Các bài toán tiệm cận của đồ thị hàm số chứa tham số
Một số mẫu toán tìm m để hàm số có tiệm cận
þ Mẫu 1: Biện luận số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=frac{ax+b}{cx+d}$ với $cne 0$ .
– Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng khi $ad-bcne 0$.
þ Mẫu 2: Biện luận số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=frac{a{{x}^{2}}+bx+c}{x-{{x}_{0}}}$ với $ane 0$.
– Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng khi $gleft( x right)=a{{x}^{2}}+bx+c=0$ không có nghiệm $x={{x}_{0}}Leftrightarrow gleft( {{x}_{0}} right)ne 0$.
– Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng khi $gleft( x right)=a{{x}^{2}}+bx+c=0$ có nghiệm $x={{x}_{0}}Leftrightarrow gleft( {{x}_{0}} right)=0$.
þ Mẫu 3: Biện luận số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=frac{x-{{x}_{0}}}{a{{x}^{2}}+bx+c},,left( C right)$ với $ane 0$.
– Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng khi $gleft( x right)=a{{x}^{2}}+bx+c=0$ có hai nghiệm phân biệt khác ${{x}_{0}}Leftrightarrow left{ begin{array} {} Delta >0 \ {} gleft( {{x}_{0}} right)ne 0 \ end{array} right.$.
– Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng khi $gleft( x right)=0$ có nghiệm kép $Leftrightarrow Delta =0$.
– Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng khi $gleft( x right)=0$ vô nghiệm $Leftrightarrow Delta <0$.
þ Mẫu 4: Biện luận số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=frac{a{{x}^{2}}+bx+c}{left( x-{{x}_{1}} right)left( x-{{x}_{2}} right)},,,,left( C right)$ với $ane 0,,,{{x}_{1}}ne {{x}_{2}}$.
– Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng khi phương trình $gleft( x right)=a{{x}^{2}}+bx+c=0$ không nhận ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là nghiệm $Leftrightarrow left{ begin{array} {} gleft( {{x}_{1}} right)ne 0 \ {} gleft( {{x}_{2}} right)ne 0 \ end{array} right.$.
– Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng khi phương trình $gleft( x right)=a{{x}^{2}}+bx+c=0$ có nghiệm $x={{x}_{1}}$ hoặc $x={{x}_{2}}Rightarrow left[ begin{array} {} gleft( {{x}_{1}} right)=0 \ {} gleft( {{x}_{2}} right)=0 \ end{array} right.$ (Chú ý hai điều kiện này không đồng thời xảy ra).
– Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng khi $gleft( x right)=a{{x}^{2}}+bx+c=0$ nhận $x={{x}_{1}}$ và $x={{x}_{2}}$ là nghiệm $Leftrightarrow left{ begin{array} {} gleft( {{x}_{1}} right)=0 \ {} gleft( {{x}_{2}} right)=0 \ end{array} right..$
þ Mẫu 5: Biện luận số tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=frac{fleft( x right)}{gleft( x right)}$.
– Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang bậc của mẫu số lớn hơn hoặc bậc của mẫu số và phải tồn tại các giới hạn $underset{xto +infty }{mathop{lim }},y$ hoặc $underset{xto -infty }{mathop{lim }},y$.