Tổng hợp lý thuyết biểu diễn hình học của số phức là gì? công thức và cách dạng bài tập toán lớp 12


Biểu diễn hình học của số phức là gì? Công thức và cách dạng bài tập 

1)Định nghĩa về biểu diễn hình học của số phức

Mỗi số phức $z=x+yi$ được biểu diễn một điểm $Mleft( x;y right)$ khi đó $overrightarrow{OM}=left( x;y right)$ trên mặt phẳng phức. Ta viết $Mleft( x+yi right)$ hoặc $Mleft( z right)$.

Khi đó $left| z right|=left| overrightarrow{OM} right|=sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}$

Nếu điểm $Mleft( {{z}_{1}} right)$ là điểm biểu diễn số phức ${{z}_{1}}$ và điểm $Nleft( {{z}_{2}} right)$ là điểm biểu diễn số phức ${{z}_{2}}$ thì ${{z}_{1}}-{{z}_{2}}=overrightarrow{OM}-overrightarrow{ON}=overrightarrow{NM},{{z}_{1}}+{{z}_{2}}=overrightarrow{OM}+overrightarrow{ON}$.

2)Phương pháp giải toán

Bài toán 1: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn $fleft( z;overline{z} right)=gleft( z;overline{z} right)$ hoặc $fleft( z;overline{z} right)$ là số thực, hoặc $fleft( z;overline{z} right)$ là số ảo

Phương pháp giải: Đặt $z=x+yileft( x;yin mathbb{R} right)Rightarrow overline{z}=x-yi$ thế vào biểu thức ban đầu, biến đổi và kết luận.

Mối liên hệ giữa $x$ và $y$

Kết luận tập hợp điểm $Mleft( x;y right)$

○ $Ax+By+C=0$

Là đường thẳng $Ax+By+C=0$

○ $left[ begin{array}  {} {{left( x-a right)}^{2}}+{{left( y-b right)}^{2}}={{R}^{2}} \  {} {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2ax-2by+c=0 \ end{array} right.$

Là đường tròn $left( C right)$ có tâm $Ileft( a;b right)$ và bán kính $R=sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-c}$

○ $left[ begin{array}  {} {{left( x-a right)}^{2}}+{{left( y-b right)}^{2}}le {{R}^{2}} \  {} {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2ax-2by+cle 0 \ end{array} right.$

Là hình tròn $left( C right)$ có tâm $Ileft( a;b right)$ và bán kính $R=sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-c}$ (bao gồm đường tròn và các điểm bên trong).

○ $R_{1}^{2}le {{left( x-a right)}^{2}}+{{left( y-b right)}^{2}}le R_{2}^{2}$

Là những điểm thuộc miền có hình vành khăn tạo bởi hai đường tròn đồng tâm $Ileft( a;b right)$ và bán kính lần lượt ${{R}_{1}}$ và ${{R}_{2}}$

○ $y=a{{x}^{2}}+bx+c$

Là một parabol $left( P right)$ có đỉnh $Ileft( -frac{b}{2a};-frac{Delta }{4a} right)$

○ $frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1$ với $left{ begin{array}  {} M{{F}_{1}}+M{{F}_{2}}=2a \  {} {{F}_{1}}{{F}_{2}}=2c<2a \ end{array} right.$

Là một elíp có trục lớn $2a$ trục bé $2b$ và tiêu cự là ${{F}_{1}}{{F}_{2}}=2c=2sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}};left( a>b>0 right)$ 

Một số trường hợp đặc biệt:

þ Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn $left| z-left( a+bi right) right|=left| z-left( c+di right) right|$

Gọi $Mleft( z right);,,Aleft( a;b right);,,Bleft( c;d right)$ lần lượt là các điểm biểu diễn số phức $z;,,a+bi$ và $c+di$.

Khi đó $left| z-left( a+bi right) right|=left| z-left( c+di right) right|Leftrightarrow MA=MBRightarrow $ Tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ là trung trực của $AB$.

þ Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn $left| z-left( a+bi right) right|=Rleft( R>0 right)$

Gọi $Mleft( z right);,,Ileft( a;b right)$ lần lượt là các điểm biểu diễn số phức $z$ và $a+bi$

Khi đó $left| z-left( a+bi right) right|=RLeftrightarrow MI=RRightarrow $ Tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ là đường tròn tâm $Ileft( a;b right)$ bán kính $R$.

þ Bài toán 2: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức $w$ biết $w={{z}_{1}}.z+{{z}_{2}}$ và số phức $z$ thỏa mãn $left| z-a-bi right|=R$

Ta có: $z=frac{w-{{z}_{2}}}{{{z}_{1}}}$ suy ra $left| z-a-bi right|=RLeftrightarrow left| frac{w-{{z}_{2}}}{{{z}_{1}}}-a-bi right|=RLeftrightarrow left| w-{{z}_{2}}-{{z}_{1}}left( a+bi right) right|=Rleft| {{z}_{1}} right|$

Tập hợp điểm biểu diễn $w$ là đường tròn bán kính $Rleft| {{z}_{1}} right|$,

Tổng quát: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức $w$ biết $w={{z}_{1}}.z+{{z}_{2}}$ và số phức $z$ thỏa mãn $left| z.{{z}_{0}}-a-bi right|=R$ (thêm yếu tố ${{z}_{0}}$)

Ta có: $z=frac{w-{{z}_{2}}}{{{z}_{1}}}$ suy ra $left| z.{{z}_{0}}-a-bi right|=RLeftrightarrow left| {{z}_{0}} right|left| frac{w-{{z}_{2}}}{{{z}_{1}}}-frac{a+bi}{{{z}_{0}}} right|=RLeftrightarrow left| w-{{z}_{2}}-frac{{{z}_{1}}left( a+bi right)}{{{z}_{0}}} right|=frac{Rleft| {{z}_{1}} right|}{left| {{z}_{0}} right|}$

Tập hợp điểm biểu diễn $w$ là đường tròn bán kính $frac{Rleft| {{z}_{1}} right|}{left| {{z}_{0}} right|}$.





Link Hoc va de thi 2021

Chuyển đến thanh công cụ