Bài toán Tìm 2 điểm liên quan đến yếu tố đối xứng, yếu tố khoảng cách.
þ Tìm 2 điểm đối xứng:
Gọi $Aleft( a;fleft( a right) right)$ và $Bleft( b;fleft( b right) right)$ $left( ane b right)$ là hai điểm thuộc đồ thị hàm số $y=fleft( x right)$.
§ Hai điểm $A,B$ đối xứng qua $Ileft( alpha ;beta right)Leftrightarrow left{ begin{array}{*{35}{l}} a+b=2alpha \ fleft( a right)+fleft( b right)=2beta \end{array} right..$
§ Hai điểm $A,B$ đối xứng qua trục tung $Leftrightarrow left{ begin{array}{*{35}{l}} a=-b \ fleft( a right)=fleft( b right) \end{array} right..$
þ Tìm 2 điểm $A,B$thuộc 2 nhánh của đồ thị sao cho độ dài $AB$ ngắn nhất
Bài toán: Cho hàm số $y=frac{ax+b}{cx+d}left( C right)$. Tìm 2 điểm thuộc 2 nhánh của đồ thị $left( C right)$ sao cho $A{{B}_{min }}$.
Cách giải: Ta phân tích: $y=frac{a}{c}+frac{k}{cx+d}$ trong đó $y=frac{-d}{c}$ là tiệm cận đứng của (C)
Gọi $Aleft( {{x}_{1}};{{y}_{1}} right),Bleft( {{x}_{2}};{{y}_{2}} right)$ lần lượt là 2 điểm thuộc 2 nhánh của $left( C right)$ ta có: ${{x}_{1}}<-frac{d}{c}0 right)Rightarrow left{ begin{array}{*{35}{l}} {{y}_{1}}=frac{a}{c}-frac{k}{c.alpha } \ {{y}_{2}}=frac{a}{c}+frac{k}{c.alpha } \end{array} right.Rightarrow A{{B}^{2}}={{left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} right)}^{2}}+{{left( {{y}_{1}}-{{y}_{2}} right)}^{2}}$
$={{left( alpha +beta right)}^{2}}+frac{{{k}^{2}}}{{{c}^{2}}}{{left( frac{1}{alpha }+frac{1}{beta } right)}^{2}}={{left( alpha +beta right)}^{2}}left( 1+frac{{{k}^{2}}}{{{c}^{2}}}.frac{1}{{{left( alpha .beta right)}^{2}}} right)$
Do ${{left( alpha +beta right)}^{2}}ge 4alpha beta $ và $1+frac{{{k}^{2}}}{{{c}^{2}}}.frac{1}{{{left( alpha .beta right)}^{2}}}ge 2sqrt{frac{{{k}^{2}}}{{{c}^{2}}}.frac{1}{{{left( alpha .beta right)}^{2}}}}=2frac{left| k right|}{c}.frac{1}{alpha .beta }$
Do đó $A{{B}^{2}}ge 4alpha .beta .2frac{left| k right|}{c}.frac{1}{alpha .beta }=frac{8left| k right|}{c}$. Dấu bằng xảy ra $Leftrightarrow left{ begin{array}{*{35}{l}} alpha =beta \ frac{left| k right|}{c}.frac{1}{alpha beta }=1 \end{array} right.$
Bài tập trắc nghiệm đồ thị hàm số có Lời giải chi tiết
| Bài tập 1: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-4x+3,,left( C right)$.
a) Tìm 2 điểm A và B đối xứng nhau qua gốc tọa độ $O.$ b) Tìm tọa độ 2 điểm A và B đối xứng nhau qua trục $Oy.$ |
Lời giải chi tiết
a) Gọi $Aleft( a;b right)$ và $Bleft( -a;-b right)$ là 2 điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ $Oleft( 0;0 right)$.
Vì $A,B$ đều thuộc đồ thị $left( C right)$ nên ta có: $left{ begin{array}{*{35}{l}} b={{a}^{3}}-3{{a}^{2}}-4a+3 \ -b={{left( -a right)}^{3}}-3{{left( -a right)}^{2}}-4left( -a right)+3 \end{array} right.$
$Leftrightarrow left{ begin{array}{*{35}{l}} b={{a}^{3}}-3{{a}^{2}}-4a+3 \ -b=-{{a}^{3}}-3{{a}^{2}}+4a+3 \end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{*{35}{l}} b={{a}^{3}}-3{{a}^{2}}-4a+3 \ 0=-6{{a}^{2}}+6 \end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array}{*{35}{l}} a=1;b=-3 \ a=-1;b=3 \end{array} right.$
Vậy 2 điểm $A,B$ cần tìm là: $Aleft( 1;-3 right):Bleft( -1;3 right)$ hoặc ngược lại.
b) Gọi $Aleft( a;b right)$ và $Bleft( -a;b right)$ là 2 điểm đối xứng nhau qua trục $Oy$.
Vì $A,B$ đều thuộc đồ thị $left( C right)$ nên ta có: $left{ begin{array}{*{35}{l}} b={{a}^{3}}-3{{a}^{2}}-4a+3 \ b={{left( -a right)}^{3}}-3{{left( -a right)}^{2}}-4left( -a right)+3 \end{array} right.$
$Leftrightarrow left{ begin{array}{*{35}{l}} b={{a}^{3}}-3{{a}^{2}}-4a+3 \ b=-{{a}^{3}}-3{{a}^{2}}+4a+3 \end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{*{35}{l}} b={{a}^{3}}-3{{a}^{2}}-4a+3 \ 0=2{{a}^{3}}-8a \end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array}{*{35}{l}} a=b=0Rightarrow Aequiv B,,left( loai right) \ a=2;b=-9 \ a=-2;b=-9 \end{array} right.$
Vậy 2 điểm $A,B$ cần tìm là: $Aleft( 2;-9 right);Bleft( -2;-9 right)$ hoặc ngược lại.
| Bài tập 2: Tìm trên đồ thị hàm số hai điểm $A,B$ thuộc hai nhánh của đồ thị hàm số $y=frac{x-3}{2x-2}$ sao cho $AB$ ngắn nhất. |
Lời giải chi tiết
Ta có: $y=frac{x-3}{2x-2}=frac{frac{1}{2}left( 2x-2 right)-2}{2x-2}=frac{1}{2}-frac{1}{x-1}$
Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là $x=1.$
Gọi $Aleft( {{x}_{1}};{{y}_{1}} right),Bleft( {{x}_{2}};{{y}_{2}} right)$ lần lượt là 2 điểm thuộc 2 nhánh của $left( C right)$ ta có: ${{x}_{1}}<10 right)Rightarrow left{ begin{array}{*{35}{l}} {{y}_{1}}=frac{1}{2}+frac{1}{a} \ {{y}_{2}}=frac{1}{2}+frac{1}{b} \end{array} right.Rightarrow A{{B}^{2}}={{left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} right)}^{2}}+{{left( {{y}_{1}}-{{y}_{2}} right)}^{2}}$
$={{left( a+b right)}^{2}}+{{left( frac{1}{a}+frac{1}{b} right)}^{2}}={{left( a+b right)}^{2}}left( 1+frac{1}{{{left( ab right)}^{2}}} right).$
Ta có: $left{ begin{array}{*{35}{l}} {{left( a+b right)}^{2}}ge 4ab \ 1+frac{1}{{{a}^{2}}{{b}^{2}}}ge 2sqrt{frac{1}{{{a}^{2}}{{b}^{2}}}}=frac{2}{ab} \end{array} right.Rightarrow A{{B}^{2}}ge 4ab.frac{2}{ab}=8Rightarrow ABge 2sqrt{2}.$
Dấu $”=”$ xảy ra $Leftrightarrow left{ begin{array}{*{35}{l}} a=b \ frac{1}{ab}=1 \end{array} right.Leftrightarrow a=b=1Rightarrow Aleft( 0;frac{3}{2} right),Bleft( 2;-frac{1}{2} right).$
| Bài tập 3: Tìm trên đồ thị hàm số $y=-{{x}^{3}}+3x+2$ hai điểm mà chúng đối xứng nhau qua tâm $Ileft( -1;3 right)$.
A. $left( 0;2 right)$ và $left( -2;4 right).$ B. $left( -1;0 right)$ và $left( -1;6 right).$ C. $left( 1;4 right)$ và $left( -3;2 right).$ D. Không tồn tại. |
Lời giải chi tiết
Gọi $Aleft( a;-{{a}^{3}}+3a+2 right);Bleft( b;-{{b}^{3}}+3b+2 right),,left( ane b right)$ là 2 điểm thuộc đồ thị hàm số đã cho và đối xứng nhau qua điểm $Ileft( -1;3 right)$.
Ta có: $left{ begin{array}{*{35}{l}} a+b=2{{x}_{1}}=-2 \ -{{a}^{3}}+3a+2-{{b}^{3}}+3b+2=2{{y}_{1}}=6 \end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{*{35}{l}} a+b=-2 \ -left( {{a}^{3}}+{{b}^{3}} right)+3left( a+b right)=2 \end{array} right.$
$Leftrightarrow left{ begin{array}{*{35}{l}} a+b=-2 \ {{a}^{3}}+{{b}^{3}}=-8 \end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{*{35}{l}} a+b=-2 \ {{left( a+b right)}^{3}}-3ableft( a+b right)=-8 \end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{*{35}{l}} a+b=-2 \ ab=0 \end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array}{*{35}{l}} a=0;b=-2 \ a=-2;b=0 \end{array} right.$
Vậy $left( 0;2 right)$ và $left( -2;4 right)$ là cặp điểm cần tìm. Chọn A.
| Bài tập 4: Tìm trên đồ thị hàm số $y=-frac{{{x}^{3}}}{3}+{{x}^{2}}+3x-frac{11}{3}$ hai điểm phân biệt mà chúng đối xứng nhau qua trục tung.
A. $left( 3;-frac{16}{3} right)$ hoặc $left( -3;-frac{16}{3} right).$ B. $left( 3;frac{16}{3} right)$ hoặc $left( -3;frac{16}{3} right).$ C. $left( frac{16}{3};3 right)$ hoặc $left( -frac{16}{3};3 right).$ D. Không tồn tại. |
Lời giải chi tiết
Gọi $Aleft( a;frac{-{{a}^{3}}}{3}+{{a}^{2}}+3a-frac{11}{3} right)$ và $Bleft( b;frac{-{{b}^{3}}}{3}+{{b}^{2}}+3b-frac{11}{3} right),,left( ane b right)$ là 2 điểm thuộc đồ thị và chúng đối xứng nhau qua trục tung.
Khi đó: $left{ begin{array}{*{35}{l}} a=-b \ frac{-{{a}^{3}}}{3}+{{a}^{2}}+3a-frac{11}{3}=frac{-{{b}^{3}}}{3}+{{b}^{2}}+3b-frac{11}{3} \end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{*{35}{l}} a=-b \ frac{-{{a}^{3}}}{3}+{{a}^{2}}+3a-frac{11}{3}=frac{{{a}^{3}}}{3}+{{a}^{2}}-3a-frac{11}{3} \end{array} right.$
$Leftrightarrow left{ begin{array}{*{35}{l}} a=-b \ frac{-2{{a}^{3}}}{3}-6a=0 \end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{*{35}{l}} a=-b \ left[ begin{array}{*{35}{l}} a=0 \ a=pm 3 \end{array} right. \end{array} right.$
Với $a=0Rightarrow b=0Rightarrow Aequiv B$ (loại).
Với $a=pm 3Rightarrow b=mp 3Rightarrow Aleft( 3;frac{16}{3} right);Bleft( -3;frac{16}{3} right)$. Chọn B.
| Bài tập 5: Tìm trên đồ thị hàm số $y=-{{x}^{2}}+4x+2$ hai điểm phân biệt mà chúng đối xứng với nhau qua trục tung.
A. Không tồn tại. B. $Aleft( 2;2 right)$ và $Bleft( -2;2 right)$. C. $Aleft( -1;-1 right)$ và $Bleft( 1;-1 right).$ D. $Aleft( 3;-13 right)$ và $Bleft( -3;-13 right).$ |
Lời giải chi tiết
Gọi hai điểm thỏa mãn đề bài là $left{ begin{array}{*{35}{l}} Aleft( {{x}_{A}};{{y}_{A}} right) \ Bleft( {{x}_{B}};{{y}_{B}} right) \end{array} right.Rightarrow left{ begin{array}{*{35}{l}} {{x}_{A}}=-{{x}_{B}} \ {{y}_{A}}={{y}_{B}} \end{array} right.Rightarrow {{x}_{A}}ne 0.$
Khi đó ta có $-x_{A}^{2}+4{{x}_{A}}+2=-{{left( -{{x}_{A}} right)}^{2}}+4left( -{{x}_{A}} right)+2Leftrightarrow 4{{x}_{A}}=-4{{x}_{A}}Leftrightarrow {{x}_{A}}=0left( L right).$
Suy ra không tồn tại hai điểm thỏa mãn đề bài. Chọn A.
| Bài tập 6: Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị $left( C right):y=frac{3x+6}{x+1}$ các điểm $A,B$ để độ dài $AB$ đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị nhỏ nhất đó bằng:
A. $2sqrt{5}.$ B. $2sqrt{2}.$ C. $2sqrt{6}.$ D. $3sqrt{2}.$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: $y=frac{3x+6}{x+1}=frac{3left( x+1 right)+3}{x+1}=3+frac{3}{x+1}$
Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là $x=-1.$
Gọi $Aleft( {{x}_{1}};{{y}_{1}} right),Bleft( {{x}_{2}};{{y}_{2}} right)$ lần lượt là 2 điểm thuộc 2 nhánh của $left( C right)$ ta có: ${{x}_{1}}<-10 right)Rightarrow left{ begin{array}{*{35}{l}} {{y}_{1}}=3-frac{3}{a} \ {{y}_{2}}=3+frac{3}{b} \end{array} right.Rightarrow A{{B}^{2}}={{left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} right)}^{2}}+{{left( {{y}_{1}}-{{y}_{2}} right)}^{2}}$
$={{left( a+b right)}^{2}}+9{{left( frac{1}{a}+frac{1}{b} right)}^{2}}={{left( a+b right)}^{2}}left( 1+frac{9}{{{left( ab right)}^{2}}} right)$.
Ta có: $left{ begin{array}{*{35}{l}} {{left( a+b right)}^{2}}ge 4ab \ 1+frac{9}{{{a}^{2}}{{b}^{2}}}ge 2sqrt{frac{9}{{{a}^{2}}{{b}^{2}}}}=frac{6}{ab} \end{array} right.Rightarrow A{{B}^{2}}ge 4ab.frac{6}{ab}=24Rightarrow ABge 2sqrt{6}.$
Dấu bằng xảy ra $Leftrightarrow left{ begin{array}{*{35}{l}} a=b \ frac{9}{ab}=1 \end{array} right.Leftrightarrow a=b=3$. Chọn C.