Bài toán tìm điểm M thuộc đường thẳng có yếu tố cực trị
Phương pháp giải:
Tham số hóa điểm M theo phương trình đường thẳng.
Biến đổi giả thiết về dạng $y=fleft( t right)$ và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số$y=fleft( t right)$.
Chú ý:
Tam thức bậc hai: [y=a{{x}^{2}}+bx+cleft( ane 0 right)]có đỉnh [Ileft( frac{-b}{2a};frac{-Delta }{4a} right).]
Bất đẳng thức véc tơ: Cho 2 véc tơ [overrightarrow{u}=left( a;b right)] và [overrightarrow{v}=left( c;d right)] ta có: [left| overrightarrow{u} right|+left| overrightarrow{v} right|ge left| overrightarrow{u}+overrightarrow{v} right|]
Khi đó [sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}+sqrt{{{c}^{2}}+{{d}^{2}}}ge sqrt{{{left( a+c right)}^{2}}+{{left( b+d right)}^{2}}}] dấu bằng xảy ra [Leftrightarrow frac{a}{c}=frac{b}{d}.]
Câu hỏi trắc nghiệm cực trị hình học oxyz có đáp án và lời giải chi tiết
|
Ví dụ 1: Trong không gian hệ tọa độ[Oxyz]cho đường thẳng [d:frac{x}{1}=frac{y-3}{-1}=frac{z+1}{2}] và hai điểm [Aleft( 2;-1;1 right)]; [Bleft( 0;1;-2 right)] . Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho tam giác ABM có diện tích nhỏ nhất. . |
Lời giải:
Đường thẳng d có phương trình tham số [d:left{ begin{align} & x=t \ & y=3-t \ & z=-1+2t \ end{align} right.]
Gọi M là điểm cần tìm. Do nếu M thuộc d thì M nên [Mleft( t;3-t;-1+2t right)].
Diện tích tam giác M được tính bởi [text{S=}frac{1}{2}left| left[ overrightarrow{AM};overrightarrow{BM} right] right|]trong đó [left{ begin{align} & overrightarrow{AM}=left( t-2;4-t;2t-2 right) \ & overrightarrow{AB}=left( -2;2;-3 right) \ end{align} right.]
Do đó [{{S}_{ABM}}=frac{1}{2}left| left[ overrightarrow{AM},overrightarrow{AB} right] right|=frac{1}{2}left| left( -8-t;-t-2;4 right) right|=frac{1}{2}sqrt{{{left( t+8 right)}^{2}}+{{left( t+2 right)}^{2}}+16}]
[=frac{1}{2}sqrt{2left( t+5 right)+34}ge frac{1}{2}sqrt{34}.] Vậy [minS=frac{sqrt{34}}{2}t=-5Rightarrow Mleft( -5;8;-11 right).]
|
Ví dụ 2: Trong không gian hệ tọa độ[Oxyz]cho ba điểm [Aleft( 1;0;-1 right);Bleft( 0;2;3 right);Cleft( -1;1;1 right)] và đường thẳng [d:frac{x+1}{1}=frac{y-1}{-2}=frac{z}{2}] Tìm điểm M trên d sao cho: a) [M{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}}-4M{{C}^{2}}] đạt giá trị lớn nhất? b) [{{left| overrightarrow{AM}+overrightarrow{BC} right|}_{min }}]đạt giá trị nhỏ nhất. |
Lời giải:
a) Gọi [Mleft( -1+t;1-2t;2t right)in d] và I là điểm thỏa mãn [overrightarrow{IA}+2overrightarrow{IB}-4overrightarrow{IC}=overrightarrow{0}Rightarrow Ileft( -5;0;-1 right)]
Biến đổi [M{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}}-4M{{C}^{2}}=-M{{I}^{2}}+I{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}}-4M{{C}^{2}}]lớn nhất [Leftrightarrow M{{I}^{2}}]nhỏ nhất
Lại có: [M{{I}^{2}}={{left( t+4 right)}^{2}}+{{left( 2t-1 right)}^{2}}+{{left( 2t+1 right)}^{2}}=9{{t}^{2}}+8t+18] nhỏ nhất [Leftrightarrow t=-frac{4}{9}Rightarrow Mleft( frac{-13}{7};frac{17}{9};frac{-8}{9} right).]
b) Ta có: [overrightarrow{AM}left( t-2;1-2t;2t+1 right);overrightarrow{BC}=left( -1;-1;-2 right)]
Khi đó [{{left| overrightarrow{AM}+overrightarrow{BC} right|}_{min }}=left| left( t-3;-2t;2t-1 right) right|=sqrt{{{left( t-3 right)}^{2}}+4{{t}^{2}}+{{left( 2t-1 right)}^{2}}}=sqrt{9{{t}^{2}}-10t+10}]nhỏ nhất
[Leftrightarrow t=frac{-b}{2a}=frac{5}{9}Rightarrow Mleft( frac{-13}{9};frac{-1}{9};frac{19}{9} right).]
|
Ví dụ 3: Trong không gian hệ tọa độ[Oxyz]cho hai điểm [Aleft( 0;0;3 right);Bleft( 0;3;3 right)] và đường thẳng [d:frac{x}{1}=frac{y}{1}=frac{z}{1}] Tìm điểm M trên d sao cho: a) [M{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}}] đạt giá trị nhỏ nhất b) [MA+MB] đạt giá trị nhỏ nhất. |
Lời giải:
a) Gọi[Mleft( t;t;t right)] ta có: [M{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}}=2t+{{(t-3)}^{2}}+2left[ {{t}^{2}}+2{{left( t-3 right)}^{2}} right]=9{{t}^{2}}-30t+45] đạt giá trị nhỏ nhất
$t=frac{-b}{2a}=frac{5}{3}Rightarrow Mleft( frac{5}{3};frac{5}{3};frac{5}{3} right).$
b) Ta có: [MA+MB==sqrt{2{{t}^{2}}+{{left( t-3 right)}^{2}}}+sqrt{{{t}^{2}}+2{{left( t-3 right)}^{2}}}=sqrt{3}left( sqrt{{{left( t-1 right)}^{2}}+2}+sqrt{{{left( t-2 right)}^{2}}+2} right)]
[=sqrt{3}left( sqrt{{{left( t-1 right)}^{2}}+2}+sqrt{{{left( 2-t right)}^{2}}+2} right)ge sqrt{3}.sqrt{{{left( t-1+2-t right)}^{2}}+{{left( sqrt{2}+sqrt{2} right)}^{2}}}=3sqrt{3}.]
Dấu bằng xảy ra $Leftrightarrow frac{t-1}{2-t}=1Leftrightarrow t=frac{3}{2}Rightarrow Mleft( frac{3}{2};frac{3}{2};frac{3}{2} right).$
|
Ví dụ 4: Trong không gian hệ tọa độ[Oxyz], gọi là điểm thuộc ssss sao cho A. x$OM=sqrt{87}.$ B. $OM=sqrt{93}.$ C. $OM=sqrt{41}.$ D. $OM=3sqrt{3}.$ |
nhỏ nhất. Khi đó độ dài đoạn thẳng OM là. Lời giải:
Gọi $Mleft( 2-t;-1-t;2t right)$ khi đó $3{{a}^{2}}+3{{b}^{2}}-{{c}^{2}}=3{{left( t-2 right)}^{2}}+2{{left( t+1 right)}^{2}}-4{{t}^{2}}$
$={{t}^{2}}-8t+14={{left( t-4 right)}^{2}}-2ge -2$. Do đó ${{A}_{min }}=-2$ khi $t=4Rightarrow Mleft( -2;-5;8 right)$
Khi đó $OM=sqrt{93}$. Chọn B.
|
Ví dụ 5: Trong không gian hệ tọa độ[Oxyz]cho ba điểm [Aleft( -1;1;6 right);Bleft( -3;-2;-4 right);Cleft( 1;2;-1 right)Dleft( 2;-2;0 right)]. Gọi $M(a;b;c)$làm điểm thuộc đường thẳng CD sao cho tam giác ABM có chu vi nhỏ nhất. Tính $S=a+b+c$. A. $S=-1.$ B. $S=1.$ C. $S=-2.$ D. $S=2.$ |
Lời giải:
Ta có: $overrightarrow{CD}left( 1;-4;1 right)$. Phương trình đường thẳng CD là: $CD:left{ begin{align} & x=2+t \ & y=-2-4t. \ & z=t \ end{align} right.$
Vì $Min CD$ nên $Mleft( 2+t;-2-4t;t right)$.
Chu vi tam giác MAB là: $P=AB+MA+MB$ Vì A,B cố định nên AB không đổi.
Ta có: $P=AB+sqrt{{{left( t+3 right)}^{2}}+{{left( 4t+3 right)}^{2}}+{{left( t-6 right)}^{2}}}+sqrt{{{left( t+5 right)}^{2}}+{{left( 4t right)}^{2}}+{{left( t+4 right)}^{2}}}$
=$sqrt{18{{t}^{2}}+18t+18}+sqrt{18{{t}^{2}}+18t+41}=sqrt{18{{left( t+frac{1}{2} right)}^{2}}+frac{27}{2}}+sqrt{18{{left( t+frac{1}{2} right)}^{2}}+frac{73}{2}}ge sqrt{frac{27}{2}}+sqrt{frac{73}{2}}$
Dấu = xảy ra $Leftrightarrow t=-frac{1}{2}Rightarrow Mleft( frac{3}{2};0;-frac{1}{2} right)Rightarrow S=frac{3}{2}+0-frac{1}{2}=1$. Chọn B.
|
Ví dụ 6: Trong không gian hệ tọa độ[Oxyz]cho hai điểm [Aleft( -1;3;-2 right);Bleft( 1;1;4 right)] và đường thẳng D có phương trình $frac{x+1}{2}=frac{y+2}{-1}=frac{z}{2}$ . Gọi M là điểm thuộc đường thẳng d sao cho chu vi tam giác MAB nhỏ nhất. Khi đó độ dài OM là. A. $OM=sqrt{3}.$ B. $OM=3.$ C. $OM=2.$ D. $OM=sqrt{5}.$ |
Lời giải:
Gọi $Mleft( -1+2t;-2-t;2t right)$ ta có: ${{C}_{ABC}}$nhỏ nhất $Leftrightarrow P=MA+MB$nhỏ nhất.
Khi đó $P=sqrt{4{{t}^{2}}+{{left( t+5 right)}^{2}}+{{left( 2t+2 right)}^{2}}}+sqrt{{{left( 2t-2 right)}^{2}}+{{left( t+3 right)}^{2}}+{{left( 2t-4 right)}^{2}}}$
$=sqrt{9{{t}^{2}}+18t+29}+sqrt{9{{t}^{2}}-18t+29}=sqrt{{{left( 3t+1 right)}^{2}}+{{left( 2sqrt{5} right)}^{2}}}+sqrt{{{left( 1-3t right)}^{2}}+{{left( 2sqrt{5} right)}^{2}}}$
Trong mặt phẳng tọa độ gọi [overrightarrow{u}=left( 3t+1;2sqrt{5} right);overrightarrow{v}=left( 1-3t;2sqrt{5} right);]
Ta có: [left| overrightarrow{u} right|+left| overrightarrow{v} right|ge left| overrightarrow{u}+overrightarrow{v} right|Rightarrow Pge sqrt{{{2}^{2}}+{{left( 4sqrt{5} right)}^{2}}}]
Dấu bằng xảy ra [Leftrightarrow frac{3t+1}{1-3t}=1Leftrightarrow t=0Rightarrow Mleft( -1;-2;0 right)]do đó [OM=sqrt{5}] . Chọn D.
|
Ví dụ 7: Trong không gian hệ tọa độ[Oxyz], cho hai đường thẳng[{{Delta }_{1}}:frac{x}{2}=frac{y-1}{-1}=frac{z}{1}] và [{{Delta }_{2}}:frac{x-1}{1}=frac{y}{2}=frac{z+2}{1}]. Một mặt phẳng (P) vuông góc với [{{Delta }_{1}}], cắt trục [Oz] tại A và cắt [{{Delta }_{2}}] tại B. Tìm độ dài nhỏ nhất của đoạn AB. A. [frac{2sqrt{30}}{5}]. B. [frac{2sqrt{31}}{5}.] C. [sqrt{frac{6}{5}}.] D. [frac{24}{5}.] |
Lời giải:
Gọi [Aleft( 0;0;a right)]và [Bleft( b+1;2b;b-2 right)]suy ra [overrightarrow{AB}=left( b+1;2b;b-a-2 right)].
Vì [ABsubset left( P right)]và vuông góc với[left( {{Delta }_{1}} right)Rightarrow overrightarrow{AB}.overrightarrow{{{u}_{left( {{Delta }_{1}} right)}}}=0Leftrightarrow 2left( b+1 right)-2b+b-a-2=0Leftrightarrow a=b.]
Khi đó [overrightarrow{AB}=left( a+1;2a;-2 right)Rightarrow AB=left| overrightarrow{AB} right|=sqrt{{{left( a+1 right)}^{2}}+4{{a}^{2}}+4}=sqrt{5{{a}^{2}}+2a+5}]
[=sqrt{5{{left( a+frac{1}{5} right)}^{2}}+frac{24}{5}}ge sqrt{frac{24}{5}}=frac{2sqrt{30}}{5}Rightarrow A{{B}_{min }}=frac{2sqrt{30}}{5}]
Vậy độ dài nhỏ nhất của đoạn AB là [frac{2sqrt{30}}{5}]. Chọn A.