Biểu diễn hình học của số phức là gì? Công thức và cách dạng bài tập
1)Định nghĩa về biểu diễn hình học của số phức
Mỗi số phức $z=x+yi$ được biểu diễn một điểm $Mleft( x;y right)$ khi đó $overrightarrow{OM}=left( x;y right)$ trên mặt phẳng phức. Ta viết $Mleft( x+yi right)$ hoặc $Mleft( z right)$.
Khi đó $left| z right|=left| overrightarrow{OM} right|=sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}$
Nếu điểm $Mleft( {{z}_{1}} right)$ là điểm biểu diễn số phức ${{z}_{1}}$ và điểm $Nleft( {{z}_{2}} right)$ là điểm biểu diễn số phức ${{z}_{2}}$ thì ${{z}_{1}}-{{z}_{2}}=overrightarrow{OM}-overrightarrow{ON}=overrightarrow{NM},{{z}_{1}}+{{z}_{2}}=overrightarrow{OM}+overrightarrow{ON}$.
2)Phương pháp giải toán
@ Bài toán 1: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn $fleft( z;overline{z} right)=gleft( z;overline{z} right)$ hoặc $fleft( z;overline{z} right)$ là số thực, hoặc $fleft( z;overline{z} right)$ là số ảo
Phương pháp giải: Đặt $z=x+yileft( x;yin mathbb{R} right)Rightarrow overline{z}=x-yi$ thế vào biểu thức ban đầu, biến đổi và kết luận.
|
Mối liên hệ giữa $x$ và $y$ |
Kết luận tập hợp điểm $Mleft( x;y right)$ |
|
○ $Ax+By+C=0$ |
Là đường thẳng $Ax+By+C=0$ |
|
○ $left[ begin{array} {} {{left( x-a right)}^{2}}+{{left( y-b right)}^{2}}={{R}^{2}} \ {} {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2ax-2by+c=0 \ end{array} right.$ |
Là đường tròn $left( C right)$ có tâm $Ileft( a;b right)$ và bán kính $R=sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-c}$ |
|
○ $left[ begin{array} {} {{left( x-a right)}^{2}}+{{left( y-b right)}^{2}}le {{R}^{2}} \ {} {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2ax-2by+cle 0 \ end{array} right.$ |
Là hình tròn $left( C right)$ có tâm $Ileft( a;b right)$ và bán kính $R=sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-c}$ (bao gồm đường tròn và các điểm bên trong). |
|
○ $R_{1}^{2}le {{left( x-a right)}^{2}}+{{left( y-b right)}^{2}}le R_{2}^{2}$ |
Là những điểm thuộc miền có hình vành khăn tạo bởi hai đường tròn đồng tâm $Ileft( a;b right)$ và bán kính lần lượt ${{R}_{1}}$ và ${{R}_{2}}$ |
|
○ $y=a{{x}^{2}}+bx+c$ |
Là một parabol $left( P right)$ có đỉnh $Ileft( -frac{b}{2a};-frac{Delta }{4a} right)$ |
|
○ $frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1$ với $left{ begin{array} {} M{{F}_{1}}+M{{F}_{2}}=2a \ {} {{F}_{1}}{{F}_{2}}=2c<2a \ end{array} right.$ |
Là một elíp có trục lớn $2a$ trục bé $2b$ và tiêu cự là ${{F}_{1}}{{F}_{2}}=2c=2sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}};left( a>b>0 right)$ |
Một số trường hợp đặc biệt:
|
þ Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn $left| z-left( a+bi right) right|=left| z-left( c+di right) right|$ |
Gọi $Mleft( z right);,,Aleft( a;b right);,,Bleft( c;d right)$ lần lượt là các điểm biểu diễn số phức $z;,,a+bi$ và $c+di$.
Khi đó $left| z-left( a+bi right) right|=left| z-left( c+di right) right|Leftrightarrow MA=MBRightarrow $ Tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ là trung trực của $AB$.
|
þ Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn $left| z-left( a+bi right) right|=Rleft( R>0 right)$ |
Gọi $Mleft( z right);,,Ileft( a;b right)$ lần lượt là các điểm biểu diễn số phức $z$ và $a+bi$
Khi đó $left| z-left( a+bi right) right|=RLeftrightarrow MI=RRightarrow $ Tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ là đường tròn tâm $Ileft( a;b right)$ bán kính $R$.
þ Bài toán 2: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức $w$ biết $w={{z}_{1}}.z+{{z}_{2}}$ và số phức $z$ thỏa mãn $left| z-a-bi right|=R$
Ta có: $z=frac{w-{{z}_{2}}}{{{z}_{1}}}$ suy ra $left| z-a-bi right|=RLeftrightarrow left| frac{w-{{z}_{2}}}{{{z}_{1}}}-a-bi right|=RLeftrightarrow left| w-{{z}_{2}}-{{z}_{1}}left( a+bi right) right|=Rleft| {{z}_{1}} right|$
Tập hợp điểm biểu diễn $w$ là đường tròn bán kính $Rleft| {{z}_{1}} right|$,
Tổng quát: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức $w$ biết $w={{z}_{1}}.z+{{z}_{2}}$ và số phức $z$ thỏa mãn $left| z.{{z}_{0}}-a-bi right|=R$ (thêm yếu tố ${{z}_{0}}$)
Ta có: $z=frac{w-{{z}_{2}}}{{{z}_{1}}}$ suy ra $left| z.{{z}_{0}}-a-bi right|=RLeftrightarrow left| {{z}_{0}} right|left| frac{w-{{z}_{2}}}{{{z}_{1}}}-frac{a+bi}{{{z}_{0}}} right|=RLeftrightarrow left| w-{{z}_{2}}-frac{{{z}_{1}}left( a+bi right)}{{{z}_{0}}} right|=frac{Rleft| {{z}_{1}} right|}{left| {{z}_{0}} right|}$
Tập hợp điểm biểu diễn $w$ là đường tròn bán kính $frac{Rleft| {{z}_{1}} right|}{left| {{z}_{0}} right|}$.