Bài toán tìm điểm m thuộc mặt phẳng sao cho MA+MB min nhỏ nhất hoặc MA-MB lớn nhất
Dạng tổng quát
Tìm điểm M thuộc (P) sao cho ${{left( MA+MB right)}_{min }}$hoặc ${{left| MA-MB right|}_{max}}$
Phương pháp giải:
+) Kiểm tra vị trí tương đối của các điểm A và B so với mặt phẳng (P).
+) Nếu A và B cùng phía (P) thì bài toán ${{left( MA+MB right)}_{min }}$phải lấy đối xứng A qua (P) khi đó
$MA+MB=M{A}’+MBge {A}’B$ dấu bằng xảy ra $Leftrightarrow {A}’,M,B$ thẳng hàng hay $M={A}’Bcap (P)$ .
Bài toán tìm ${{left| MA-MB right|}_{max}}$ , ta có $left| MA-MB right|le ABRightarrow M$ là giao điểm trực tiếp của đường thẳng AB và (P).
+) Nếu A và B khác phía (P) thì bài toán${{left| MA-MB right|}_{max}}$ phải lấy đối xứng A qua (P) bài toán tìm${{left( MA+MB right)}_{min }}$ $Rightarrow $M là giao điểm trực tiếp của đường thẳng AB và (P).
Bài tập trắc nghiệm cực trị hình không gian có đáp án chi tiết
| Bài tập 1: Trong không gian hệ tọa độ$Oxyz$ , cho 2 điểm $Aleft( -1;3;-2 right);Bleft( -3;7;-18 right)$và mặt phẳng $(P):2x-y+z+1=0$ . Tìm điểm M thuộc (P) sao cho $MA+MB$ nhỏ nhất. |
Lời giải chi tiết:
Đặt $f=2x-y+z+1=0$ ta có: $fleft( A right).fleft( B right)>0Rightarrow $A,B cùng phía với mặt phẳng (P).
Gọi ${A}’$ là điểm đối xứng của A qua $(P):2x-y+z+1=0$$Rightarrow A{A}’:frac{x+1}{2}=frac{y-3}{-1}=frac{z+2}{1}$
Gọi$Ileft( -1+2t;3-t;-2+t right)=A{A}’cap (P)$ suy ra $2(-1+2t)-(3-t)-2+t+1=0$
$Leftrightarrow t=1Rightarrow I(1;2;-1)Rightarrow A(3;1;0)$.
Khi đó $MA+MB=M{A}’+MBge {A}’B$ dấu bằng xảy ra $Leftrightarrow {A}’,M,B$ thẳng hàng.
Phương trình đường thẳng ${A}’Bleft{ begin{array} {} x=3+u \ {} y=1-u \ {} z=3u \ end{array} right.Rightarrow M={A}’Bcap (P)Rightarrow M(3+u;1-u;3u)$
Giải $Min (P)Rightarrow u=-1Rightarrow M(2;2;-3)$.
| Bài tập 2: Trong không gian hệ tọa độ$Oxyz$cho mặt phẳng $(P):x-y+2z-2=0$và 2 điểm $Aleft( 2;3;0 right);Bleft( 2;-1;2 right)$. Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho $left| MA-MB right|$ lớn nhất. |
Lời giải chi tiết:
Kí hiệu $f=x-y+2z-2=0$ . Ta có $fleft( A right).fleft( B right)<0$ nên A,B nằm khác phía so với mặt phẳng (P).
Gọi ${A}’$ là điểm đối xứng của A qua (P). Ta có: $A{A}’:frac{x-2}{1}=frac{y-3}{-1}=frac{z}{2}$
Khi đó $I=A{A}’cap (P)Rightarrow (2+t;3-t;2t)Rightarrow t+2+t-3+4t-2=0Rightarrow t=frac{1}{2}$
$Rightarrow Ileft( frac{5}{2};frac{5}{2};1 right)Rightarrow {A}'(3;2;2)$
Lại có $left| MA-MB right|=left| M{A}’-MB right|le {A}’B$ dấu bằng xảy ra $Leftrightarrow {A}’,M,B$ thẳng hàng.
Khi đó ${A}’Bleft{ begin{array} {} x=3+u \ {} y=2+3u \ {} z=2 \ end{array} right.Rightarrow M={A}’Bcap (P)Rightarrow Mleft( frac{9}{2};frac{13}{2};2 right)$.
| Bài tập 3: : Trong không gian hệ tọa độ$Oxyz$cho điểm $Aleft( 3;1;0 right);Bleft( -9;4;9 right)$và mặt phẳng (P) có phương trình $(P):2x-y+z+1=0$. Gọi I (a;b;c) là điểm thuộc mặt phẳng (P) sao cho $left| IA-IB right|$ đạt giá trị lớn nhất. Khi đó tổng a +b +c bằng
A. $a+b+c=22$. B. $a+b+c=-4$. C. $a+b+c=-13$. D. $a+b+c=13$. |
Lời giải chi tiết:
Đặt $fleft( x;y;z right)=2x-y+z+1Rightarrow left{ begin{array} {} f({{x}_{A}};{{y}_{A}};{{z}_{A}})=6 \ {} f({{x}_{B}};{{y}_{B}};{{z}_{B}})=-12 \ end{array} right.Rightarrow f(A).f(B)=-72<0$.
Do đó hai điểm A, B nằm khác phía so với mặt phẳng (P).
Gọi ${B}’$ là điểm đối xứng của B qua mặt phẳng (P) $Rightarrow left( B{B}’ right):frac{x+9}{2}=frac{y-4}{-1}=frac{z-9}{1}$.
Điểm $Hin (B{B}’)Rightarrow Hleft( 2t-9;4-t;t+9 right)in left( P right)to 2(2t-9)-(4-t)+t+9+1=0Rightarrow t=2$
Ta có $left| IA-IB right|=left| IA-I{B}’ right|le {A}’BRightarrow {{left| IA-IB right|}_{max }}=A{B}’$$Rightarrow $I là giao điểm của $A{B}’$và mặt phẳng (P).
Lại có $overrightarrow{A{B}’}=left( -4;-1;13 right)Rightarrow overrightarrow{{{u}_{(A{B}’)}}}=(4;1;-13)Rightarrow (A{B}’):frac{x-3}{4}=frac{y-1}{1}=frac{z}{-13}$.
Điểm $Iin (A{B}’)Rightarrow Ileft( 4t+3;t+1;-13t right)in left( P right)to I(7;2;-13)Rightarrow a+b+c=-4$. Chọn B
| Bài tập 4: Trong không gian hệ tọa độ$Oxyz$cho mặt phẳng (P) có phương trình $(P):x-y+2z+2=0$và 2 điểm $Aleft( 0;1;-2 right);Bleft( 2;0;-3 right)$. Gọi M (a;b;c) là điểm thuộc mặt phẳng (P) sao cho $MA+MB$ nhỏ nhất. Tính giá trị của T= a+b+c.
A. $T=-5$. B. $T=-frac{1}{5}$. C. $T=-1$. D. $T=frac{1}{5}$. |
Lời giải chi tiết:
Kí hiệu $f=x-y+2z+2$ ta có $fleft( A right).fleft( B right)>0Rightarrow $ nên A,B nằm cùng phía với (P).
Gọi ${A}’$ là điểm đối xứng của A qua mặt phẳng (P).
Khi đó$MA+MB=M{A}’+M{B}’ge {A}’B$ dấu bằng xảy ra $Leftrightarrow {A}’,M,B$ thẳng hàng.
Phương trình $A{A}’:frac{x}{4}=frac{y-1}{-1}=frac{z+2}{2}$. Gọi $H=text{A{A}’}cap left( P right),Hleft( t;1-t;-2+2t right)$
Cho $Hin left( P right)Rightarrow t+t-1+4t-4+2=0Leftarrow t=frac{1}{2}Rightarrow Hleft( frac{1}{2};frac{1}{2};-1 right)Rightarrow {A}'(1;0;0)$.
Khi đó ${A}’B:left{ begin{array} {} x=1+t \ {} y=0 \ {} z=-3t \ end{array} right.Rightarrow M={A}’Bcap left( P right)Rightarrow Mleft( frac{8}{5};0;-frac{9}{5} right)Rightarrow a+b+c=-frac{1}{5}$. Chọn B.