Cách Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau không vuông góc.
Phương pháp tính khoảng cách:
Dựng đường thẳng chứa a và song song với b (hoặc đường thẳng chứa b và song song với a) để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
Khảo sát khối chóp đỉnh S có đường cao SH, yêu cầu tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau d (thuộc mặt đáy) và đường thẳng SC thuộc mặt bên của khối chóp trong trường hợp d không vuông góc với SC.
Dựng hình:
Tìm giao điểm C của cạnh bên SC và mặt đáy (giao điểm của cạnh thuộc mặt bên và mặt đáy). Từ C ta dựng đường thẳng $left. xCy right|d$
Khi đó d(d;SC) = d(d;(Sxy))
Gọi $M=dcap HCRightarrow d=d(M;(Sxy))$
Ta có : $frac{d(M;(Sxy))}{d(H;(Sxy))}=frac{MC}{HC}Rightarrow d(M;(Sxy))=frac{MC}{HC}.d(H;(Sxy))$
Chú ý:
Để tính d(d;(Sxy)) ta có thể lấy bất kỳ điểm nào thuộc d (không nhất thiết là điểm M) sao cho việc quy đổi khoảng cách cần tìm về khoảng cách từ chân đường cao H đến mặt phẳng (Sxy) dễ dàng nhất.
Bài tập Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau không vuông góc có đáp án chi tiết
| Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), đáy ABC tam giác vuông tại B có AB = a, $BC=asqrt{3}$. Biết $SA=frac{a}{sqrt{2}}$
a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AB. |
Lời giải chi tiết
a) Dựng $Bx//AC,AEbot BxRightarrow (SAE)bot Bx$
Dựng $AFbot SERightarrow d(AC;SB)=AF$
Dựng $BHbot AC$ dễ thấy $AE=BH=frac{asqrt{3}}{2}$
Ta có: $AF=frac{AE.SA}{sqrt{S{{A}^{2}}+A{{E}^{2}}}}=frac{asqrt{30}}{10}$
b) Dựng $Cy//ABRightarrow d(AB,SC)=d(AB,(SCy))$
Dựng $AMbot Cy,ANbot SMRightarrow d(AB;(SCy))=AN$
Lại có : $AM=BC=asqrt{3}Rightarrow AN=frac{AM.SA}{sqrt{S{{A}^{2}}+A{{M}^{2}}}}=frac{asqrt{21}}{27}$
| Bài tập 2: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của B’ lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm H của cạnh AB, góc giữa mặt phẳng (BCC’B’) và mặt phẳng đáy bằng ${{60}^{circ }}$. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AA’ và BC. |
Lời giải chi tiết
Dựng $HKbot BCRightarrow BCbot (B’HK)Rightarrow oversetfrown{B’KH}={{60}^{circ }}$
Ta có : $HK=HBsin {{60}^{circ }}=frac{asqrt{3}}{4}$
$Rightarrow B’H=HKtan {{60}^{circ }}=frac{3a}{4}$
Do $text{AA}’//BB’Rightarrow d(text{AA}’;BC)=d(text{AA}’;(B’C’C))$
$d(A;(B’C’CB))=2d(H;(B’C’CB))=2HE$
Ta có : $HE=frac{HK.B’H}{sqrt{B'{{H}^{2}}+H{{K}^{2}}}}=frac{3a}{8}$. Do đó $d=frac{3a}{4}$
| Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB = AC = 2a, hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm của cạnh AB, biết $SA=asqrt{2}$. Tính khoảng cách d giữa 2 đường thẳng SA và BC. |
Lời giải chi tiết
Gọi H là trung điểm của cạnh AB. Khi đó
$SHbot (ABC)$ và $SH=sqrt{S{{A}^{2}}-H{{A}^{2}}}=a$
Dựng $Ax//BCRightarrow d(SA;BC)=d(B;(SAx))$
Dựng $HKbot AxRightarrow (SHK)bot Ax$
Dựng $HEbot SKRightarrow d(B;(SAx))=2d(H;(SAx))$
Ta có : $HK=AHsin oversetfrown{HAK}=frac{a}{sqrt{2}}$
$Rightarrow d(H;(SAx))=HE=frac{SH.HK}{sqrt{S{{H}^{2}}+H{{K}^{2}}}}=frac{a}{sqrt{3}}$
Do đó $d(SA;BC)=frac{2a}{sqrt{3}}$
| Bài tập 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, $AB=asqrt{3}$, AC = a, tam giác SBC là tam giác vuông cân đỉnh S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng SB và AC. |
Lời giải chi tiết
Gọi H là trung điểm của BC. Ta có $SHbot BC$
Mặt khác $(SBC)bot (ABC)Rightarrow SHbot (ABC)$
Ta có : $BC=sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}=2aRightarrow SH=frac{1}{2}BC=a$
Dựng $Bx//ACRightarrow d(AC;SB)=d(AC;(SBx))$
$=d(C;(SBx))=d$
Dựng : $HKbot Bx,HEbot SKRightarrow HEbot (SBx)$
$d(C;(SBx))=2d(H;(SBx))=2HE$
Ta có : $HK=frac{AB}{2}=frac{asqrt{3}}{2}Rightarrow HE=frac{SH.HK}{sqrt{S{{H}^{2}}+H{{K}^{2}}}}=frac{asqrt{21}}{7}$
Do đó : $d=2d(H;(SBK))=frac{2asqrt{21}}{7}$
| Bài tập 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, $SAbot (ABCD)$. Gọi M là trung điểm của cạnh CD, biết $SA=asqrt{5}$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và BM |
Lời giải chi tiết
Dựng $left. DN right|BMRightarrow N$là trung điểm của AB.
Khi đó $d(SD;BM)=d(BM;(SDN))$
$=d(B;(SDN))=d(A;(SDN))$
Dựng $AEbot DNRightarrow DNbot (SAE)$, dựng $AFbot SE$
Khi đó $left{ begin{array} {} AFbot SE \ {} AFbot DN \ end{array} right.Rightarrow AFbot (SDN)$
Ta có : $AE=frac{AN.AD}{sqrt{A{{N}^{2}}+A{{D}^{2}}}}=frac{2a}{sqrt{5}}$
Do vậy $d(B;(SDN))=d(A;(SDN))=AF=frac{AE.SA}{sqrt{A{{E}^{2}}+S{{A}^{2}}}}=2a.sqrt{frac{5}{29}}=frac{2asqrt{145}}{29}$
| Bài tập 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a và $SAbot (ABC)$. Gọi M là trung điểm của AC. Biết góc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng ${{60}^{circ }}$. Tính khoảng cách d giữa 2 đường thẳng AB và SM theo a. |
Lời giải chi tiết
Ta có : $left{ begin{array} {} ABbot BC \ {} BCbot SA \ end{array} right.Rightarrow BCbot (SAB)Rightarrow oversetfrown{SBA}$là góc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và (ABC)
Ta có : $SA=ABtan oversetfrown{SBA}=2asqrt{3}$. Dựng Mx//AB
Khi đó $d(AB;SM)=d(AB;(SMx))=d(A;(SMx))$
Dựng $AEbot Mx;AFbot SE$khi đó $d(A;(SMx))=AF$
Do AE//BC nên $oversetfrown{EAM}=oversetfrown{ACB}={{45}^{circ }}$
Suy ra $AE=AMcos{{45}^{circ }}=a$
Do đó $AF=frac{SA.AE}{sqrt{S{{A}^{2}}+A{{E}^{2}}}}=frac{2asqrt{39}}{13}=d$
| Bài tập 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, $SAbot (ABCD)$, đường thẳng SC tạo với đáy góc ${{45}^{circ }}$. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng SB và AC |
Lời giải chi tiết
Ta có : $AC=asqrt{2};oversetfrown{SCA}=oversetfrown{(SC;(ABCD)}={{45}^{circ }}$
$Rightarrow SA=AC=asqrt{2}$
Dựng $Bx//ACRightarrow d(AC;SB)=d(AC;SBx)$
Dựng $AEbot Bx,AFbot SERightarrow d=AF$
Ta có : $BE//ACRightarrow BEbot BD$ dễ dàng suy ra
OEBO là hình chữ nhật suy ra $AE=OB=frac{asqrt{2}}{2}$
$d=frac{AE.SA}{sqrt{A{{E}^{2}}+S{{A}^{2}}}}=frac{asqrt{10}}{5}$
| Bài tập 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a, $BC=asqrt{3}$. Hình chiếu vuông góc H của đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thỏa mãn $overrightarrow{HA}=2overrightarrow{HB}$. Góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng (ABCD) bằng ${{60}^{circ }}$. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng SA và BD. |
Lời giải chi tiết
Dựng $HKbot CDRightarrow oversetfrown{SKH}={{60}^{circ }}$
Ta có : $SH=HK.tan {{60}^{circ }}=BC.tan {{60}^{circ }}=3a$
Dựng $Ax//BDRightarrow d(SA;BD)=d(BD;(SAx))$
$=d(B;(SAx))=frac{3}{2}d(H;(SAx))$
Dựng $HEbot Ax,HFbot SERightarrow d(H;(SAx))=HF$
Ta có : $tan oversetfrown{ABD}=sqrt{3}Rightarrow oversetfrown{HAE}=oversetfrown{ABD}={{60}^{circ }}$
$Rightarrow HE=HA.sin {{60}^{circ }}=frac{2a}{3}.frac{sqrt{3}}{2}=frac{asqrt{3}}{3}$
Do đó $HF=frac{SH.HE}{sqrt{S{{H}^{2}}+H{{E}^{2}}}}=frac{3a}{2sqrt{7}}Rightarrow d(SA;BD)=frac{9a}{4sqrt{7}}$
| Bài tập 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, $SAbot (ABCD)$. Biết mặt phẳng (SBC) tạo với đáy một góc ${{60}^{circ }}$ và M là trung điểm của SD. Tính khoảng cách d giữa 2 đường thẳng AB và CM. |
Lời giải chi tiết
Ta có: $left{ begin{array} {} BCbot AB \ {} BCbot SA \ end{array} right.Rightarrow BCbot (SAB)Rightarrow oversetfrown{SBA}$ là góc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và (ABC)
Ta có: $SA=ABtan oversetfrown{SBA}=asqrt{3}$
Do AB//CM do đó d(AB;CM) = d(AB;(CMD))
Dựng $AHbot SD$khi đó d(A;(SCD)) = AH
Lại có: $AH=frac{SA.AD}{sqrt{S{{A}^{2}}+A{{D}^{2}}}}=frac{asqrt{3}}{2}=d(AB;CM)$
| Bài tập 10: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Tính d là khoảng cách giữa 2 đường thẳng AC và C’D. |
Lời giải chi tiết
Dễ thấy AB’//C’D do đó
d(AC;C’D) = d(C’D;(ACB’))
Khi đó d = d(D;(B’AC)). Mặt khác OB = OD (với O là tâm hình vuông ABCD)
Khi đó d(D;(B’AC)) = d(B;(B’AC))
Do $left{ begin{array} {} BDbot AC \ {} ACbot BB’ \ end{array} right.Rightarrow ACbot (BB’O)$, dựng $BHbot B’O$
Suy ra $Hbot (B’AC)Rightarrow h=BH=frac{BO.BB’}{sqrt{B{{O}^{2}}+BB{{‘}^{2}}}}=frac{a}{sqrt{3}}$
| Bài tập 11: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn BD sao cho HD = 3HB. Biết góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng đáy bằng ${{45}^{circ }}$. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng SA và BD. |
Lời giải chi tiết
Dựng $HKbot CDRightarrow CDbot (SHK)$do vậy
$oversetfrown{(SCD;ABCD)}=oversetfrown{SKH}={{45}^{circ }}$
Ta có: $Delta $HKD vuông cân tại K do vậy
$HK=KD=frac{3a}{2}Rightarrow SH=HKtan {{45}^{circ }}=frac{3a}{2}$
Dựng $Ax//BD$ ta có:
$d(SA;BD)=d(BD;(SAx))=d(H;(SAx))$
Dựng $HEbot AxRightarrow HE=OA=asqrt{2}$
Dựng $HFbot SERightarrow HFbot (SAx)$
Ta có: $HF=frac{SH.HE}{sqrt{S{{H}^{2}}+H{{E}^{2}}}}=frac{3asqrt{34}}{17}=d(SA;BD)$
| Bài tập 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = 2a, $AD=asqrt{3}$, cạnh bên SA vuông góc với đáy, gọi M là trung điểm của cạnh CD. Biết SM tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc ${{60}^{circ }}$, tính khoảng cách d giữa 2 đường thẳng AM và SB. |
Lời giải chi tiết
Ta có: $M=sqrt{A{{D}^{2}}+D{{M}^{2}}}=2a$
$Rightarrow SA=AMtan {{60}^{circ }}=2asqrt{3}$
Dựng $Bx//AMRightarrow d(AM;SB)=d(A;SBx)$
Dựng $AKbot Bx,AHbot SK$
Ta có: $tan oversetfrown{MAB}=frac{MD}{AD}=frac{1}{sqrt{3}}Rightarrow oversetfrown{MAD}={{30}^{circ }}$
$Rightarrow oversetfrown{BAK}={{30}^{circ }}Rightarrow AK=ABcos{{30}^{circ }}=asqrt{3}$
$d(A;(SBx))=AH=asqrt{frac{12}{5}}=frac{asqrt{60}}{5}$
| Bài tập 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có $AD=asqrt{2}$, hình chiếu vuông góc của đỉnh S xuống mặt đáy là trung điểm của AB, biết tam giác SCD là tam giác vuông tại S và nằm trong mặt phẳng tạo với đáy một góc ${{45}^{circ }}$. Tính khoảng cách d giữa 2 đường thẳng SA và BD. |
Lời giải chi tiết
Gọi H là trung điểm của AB. Dựng $HFbot CD$khi đó $HF=AD=asqrt{2}$
Ta có: $CDbot (SHF)Rightarrow oversetfrown{SFH}={{45}^{circ }}$
$Rightarrow SH=HFtan {{45}^{circ }}=asqrt{2};SF=HFsqrt{2}=2a$
Do tam giác SCD vuông cân nên CD = 2SF = 4a
Suy ra $d(A;BD)=frac{AB.AD}{sqrt{A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}}}=frac{4a}{3}$
Dựng $text{Ax}//BD,HKbot Ax,HEbot SK$
Ta có $HK=frac{1}{2}d(A;BD)=frac{1}{2}.frac{4a}{3}=frac{2a}{3}$. Do vậy $d(SA;BD)=2HE=frac{4a}{sqrt{11}}$
| Bài tập 14: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng đáy trùng với trọng tâm H của tam giác đều ABC, biết mặt phẳng (SCD) tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc ${{60}^{circ }}$. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng SA và BD. |
Lời giải chi tiết
Ta có $Delta $ABC đều cạnh a nên H là trực tâm của tam giác ABC $Rightarrow CHbot ABRightarrow CHbot BC$
$Rightarrow CDbot (SHC)Rightarrow oversetfrown{SCH}={{60}^{circ }}$
Ta có: $OB=frac{asqrt{3}}{2}Rightarrow BD=asqrt{3}$
$Rightarrow HB=HC=frac{asqrt{3}}{2}$. Khi đó $SH=frac{asqrt{3}}{2}.tan {{60}^{circ }}=a$
Dựng $text{Ax//BD,HE}bot text{Ax},HFbot SERightarrow HE=OA=frac{a}{2}$
$d(SA;BD)=HF=frac{HE.SH}{sqrt{H{{E}^{2}}+S{{H}^{2}}}}=frac{a}{sqrt{5}}$
| Bài tập 15: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông có AB = BC = a,
A’B = $asqrt{3}$. Gọi M là trung điểm cạnh BC. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B’C. |
Lời giải chi tiết
Ta có: $text{AA}’=sqrt{A'{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}=asqrt{2}$
Dựng $Cx//AM$ khi đó $d(AM;B’C)=d(AM;(B’Cx))$
$=d(M;(B’Cx))=frac{1}{2}d(B;(B’Cx))$
Dựng $left{ begin{array} {} BEbot Cx \ {} BFbot B’E \ end{array} right.Rightarrow BFbot (B’Cx)Rightarrow d(B;(B’Cx))=BF$
Lại có $BE=2BP$, trong đó $BP=frac{AB.BM}{sqrt{A{{B}^{2}}+B{{M}^{2}}}}=frac{a}{sqrt{5}}$
Suy ra $BE=frac{2a}{sqrt{5}}Rightarrow BF=frac{BE.BB’}{sqrt{B{{E}^{2}}+B{{E}^{2}}}}=frac{2a}{sqrt{7}}$
Do đó $d(AM;B’C)=frac{a}{sqrt{7}}$
| Ví dụ 16: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có các mặt bên đều là hình vuông cạnh a. Gọi D, E lần lượt là trung điểm của BC, A’C’. Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng.
a) B’C’ và A’B b) DE và AB’ |
Lời giải
a) Do lăng trụ ABC.A’B’C’ có các mặt bên đều là hình vuông cạnh a. Nên ABC.A’B’C’ là lăng trụ đứng với hai đáy là tam giác đều cạnh a.
Ta có: $B’C’//BCRightarrow B’C’//(A’BC)$
$Rightarrow d(B’C’;A’B)=d(B’C’;(A’BC))=d(B’;(A’BC))$
Gọi $I=A’Bcap AB’Rightarrow I$là trung điểm của AB’
Khi đó $d(B’;(A’BC))=d(A;(A’BC))$
Dựng $AHbot A’DRightarrow d(A’;(A’BC))=AH=frac{AA’.AD}{sqrt{AA{{‘}^{2}}+A{{D}^{2}}}}$
Trong đó $AA’=a;AD=frac{asqrt{3}}{2}Rightarrow d=AH=frac{asqrt{21}}{7}$
b) Gọi F là trung điểm của B’C’ $Rightarrow left{ begin{array} {} text{EF}//A’B’ \ {} FD//B’B \ end{array} right.Rightarrow (text{EFD)//(A }!!’!!text{ B }!!’!!text{ BA)}Rightarrow text{DE//(A }!!’!!text{ B }!!’!!text{ BA)}$
Khi đó $d(DE;AB’)=d(DE;(A’B’BA))=d(D;(A’B’BA))$
Dựng $DKbot AB(Kin AB)Rightarrow d(D;(A’B’BA))=DK=DBsin oversetfrown{DBK}=frac{a}{2}sin {{60}^{circ }}=frac{asqrt{3}}{4}$
| Ví dụ 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật có AB = a, AD = $asqrt{3}$, $SAbot (ABCD)$. Mặt phẳng (SBC) tạo với đáy một góc ${{60}^{circ }}$. Gọi M là trung điểm của SA. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và DM |
Lời giải
Ta có: $left{ begin{array} {} BCbot SA \ {} BCbot AB \ end{array} right.Rightarrow BCbot (SBA)Rightarrow oversetfrown{(SBC);(ABC))}=oversetfrown{SDB}={{60}^{circ }}$
Do đó $SA=ABtan {{30}^{circ }}=asqrt{3}$
Để tính d(SC;DM) ta đổi về đỉnh của hình chóp C.DAS có $CDbot (SAD)$
Dựng $Sx//DMRightarrow d(DM;SC)=d(DM;(CSx))=d(D;(CSx))$
Dựng $DEbot Sx,DFbot CERightarrow d(D;(SCx))=DF$
Do $SE//DMRightarrow DE=d(S;DM)=d(A;DM)=frac{AD.AM}{sqrt{A{{D}^{2}}+A{{M}^{2}}}}=frac{asqrt{3}.frac{asqrt{3}}{2}}{sqrt{3{{a}^{2}}+frac{3{{a}^{2}}}{4}}}=frac{asqrt{15}}{5}$
Suy ra $DF=frac{DE.CD}{sqrt{C{{D}^{2}}+D{{E}^{2}}}}=frac{asqrt{6}}{4}=d(SC;DM)$
| Ví dụ 18: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B, $SAbot (ABCD)$. Biết AD = 2a, AB = BC = a và SD tạo với đáy một góc ${{30}^{circ }}$. Gọi K là trung điểm của SD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AK. |
Lời giải
Do $SAbot (ABCD)Rightarrow oversetfrown{(SD;(ABCD))}=oversetfrown{SDA}={{30}^{circ }}Rightarrow SA=ADtan {{30}^{circ }}=frac{2a}{sqrt{3}}$
Ta có: $left{ begin{array} {} BAbot AD \ {} BAbot SA \ end{array} right.Rightarrow BAbot (SAD)$ ta cắt khối chóp B.SAD có đường cao BA.
Dựng $Sx//AKRightarrow d(SB;AK)=d(AK;(SBx))$
Dựng $AEbot Sx,AFbot BERightarrow d(AK;(SBx))=d(A;(SBx))=AF$
Do $AK=SK=frac{1}{2}SD$ và $oversetfrown{ASK}={{90}^{circ }}-oversetfrown{ADS}={{60}^{circ }}Rightarrow vartriangle SAK$ đều cạnh $frac{2a}{sqrt{3}}$
Do đó $AE=d(S;AK)=frac{SAsqrt{3}}{2}=aRightarrow AF=frac{AB.AE}{sqrt{A{{B}^{2}}+A{{E}^{2}}}}=frac{asqrt{2}}{2}$
Vậy $d(SB;AK)=frac{asqrt{2}}{2}$