So sánh các giá trị của hàm số – Bài toán ứng dụng của tích phân
| Ví dụ 1: Cho hàm số $y=fleft( x right)$ có đồ thị hàm số $y={f}’left( x right)$ cắt trục $Ox$ tại ba điểm có hoành độ $a,,,b,,,c$ thỏa mãn $a<b<c$ như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. $fleft( a right)>fleft( b right)>fleft( c right).$ B. $fleft( a right)>fleft( c right)>fleft( b right).$ C. $fleft( c right)>fleft( b right)>fleft( a right).$ D. $fleft( c right)>fleft( a right)>fleft( b right).$ |
Lời giải:
Dựa vào đồ thị hàm số $y={f}’left( x right)$ ta có BBT của hàm số $y=fleft( x right)$ như sau:
Lại có: ${{S}_{1}}=intlimits_{a}^{b}{left| f’left( x right) right|dx=intlimits_{a}^{b}{-f’left( x right)dx}}=fleft( a right)-fleft( b right);$ tương tự ${{S}_{2}}=fleft( c right)-fleft( b right)$
Dựa vào hình vẽ ta thấy ${{S}_{1}}>{{S}_{2}}Rightarrow fleft( a right)-fleft( b right)>fleft( c right)-fleft( b right)Leftrightarrow fleft( a right)>fleft( c right).$ Chọn B.
| Ví dụ 2: Cho $y=fleft( x right)$ có đồ thị $y={f}’left( x right)$ như hình. Đặt $gleft( x right)=fleft( x right)+cos x.$ Mệnh đề nào đúng?
A. $gleft( 0 right)<gleft( pi right)<gleft( frac{3pi }{4} right).$ B. $gleft( frac{3pi }{4} right)<gleft( 0 right)<gleft( pi right).$ C. $gleft( pi right)<gleft( 0 right)<gleft( frac{3pi }{3} right).$ D. $gleft( frac{3pi }{4} right)<gleft( pi right)<gleft( 0 right).$ |
Lời giải:
Ta có $g’left( x right)=f’left( x right)-sin xRightarrow int{g’left( x right)dx=int{left[ f’left( x right)-sin x right]dx}}$
Bảng biến thiên của hàm số $y=gleft( x right)$
Đặt ${{S}_{1}}=intlimits_{0}^{frac{3pi }{4}}{left[ sin x-fleft( x right) right]=-intlimits_{0}^{frac{3pi }{4}}{g’left( x right)dx}}=gleft( 0 right)-gleft( frac{3pi }{4} right)$
${{S}_{2}}=intlimits_{frac{3pi }{4}}^{pi }{left[ fleft( x right)-sin x right]=intlimits_{frac{3pi }{4}}^{pi }{g’left( x right)dx=gleft( pi right)-gleft( frac{3pi }{4} right)}}$
Dựa vào hình vẽ ta có ${{S}_{1}}>{{S}_{2}}Rightarrow gleft( 0 right)>gleft( pi right).$ Do đó $gleft( frac{3pi }{4} right)<gleft( pi right)<gleft( 0 right).$ Chọn D.
| Ví dụ 3: Cho hàm số $y=fleft( x right)$. Đồ thị của hàm số $y={f}’left( x right)$ như hình bên. Đặt $gleft( x right)=2fleft( x right)+{{left( x+1 right)}^{2}}.$ Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. $gleft( 1 right)<gleft( 3 right)<gleft( -3 right).$ B. $gleft( 1 right)<gleft( -3 right)<gleft( 3 right).$ C. $gleft( 3 right)<gleft( -3 right)<gleft( 1 right).$ D. $gleft( 3 right)<gleft( -3 right)<gleft( 1 right).$ |
Lời giải:
Ta có $g’left( x right)=2left[ f’left( x right)+x+1 right]=2left[ f’left( x right)-left( -x-1 right) right]$
$Rightarrow int{frac{g’left( x right)}{2}dx=int{left[ f’left( x right)-left( -x-1 right) right]dx}}$
Đường thẳng $d:y=-x-1$ đi qua các điểm $left( -3;2 right);left( 1;-2 right)$ và $left( 3;-4 right)$
Với $x>3$ ta có: $-x-1>f’left( x right)Rightarrow g’left( x right)<0$
Ta có BBT của hàm số $gleft( x right)$
Đặt ${{S}_{1}}=intlimits_{-3}^{1}{left[ left( -x-1 right)-f’left( x right) right]text{d}}x;,,{{S}_{2}}=intlimits_{1}^{3}{left[ f’left( x right)-left( -x-1 right) right]text{d}x}$
Dựa vào hình vẽ ta có ${{S}_{1}}>{{S}_{2}}Rightarrow -intlimits_{-3}^{1}{frac{g’left( x right)}{2}text{d}x}>intlimits_{1}^{3}{frac{g’left( x right)}{2}text{d}x}$
Do đó $gleft( -3 right)-gleft( 1 right)>gleft( 3 right)-gleft( 1 right)Rightarrow gleft( -3 right)>gleft( 3 right).$ Chọn A.
| Ví dụ 4: Cho hàm số $fleft( x right).$ Đồ thị của hàm số $y={f}’left( x right)$ như hình bên. Đặt $hleft( x right)=2fleft( x right)-{{x}^{2}}.$ Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. $hleft( 4 right)=hleft( -2 right)>hleft( 2 right).$ B. $hleft( 4 right)=hleft( -2 right)<hleft( 2 right).$ C. $hleft( 2 right)>hleft( -2 right)>hleft( 4 right).$ D. $hleft( 2 right)>hleft( 4 right)>hleft( -2 right).$ |
Lời giải:
Ta có: $h’left( x right)=2left[ f’left( x right)-x right]Rightarrow int{frac{h’left( x right)}{2}text{d}x}=int{left[ f’left( x right)-x right]text{d}x}$
Đường thẳng [y=x] đi qua các điểm $left( -2;-2 right);left( 2;2 right);left( 4;4 right)$ trên hình vẽ
Với $x<-2$ ta có: $h’left( x right)<x$ suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng $left( -infty ;-2 right)$
Ta có bảng biến thiên của hàm số $hleft( x right)$ như sau:
Đặt ${{S}_{1}}=intlimits_{-2}^{2}{left[ f’left( x right)-x right]text{d}}x;,,{{S}_{2}}=intlimits_{2}^{4}{left[ x-f’left( x right) right]text{d}x}$
Dựa vào hình vẽ ta có: ${{S}_{1}}>{{S}_{2}}Rightarrow intlimits_{-2}^{2}{frac{hleft( x right)}{2}text{d}x}>intlimits_{2}^{4}{frac{-hleft( x right)}{2}text{d}x}$
$Rightarrow hleft( 2 right)-hleft( -2 right)>hleft( 2 right)-hleft( 4 right)Leftrightarrow hleft( 4 right)>hleft( -2 right).$ Chọn D.
| Ví dụ 5: Cho hàm số $y=fleft( x right).$ Đồ thị hàm số $y={f}’left( x right)$ như hình vẽ bên. Đặt $M=underset{left[ -2;6 right]}{mathop{max }},fleft( x right),$ $m=underset{left[ -2;6 right]}{mathop{min }},fleft( x right),$ $T=M+m.$ Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. $T=fleft( 0 right)+fleft( -2 right).$ B. $T=fleft( 5 right)+fleft( -2 right).$ C. $T=fleft( 5 right)+fleft( 6 right).$ D. $T=fleft( 0 right)+fleft( 2 right).$ |
Lời giải:
Dựa vào đồ thị hàm số $y=f’left( x right)$ ta lập được bảng biến thiên của hàm số $y=fleft( x right)$
Ta đặt: $intlimits_{2}^{0}{f’left( x right)text{d}}x={{S}_{1}}=fleft( 0 right)-fleft( 2 right);,,intlimits_{2}^{5}{f’left( x right)text{d}x}={{S}_{2}}=fleft( 5 right)-fleft( 2 right)$
Dựa vào đồ thị ta có: ${{S}_{2}}>{{S}_{1}}Rightarrow fleft( 5 right)>fleft( 0 right)Rightarrow M=fleft( 5 right)$ (loại A và D).
Ta cần so sánh $fleft( -2 right)$ và $fleft( 6 right)$
Tương tự ta có: $intlimits_{-2}^{0}{f’left( x right)text{d}}x=fleft( 0 right)-fleft( -2 right)={{S}_{3}};,,intlimits_{6}^{5}{f’left( x right)text{d}x}=fleft( 5 right)-fleft( 6 right)={{S}_{4}}$
Quan sát đồ thị suy ra ${{S}_{3}}>{{S}_{4}}Rightarrow fleft( 0 right)-fleft( -2 right)>fleft( 5 right)-fleft( 6 right)Rightarrow fleft( 6 right)-fleft( -2 right)=fleft( 5 right)-fleft( 0 right)>0$
Do đó $fleft( -2 right)<fleft( 6 right)Rightarrow m=fleft( -2 right).$ Chọn B.