậy phương trình mặt phẳng $left( P right)$ là $frac{x}{2}+frac{y}{4}+frac{z}{4}=1$ hay $2x+y+z-4=0$. Chọn D
| Bài tập 9: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $Aleft( a;0;0 right)$, $Bleft( 0;b;0 right)$ và $Cleft( 0;0;c right)$ với $a,b,c>0$. Biết rằng $left( ABC right)$ đi qua điểm $Mleft( frac{1}{7};frac{2}{7};frac{3}{7} right)$ và tiếp xúc với mặt cầu $left( S right):{{left( x-1 right)}^{2}}+{{left( y-2 right)}^{2}}+{{left( z-3 right)}^{2}}=frac{72}{7}$. Tính giá trị $frac{1}{{{a}^{2}}}+frac{1}{{{b}^{2}}}+frac{1}{{{c}^{2}}}$
A. 14 B. $frac{1}{7}$ C. 7 D. $frac{7}{2}$ |
Lời giải chi tiết
Phương trình mặt phẳng $left( ABC right)$ là $frac{x}{a}+frac{y}{b}+frac{z}{c}=1$. Vì $Min left( ABC right)Rightarrow frac{1}{a}+frac{2}{b}+frac{3}{c}=7$
Xét mặt cầu $left( S right):{{left( x-1 right)}^{2}}+{{left( y-2 right)}^{2}}+{{left( z-3 right)}^{2}}=frac{72}{7}$ có tâm $Ileft( 1;2;3 right)$, bán kính $R=frac{6sqrt{14}}{7}$
Khoảng cách từ $Ixrightarrow{{}}mpleft( ABC right)$ là $dleft( I;left( ABC right) right)=frac{left| frac{1}{a}+frac{2}{b}+frac{3}{c}-1 right|}{sqrt{frac{1}{{{a}^{2}}}+frac{1}{{{b}^{2}}}+frac{1}{{{c}^{2}}}}}=frac{6}{sqrt{frac{1}{{{a}^{2}}}+frac{1}{{{b}^{2}}}+frac{1}{{{c}^{2}}}}}$
Vì mặt cầu $left( S right)$ tiếp xúc với $mpleft( ABC right)$$mpleft( ABC right)Rightarrow dleft( I;left( ABC right) right)=RRightarrow frac{1}{{{a}^{2}}}+frac{1}{{{b}^{2}}}+frac{1}{{{c}^{2}}}=frac{7}{2}$. Chọn D