Cách tính Khoảng cách từ một điểm bất kỳ đến mặt bên.
Phương pháp tính khoảng cách trong không gian
– Nếu $AB//left( alpha right)$ thì ta có $dleft( A;left( alpha right) right)=dleft( B;left( alpha right) right)$.
– Nếu AB cắt $left( alpha right)$ tại I thì ta có: $frac{dleft( A;left( alpha right) right)}{dleft( B;left( alpha right) right)}=frac{AI}{BI}$ (định lý Talet).
Xét bài toán: Tính khoảng cách từ điểm C bất kỳ đến mặt phẳng bên $left( SAB right)$.
Nếu $CH//left( SAB right)Rightarrow dleft( C;left( SAB right) right)=dleft( H;left( SAB right) right).$
Nếu $CHcap left( SAB right)=IRightarrow frac{dleft( C;left( SAB right) right)}{dleft( H;left( SAB right) right)}=frac{CI}{HI}.$
Quay trở về bài toán tính khoảng cách từ chân đường cao H đến mặt phẳng bên.
Bài tập khoảng cách trong không gian có đáp án chi tiết
| Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B có $AB=a,BC=2a$. Tam giác SAC cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết $SB=frac{3a}{2}$, tính:
a) Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng $left( SAB right)$. b) Khoảng cách từ A đến mặt phẳng $left( SBC right)$. |
Lời giải chi tiết
a) Gọi H là trung điểm của AC$Rightarrow SHbot AC$
Mặt khác $left( SAC right)bot left( ABC right)Rightarrow SHbot left( ABC right)$
Ta có: $BH=frac{AC}{2}=frac{sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}}{2}=frac{asqrt{5}}{2}$ (trong tam giác vuông thì trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy).
Do đó $SH=sqrt{S{{B}^{2}}-B{{H}^{2}}}=a$
Dựng $HEbot AB,HFbot SE$ khi đó $HFbot left( SAB right)$
Do vậy $dleft( H;left( SCD right) right)=HF$. Lại có $HE=frac{BC}{2}=a$
Mặt khác $frac{1}{H{{F}^{2}}}=frac{1}{H{{E}^{2}}}+frac{1}{S{{H}^{2}}}Rightarrow HF=frac{SH.HE}{sqrt{S{{H}^{2}}+H{{E}^{2}}}}=frac{asqrt{2}}{2}$
Lại có $frac{dleft( C;left( SAB right) right)}{dleft( H;left( SAB right) right)}=frac{CA}{HA}=2Rightarrow dleft( C;left( SAB right) right)=2dleft( H;left( SAB right) right)=asqrt{2}$.
b) Dựng $HMbot BC,HNbot SMRightarrow dleft( H;left( SBC right) right)=HN$.
Trong đó $HM=frac{AB}{2}=frac{a}{2}Rightarrow HN=frac{SH.HM}{sqrt{S{{H}^{2}}+H{{M}^{2}}}}=frac{a}{sqrt{5}}$
Lại có $frac{dleft( A;left( SBC right) right)}{dleft( H;left( SBC right) right)}=frac{AC}{HC}=2Rightarrow dleft( A;left( SBC right) right)=2dleft( H;left( SBC right) right)=2HN=frac{2a}{sqrt{5}}$.
| Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABC có $SAbot left( ABC right)$, đáy là tam giác đều cạnh a. Biết $SB=asqrt{5}$.
a) Tính khoảng cách từ trung điểm K của SA đến mặt phẳng $left( SBC right)$. b) Tính khoảng cách từ trung điểm I của SB đến mặt phẳng $left( SAC right)$. |
Lời giải chi tiết
a) Dựng $AMbot BCRightarrow AM=ACoperatorname{sinC}=asin 60{}^circ =frac{asqrt{3}}{2}$
Dựng $ANbot SM$. Do $left{ begin{array} {} BCbot SA \
{} BCbot AM \ end{array} right.Rightarrow BCbot AN$
Lại có $ANbot SMRightarrow ANbot left( SBC right)$
Mặt khác $SA=sqrt{S{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}=2a,frac{1}{A{{N}^{2}}}=frac{1}{S{{A}^{2}}}+frac{1}{A{{M}^{2}}}$
$Rightarrow dleft( A;left( SBC right) right)=AN=frac{2asqrt{57}}{19}$
Do K là trung điểm của SA nên ta có $frac{dleft( K;left( SBC right) right)}{dleft( A;left( SBC right) right)}=frac{KS}{AS}=frac{1}{2}Rightarrow dleft( K;left( SBC right) right)=frac{1}{2}AN=frac{asqrt{57}}{19}$.
b) Dựng $BEbot ACRightarrow BE=frac{asqrt{3}}{2}$
Mặt khác $BEbot SARightarrow BEbot left( SAC right)Rightarrow dleft( B;left( SAC right) right)=BE=frac{asqrt{3}}{2}$
Do $frac{dleft( B;left( SAC right) right)}{dleft( I;left( SAC right) right)}=frac{BS}{IS}=2Rightarrow dleft( I;left( SAC right) right)=frac{1}{2}dleft( B;left( SAC right) right)=frac{asqrt{3}}{4}$.
| Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh 3a, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng đáy và điểm H thuộc cạnh AB sao cho HB=2HA. Biết SC tạo với đáy một góc $45{}^circ $. Tính các khoảng cách sau:
a) $dleft( B;left( SAC right) right)$ b) $dleft( I;left( SBC right) right)$ |
Lời giải chi tiết
a) Tam giác ABC đều nên $widehat{HAC}=60{}^circ $.
Ta có: $HC=sqrt{A{{H}^{2}}+A{{C}^{2}}-2AH.ACcos 60{}^circ }=asqrt{7}$
Mặt khác $widehat{left( SC;left( ABC right) right)}=widehat{SCH}=45{}^circ Rightarrow SH=HC=asqrt{7}$
Ta có:$frac{BA}{HA}=frac{dleft( B;left( SAC right) right)}{dleft( H;left( SAC right) right)}$
$Rightarrow dleft( B;left( SAC right) right)=3dleft( H;left( SAC right) right)$
Dựng $HEbot AC,HFbot SERightarrow HFbot left( SAC right)$
Ta có: $HE=HAsin 60{}^circ =asin 60{}^circ =frac{asqrt{3}}{2}$
$Rightarrow HF=frac{HE.SH}{sqrt{S{{H}^{2}}+H{{E}^{2}}}}=frac{asqrt{651}}{31}Rightarrow dleft( B;left( SAC right) right)=3HF=frac{3asqrt{651}}{31}$
b) Ta có: $frac{dleft( A;left( SBC right) right)}{dleft( H;left( SBC right) right)}=frac{AB}{HB}=frac{3}{2}Rightarrow dleft( A;left( SBC right) right)=frac{3}{2}dleft( H;left( SBC right) right)$
Dựng $HMbot BC,HNbot SMRightarrow dleft( H;left( SBC right) right)=HN$
Mặt khác $HM=HBsin 60{}^circ =2asin 60{}^circ =asqrt{3}Rightarrow HN=frac{SH.HM}{sqrt{S{{H}^{2}}+H{{M}^{2}}}}=frac{asqrt{210}}{10}$
Do đó $dleft( A;left( SBC right) right)=frac{3}{2}HN=frac{3asqrt{210}}{20}$.
| Bài tập 4: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh. Cạnh bên tạo với đáy góc $60{}^circ $. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng $left( SBC right)$. |
Lời giải chi tiết
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC$Rightarrow SGbot left( ABC right)$
Gọi M là trung điểm của BC$Rightarrow $$BCbot GM$, lại có: $BCbot SG$suy ra $BCbot left( SGM right)$.
Dựng $GEbot SMRightarrow $$left{ begin{array} {} GEbot SM \ {} GEbot BC \ end{array} right.Rightarrow GEbot (SBC)$
Do đó $dleft( G;left( SBC right) right)=GE$
trong đó $GM=frac{1}{3}AM=frac{1}{3}.frac{asqrt{3}}{2}=frac{asqrt{3}}{6},GA=frac{2}{3}AM=frac{asqrt{3}}{3}$
Do $SGbot (ABC)Rightarrow widehat{left( SA;left( ABC right) right)}=widehat{SAG}=60{}^circ $$Rightarrow SG=GAtan 60{}^circ =frac{asqrt{3}}{3}tan 60{}^circ =a$
Do đó $GE=frac{SG.GM}{sqrt{S{{G}^{2}}+G{{M}^{2}}}}=frac{a}{sqrt{13}}$, mặt khác $frac{dleft( A;left( SBC right) right)}{dleft( G;left( SBC right) right)}=frac{AM}{GM}=3$
Vậy $dleft( A;left( SBC right) right)=3dleft( G;left( SBC right) right)=frac{3a}{sqrt{13}}$.
| Bài tập 5: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, tâm O, SO=a
a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng$left( SCD right)$. b) Tính khoảng cách từ trung điểm của SO đến mặt phẳng $left( SCD right)$. |
Lời giải chi tiết
a) Dựng $OEbot SE,OFbot SERightarrow dleft( O;left( SCD right) right)text{=OF}$
Mặt khác
$text{OE}=frac{AD}{2}=aRightarrow {{d}_{0}}text{=OF=}frac{SO.OE}{sqrt{S{{O}^{2}}+O{{E}^{2}}}}=frac{asqrt{2}}{2}$
Lại có: $frac{dleft( A;left( SCD right) right)}{dleft( O;left( SCD right) right)}=2Rightarrow dleft( A;left( SCD right) right)=2{{d}_{o}}=asqrt{2}$
b) Gọi M là trung điểm của SO thì
$frac{dleft( M;left( SCD right) right)}{dleft( O;left( SCD right) right)}=frac{MS}{OS}=frac{1}{2}Rightarrow dleft( M;left( SCD right) right)=frac{1}{2}{{d}_{o}}=frac{asqrt{2}}{4}$
| Bài tập 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, biết $widehat{BAD}=120{}^circ $ và $SObot (ABCD)$. Biết $SO=asqrt{3}$, tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng $left( SCD right)$. |
Lời giải chi tiết
Dựng $OEbot CD,OFbot SERightarrow dleft( O;left( SCD right) right)text{=OF}$
Do $widehat{BAD}=120{}^circ Rightarrow widehat{CAD}=60{}^circ Rightarrow Delta CAD$ là tam giác đều cạnh a
Khi đó $widehat{OCE}=60{}^circ Rightarrow OE=OCsin 60{}^circ =frac{a}{2}.frac{sqrt{3}}{2}=frac{asqrt{3}}{4}$
Do đó $OF=frac{SO.OE}{sqrt{S{{O}^{2}}+O{{E}^{2}}}}=frac{asqrt{51}}{17}=dleft( O;left( SCD right) right)$
Mặt khác $frac{dleft( A;left( SCD right) right)}{dleft( O;left( SCD right) right)}=frac{AC}{OC}=2$
$Rightarrow dleft( A;left( SCD right) right)=2OF=frac{2asqrt{51}}{17}$
| Bài tập 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, $AB=3AD=3$. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng $left( ABCD right)$ là điểm $Hin AB$ sao cho $HB=2HA$. Biết $SH=sqrt{3}$
a) Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng $left( SAD right)$. b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng $left( SCD right)$. |
Lời giải chi tiết
a) $AB=3Rightarrow HA=1$
Dựng $HEbot SA$. Ta có: $left{ begin{array} {} ADbot SH \ {} ADbot AB \ end{array} right.Rightarrow ADbot HE$
Khi đó $HEbot left( SAD right)Rightarrow dleft( H;left( SAD right) right)=HE=frac{HA.SH}{sqrt{H{{A}^{2}}+S{{H}^{2}}}}=frac{sqrt{3}}{2}$
Mặt khác $frac{{{d}_{B}}}{{{d}_{H}}}=frac{BA}{HA}=3Rightarrow dleft( B;left( SAD right) right)=3{{d}_{H}}=frac{3sqrt{3}}{2}$
b) Do $AH//CDRightarrow AH//left( SCD right)Rightarrow dleft( A;left( SCD right) right)=dleft( H;left( SCD right) right)$
Dựng $HKbot CD,HFbot SKRightarrow dleft( H;left( SCD right) right)text{=HF}$
Mặt khác $HK=AD=1,SH=sqrt{3}Rightarrow HF=frac{SH.HK}{sqrt{S{{H}^{2}}+H{{K}^{2}}}}=frac{sqrt{3}}{2}$
Vậy $dleft( A;left( SCD right) right)=frac{sqrt{3}}{2}$
| Bài tập 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, hình chiếu của đỉnh S trên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm của cạnh OA. Biết góc giữa mặt phẳng $left( SCD right)$ và đáy bằng $60{}^circ $. Tính khoảng cách:
a) $dleft( B;left( SCD right) right)$ b) $dleft( A;left( SBD right) right)$ |
Lời giải chi tiết
a) Dựng $HKbot CDRightarrow CDbot left( SHK right)$
$widehat{left( left( SCD right);left( SHK right) right)}=widehat{SKH}=60{}^circ $. Ta có: $HK=frac{3}{4}AD=frac{3a}{4}$
Mặt khác $SH=HKtan 60{}^circ =frac{3asqrt{3}}{4}$
Ta có: $AB//CDRightarrow AB//left( SCD right)$
Lại có: $frac{dleft( A;left( SCD right) right)}{dleft( H;left( SCD right) right)}=frac{AC}{HC}=frac{4}{3}$
Do đó: $dleft( B;left( SCD right) right)=dleft( A;left( SCD right) right)=frac{4}{3}dleft( H;left( SCD right) right)$
Dựng $HEbot SKRightarrow HE=HKsin widehat{HKE}=HKsin 60{}^circ =frac{3asqrt{3}}{8}$
Vậy 
b) Ta có: 
Dựng 
Vậy 
Bài tập 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông ABCD tâm O,  . Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm của cạnh OA, biết tam giác SBD vuông tại S. Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC) |
Lời giải chi tiết
Ta có ∆SBD vuông tại S nên $SO=frac{1}{2}BD=frac{1}{2}AC$
$Rightarrow vartriangle SAC$ vuông tại S ta có: $S{{A}^{2}}=HA.AC=4H{{A}^{2}}$
$Leftrightarrow 8{{a}^{2}}=4H{{A}^{2}}Leftrightarrow HA=asqrt{2}Leftrightarrow AC=4asqrt{2}$
$Rightarrow AB=AC=4a$
Khi đó: $SH=sqrt{S{{A}^{2}}-H{{A}^{2}}}=asqrt{6}$
Do $AD//BCRightarrow dleft( D;left( SBC right) right)=dleft( A;left( SBC right) right)$
Mặt khác $frac{dleft( A;left( SBC right) right)}{dleft( H;left( SBC right) right)}=frac{AC}{HC}=frac{4}{3}$
Do đó $dleft( D;left( SBC right) right)=frac{4}{3}dleft( H;left( SBC right) right)$ . Dựng $HEbot BC,HKbot SERightarrow HKbot left( SBC right)$.
Ta có $HE=frac{3}{4}AB=3aRightarrow HK=frac{HE.SH}{sqrt{H{{E}^{2}}+S{{H}^{2}}}}=frac{6a}{sqrt{10}}Rightarrow dleft( D;left( SBC right) right)=frac{4}{3}HK=frac{8a}{sqrt{10}}=frac{4asqrt{10}}{5}$
| Bài tập 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB là đáy lớn và tam giác ABC là tam giác đều. Các mặt phẳng $left( SAB right)$ và $left( SAC right)$ cùng vuông góc với đáy, cạnh bên $SC=2a$ và khoảng cách từ C đến mặt phẳng $left( SAB right)$ bằng a. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC). |
Lời giải chi tiết
Ta có:$left{ begin{array} {} left( SAB right)bot left( ABC right) \ {} left( SAC right)bot left( ABC right) \ end{array} right.Rightarrow SAbot (ABC)$
Gọi M là trung điểm của AB suy ra $CMbot ABRightarrow CMbot left( SAB right)$
Do đó $dleft( C;left( SAB right) right)=CM=a$
$Rightarrow SM=sqrt{S{{C}^{2}}-C{{M}^{2}}}=asqrt{3}$
Gọi K là trung điểm của BC nên $AK=CM=a$
Lại có $CM=frac{sqrt{3}}{2}ABRightarrow AB=frac{2a}{sqrt{3}}$
$Rightarrow AM=frac{a}{sqrt{3}}Rightarrow SA=frac{2asqrt{6}}{sqrt{3}}$. Kẻ $AHbot SK,Hin SK$ nên $AHbot left( SBC right)Rightarrow dleft( A;left( SBC right) right)=AH$
Khi đó $frac{1}{A{{H}^{2}}}=frac{1}{S{{A}^{2}}}+frac{1}{A{{K}^{2}}}=frac{1}{{{left( frac{2asqrt{6}}{3} right)}^{2}}}+frac{1}{{{a}^{2}}}Rightarrow AH=frac{2asqrt{22}}{11}$
| Bài tập 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là lục giác đều cạnh a. Tam giác SAD vuông cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy $left( ABCD right)$.
a) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD). b) Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD). |
Lời giải chi tiết
a) Gọi H là trung điểm của AD $Rightarrow SHbot AD$
Mặt khác $left( SAD right)bot left( ABCD right)$$Rightarrow SHbot left( ABCD right)$
$Delta SAD$ vuông cân tại S nên $SH=frac{AD}{4}=a$
Dễ thấy HC=AB=a$Rightarrow Delta HCD$ đều cạnh a
Dựng $HEbot CD,HFbot SERightarrow dleft( H;left( SCD right) right)text{=HF}$
Mặt khác $HE=frac{asqrt{3}}{2}Rightarrow HF=frac{SH.HE}{sqrt{S{{H}^{2}}+H{{E}^{2}}}}=frac{asqrt{21}}{7}$
Do D=2HD$Rightarrow $$dleft( A;left( SCD right) right)=2HF=frac{2asqrt{21}}{7}$
b) Dễ thấy HDCB là hình thoi cạnh a
Do đó $BH//CDRightarrow BD//left( SCD right)Rightarrow dleft( B;left( SCD right) right)=dleft( H;left( SCD right) right)=HF=frac{asqrt{21}}{7}$
| Bài tập 12: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân $AC=BC=a,AB=asqrt{3}$, hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng đáy trùng với trọng tâm G của tam giác ABC. Biết mặt phẳng $left( B’C’CB right)$ tạo với đáy một góc $60{}^circ $. Tính các khoảng cách:
a) $dleft( A;left( A’BC right) right)$. b) $dleft( C;left( ABB’A’ right) right)$. |
Lời giải chi tiết
a) Gọi I là trung tâm của AB ta có: $CIbot AB$
Dựng $GEbot BCRightarrow left( A’EG right)bot BC$
Ta có: $widehat{A’EG}=60{}^circ $$Rightarrow GA’=GEtan 60{}^circ $
$CI=sqrt{B{{C}^{2}}-I{{B}^{2}}}=frac{a}{2}Rightarrow CG=frac{a}{3}$
Mặt khác: $sin widehat{ICB}=frac{sqrt{3}}{2}Rightarrow widehat{ICB}=60{}^circ $
Khi đó: $GE=CGsin 60{}^circ =frac{asqrt{3}}{6}$
$Rightarrow A’G=GEtan 60{}^circ =frac{a}{2}$
Dựng $GFbot A’E$ ta có: $GFbot left( A’BC right)Rightarrow dleft( G;left( A’BC right) right)text{=GF}$
Ta có: $dleft( A;left( A’BC right) right)=3dleft( G;left( A’BC right) right)=3GF=3GEsin 60{}^circ =3frac{asqrt{3}}{6}.frac{sqrt{3}}{2}=frac{3a}{4}$
b) Do $CI=3GIRightarrow dleft( C;left( B’AB right) right)=3dleft( G;left( B’AB right) right)$
Dựng $GKbot A’IRightarrow dleft( G;left( A’AB right) right)=frac{GI.A’G}{sqrt{G{{I}^{2}}+A'{{G}^{2}}}}$
Trong đó $GI=frac{1}{3}CI=frac{a}{6},A’G=frac{a}{2}Rightarrow GK=frac{asqrt{10}}{20}Rightarrow dleft( C;left( A’AB right) right)=frac{3asqrt{10}}{20}$
| Bài tập 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, $AB=AD=2a,BC=a$, tam giác SAB là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), biết cạnh bên $SD=3a$, tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng SCD |
Lời giải chi tiết
Gọi H là trung điểm của AB ta có: $SHbot AB$ mặt khác $left( ABC right)bot (ABCD)Rightarrow SHbot left( ABCD right)$
Ta có: $HD=sqrt{A{{H}^{2}}+A{{D}^{2}}}=asqrt{5}$. Khi đó: $SH=sqrt{S{{D}^{2}}-H{{D}^{2}}}=2a$
Gọi $K=ABcap CDRightarrow frac{KB}{KA}=frac{BC}{AD}=frac{1}{2}Rightarrow AK=frac{4}{3}HK$
Ta có: $dleft( A;left( SCD right) right)=frac{4}{3}dleft( H;left( SCD right) right)=frac{4}{3}HF$. Dựng $HEbot CD,HFbot SERightarrow HFbot left( SCD right)$
Ta có: $CD=sqrt{A{{B}^{2}}+{{left( AD-BC right)}^{2}}}=asqrt{5}$; ${{S}_{HCD}}={{S}_{ABCD}}-{{S}_{HBC}}-{{S}_{HAD}}=3{{a}^{2}}-frac{3{{a}^{2}}}{2}=frac{3{{a}^{2}}}{2}$
Do vậy $HE=frac{2{{S}_{HCD}}}{CD}=frac{3{{a}^{2}}}{asqrt{5}}=frac{3a}{sqrt{5}}Rightarrow HF=frac{SH.HE}{sqrt{S{{H}^{2}}+H{{E}^{2}}}}=frac{6a}{sqrt{29}}Rightarrow dleft( A;SCD right)=frac{8a}{sqrt{9}}$.
| Bài tập 14: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều cạnh a, AD=2a, tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, cạnh bên SD tạo với đáy một góc $varphi $ thỏa mãn $tan varphi =frac{1}{sqrt{13}}$. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng SCD. |
Lời giải chi tiết
Gọi H là trung điểm của AB ta có: $SHbot AB$
Mặt khác $left( SAB right)bot left( ABCD right)Rightarrow SHbot left( ABCD right)$
Ta có: $H{{D}^{2}}=A{{H}^{2}}+A{{D}^{2}}-2AD.AH.coswidehat{HAD}=frac{{{a}^{2}}}{4}+4{{a}^{2}}-2{{a}^{2}}.cos60{}^circ =frac{13{{a}^{2}}}{4}$$Rightarrow HD=frac{asqrt{13}}{2}$
Ta có: $widehat{SDH}=varphi Rightarrow SH=HDtan varphi =frac{a}{2}$
Gọi $F=ABcap CDRightarrow AF=2ABRightarrow frac{text{AF}}{HF}=frac{4}{3}$
Do đó: $dleft( A;left( SCD right) right)=frac{4}{3}dleft( H;left( SCD right) right)=frac{4}{3}HK$
Mặt khác $HE=HFsin 60{}^circ =frac{3a}{2}.frac{sqrt{3}}{2}=frac{3asqrt{3}}{4}$
$Rightarrow HK=frac{HE.SH}{sqrt{S{{H}^{2}}+H{{E}^{2}}}}=frac{3asqrt{93}}{62}Rightarrow dleft( A;left( SCD right) right)=frac{4}{3}HK=frac{2asqrt{93}}{61}$