Cách tính Thể tích khối lăng trụ đứng- Bài tập có đáp án
Công thức tính thể tích khối lăng trụ:
$V=S.h$
Trong đó: S là diện tích đáy và h là chiều cao của khối lăng trụ.
Chú ý: Lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.
Bài tập trắc nghiệm thể tích khối lăng trụ có đáp án chi tiết
| Bài tập 1: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}’$có đáy là tam giác dều cạnh a. Biết mặt phẳng (A’BC) tạo với đáy một góc 60°. Thể tích khối lăng trụ đã cho là:
A. $frac{2{{a}^{3}}sqrt{3}}{4}$ B. $frac{{{a}^{3}}sqrt{3}}{8}$ C. $frac{3{{a}^{3}}sqrt{3}}{8}$ D. $frac{3{{a}^{3}}sqrt{3}}{4}$ |
Lời giải chi tiết
Diện tích đáy cùa lăng trụ là ${{S}_{ABC}}=frac{{{a}^{2}}sqrt{3}}{4}.$
Dựng $AHbot BC,$có $BCbot A{A}’Rightarrow BCbot ({A}’HA)$
Do đó: $widehat{left( left( {A}’BC right);left( ABC right) right)}=widehat{{A}’HAtext{ }}=60{}^circ $
Ta có: $AH=frac{asqrt{3}}{2}Rightarrow {A}’H=AHtan 60{}^circ =frac{3a}{2}.$
Thể tích khối lăng trụ là: $V={{S}_{ABC}}.A{A}’=frac{3{{a}^{3}}sqrt{3}}{8}.$ Chọn C
| Bài tập 2: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}’$ có đáy là tam giác đều cạnh a. Đường thẳng ${A}’C$ tạo với mặt phẳng $(BC{C}'{B}’)$ một góc $30{}^circ $. Thể tích khối lăng trụ đã cho là
A. $frac{{{a}^{3}}sqrt{15}}{5}$ B. $frac{{{a}^{3}}sqrt{6}}{8}$ C. $frac{{{a}^{3}}sqrt{15}}{8}$ D. $frac{{{a}^{3}}sqrt{6}}{4}$ |
Lời giải chi tiết
Dựng ${A}’Hbot {B}'{C}’Rightarrow $H là trung điểm của ${B}'{C}’$.
Mặt khác ${A}’Hbot B{B}’Rightarrow {A}’Hbot (BC{C}'{B}’)$.
Khi đó $widehat{({A}’C;(BC{C}'{B}’)})=widehat{{A}’CH}=30{}^circ $
Ta có: ${A}’Csin 30{}^circ -{A}’H-frac{asqrt{3}}{2}Rightarrow {A}’C=asqrt{3}$
Suy ra $A{A}’=sqrt{{A}'{{C}^{2}}-A{{C}^{2}}}=asqrt{2}.$
Thể tích khối lăng trụ là: $V={{S}_{ABC}}.A{A}’=frac{{{a}^{2}}sqrt{3}}{4}.asqrt{2}=frac{{{a}^{3}}sqrt{6}}{4}$
Chọn D.
| Bài tập 3: Cho hình lăng trụ đứng$ABC.{A}'{B}'{C}’$có đáy là tam giác vuông cân tại A có $AB=AC=a$. Biết diện tích tam giác ${A}’BC$ bằng $frac{{{a}^{2}}sqrt{3}}{2}$. Thể tích khối lăng trụ đã cho là
A. $2{{a}^{3}}$ B. ${{a}^{3}}$ C. $text{3}{{a}^{3}}$ D. $frac{{{a}^{3}}}{2}$ |
Lời giải chi tiết
Diện tích đáy của lăng trụ là ${{S}_{ABC}}=frac{{{a}^{2}}}{2}.$
Dựng $AHbot BC,$có $BCbot A{A}’Rightarrow BCbot ({A}’HA)Rightarrow BCbot {A}’H.$
Mặt khác $BC=sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}=asqrt{2}Rightarrow {A}’H=frac{2{{S}_{ABC}}}{BC}=sqrt{frac{3}{2}}a.$
Do $AH=frac{BC}{2}=frac{asqrt{2}}{2}Rightarrow A{A}’=sqrt{{A}'{{H}^{2}}-A{{H}^{2}}}=a.$
Thể tích khối lăng trụ là: $V={{S}_{ABC}}.A{A}’=frac{{{a}^{3}}}{2}.$Chọn D.
| Bài tập 4: Cho khối lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}’$có đáy ABC là tam giác cân với $AB=AC=a$, $widehat{BAC}=120{}^circ ,$ mặt phẳng $(A{B}'{C}’)$ tạo với đáy một góc $60{}^circ $. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
A. $V=frac{3{{a}^{3}}}{8}$ B. $V=frac{9{{a}^{3}}}{8}$ C. $V=frac{{{a}^{3}}}{8}$ D. $V=frac{3{{a}^{3}}}{4}$ |
Lời giải chi tiết
Gọi M là trung điểm của ${B}'{C}’$
Khi đó $left{ begin{matrix} {B}'{C}’bot {A}’M \ {B}'{C}’bot A{A}’ \end{matrix} right.Rightarrow {B}'{C}’bot ({A}’MA)Rightarrow widehat{{A}’MA}=60{}^circ $
Ta có: $B{{C}^{2}}=2{{a}^{2}}-2{{a}^{2}}cos 120{}^circ =3{{a}^{2}}Rightarrow BC=asqrt{3}$
${A}’M=sqrt{{{a}^{2}}-{{left( frac{asqrt{3}}{2} right)}^{2}}}=frac{a}{2}Rightarrow A{A}’=h={A}’Mtan 60{}^circ =frac{asqrt{3}}{2}.$
${{S}_{ABC}}=frac{1}{2}{{a}^{2}}sin 120{}^circ =frac{{{a}^{2}}sqrt{3}}{4}Rightarrow V={{S}_{ABC}}.A{A}’=frac{3{{a}^{3}}}{8}.$ Chọn A.
| Bài tập 5: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}’$có đáy ABC là tam giác cân tại A có $AB=AC=3a$. Biết rằng $A{A}’=asqrt{3}$và mặt phẳng $left( {A}’BC right)$tạo với đáy một góc $60{}^circ $. Thể tích khối lăng trụ đã cho là:
A. ${{a}^{3}}sqrt{6}$ B. $6{{a}^{3}}sqrt{6}$ C. $2{{a}^{3}}sqrt{6}$ D. $frac{2{{a}^{3}}sqrt{6}}{3}$ |
Lời giải chi tiết
Gọi M là trung điểm của BC, ta có $AMbot BC$
Mặt khác $BCbot A{A}’Rightarrow BCbot left( A{A}’M right)$
Do đó $widehat{{A}’MA}=60{}^circ $. Khi đó $A{A}’=AMtan 60{}^circ $
$Rightarrow AM=aRightarrow BM=sqrt{A{{B}^{2}}-A{{M}^{2}}}=2asqrt{2}.$
Khi đó ${{S}_{ABC}}=frac{1}{2}BC.AM=BM.AM=2{{a}^{2}}sqrt{2}.$
Do đó ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}’}}=A{A}’.{{S}_{ABC}}.=asqrt{3}.2{{a}^{2}}sqrt{2}=2{{a}^{3}}sqrt{6}$. Chọn C.
| Bài tập 6: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}’$có đáy là tam giác ABC vuông tại B có $AB=asqrt{3},BC=a.$ Gọi M là trung điểm của AC, đường thẳng ${B}’M$ tạo với đáy một góc $45{}^circ .$Thể tích khối lăng trụ đã cho là:
A. $frac{{{a}^{3}}sqrt{3}}{2}$ B. $frac{{{a}^{3}}sqrt{6}}{2}$ C. $frac{{{a}^{3}}sqrt{3}}{4}$ D. $frac{{{a}^{3}}sqrt{6}}{6}$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: $AC=sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=2a$.
Do vậy $BM=frac{AC}{2}=a$(tính chất trung tuyến trong tam giác vuông).
Lại có: ${{S}_{ABC}}=frac{1}{2}AB.AC=frac{{{a}^{2}}sqrt{3}}{2}$
Mặt khác: $widehat{left( {B}’M;left( ABC right) right)}=widehat{{B}’MB}=45{}^circ .$
Suy ra $B{B}’=BMtan 45{}^circ =a.$
Vậy $V=B{B}’.{{S}_{ABC}}=frac{{{a}^{3}}sqrt{3}}{2}.$Chọn A.
| Bài tập 7: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}’$ có tam giác ABC vuông tại B có $BC=3a$. Gọi M là trung điểm của ${A}'{C}’$ và I là giao điểm của ${A}’C$và AM. Khoảng cách từ I đến mặt phẳng $(ABC)$ bằng 2a và ${A}’B=5a$. Thể tích khối lăng trụ đã cho là:
A. $6{{a}^{3}}$ B. $2{{a}^{3}}$ C. $9{{a}^{3}}$ D. $18{{a}^{3}}$ |
Lời giải chi tiết
Do $AM//AC$ nên $frac{I{A}’}{IC}=frac{M{A}’}{AC}=frac{1}{2}Rightarrow frac{{A}’C}{IC}=frac{3}{2}.$
Do đó $dleft( {A}’;left( ABC right) right)=frac{3}{2}dleft( I;left( ABC right) right)=3a=A{A}’.$
Mặt khác $AB=sqrt{{A}'{{B}^{2}}-A{{{{A}’}}^{2}}}=4a.$
Do đó ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}’}}=A{A}’.{{S}_{ABC}}.=3a.frac{4a.3a}{2}=18{{a}^{3}}$. Chọn D
| Bài tập 8: Cho khối lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}’$có đáy là tam giác ABC vuông tại A có $AB=5a,AC=12a.$ Biết rằng mặt phẳng $left( {A}’BC right)$ tạo với đáy một góc $60{}^circ $. Tính thể tích khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}’$.
A. $frac{800{{a}^{3}}sqrt{3}}{13}.$ B. $frac{3600{{a}^{3}}sqrt{3}}{13}.$ C. $frac{900{{a}^{3}}sqrt{3}}{13}.$ D. $frac{1800{{a}^{3}}sqrt{3}}{13}.$ |
Lời giải chi tiết
Dựng $AHbot BC.$ Mặt khác $A{A}’bot BC.$
Do đó $left( {A}’HA right)bot BC.$
Khi đó $widehat{left( left( {A}’BC right);left( ABC right) right)}=widehat{{A}’HA}=60{}^circ .$
Mặt khác $AH=frac{AB.AC}{sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}}=frac{60}{13}a.$
Suy ra $A{A}’=AHtan widehat{{A}’HA}=frac{60sqrt{3}}{13}a.$
Vậy $V=A{A}’.{{S}_{ABC}}=frac{1800{{a}^{3}}sqrt{3}}{13}.$ Chọn D.
| Bài tập 9: Cho khối lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}’$có đáy là tam giác ABC có $widehat{BAC}=60{}^circ ,AB=3a$và $AC=4a.$Gọi M là trung điểm của ${B}'{C}’$, biết khoảng cách từ M đến mặt phẳng $({B}’AC)$ bằng $frac{3asqrt{15}}{10}$. Thể tích khối lăng trụ đã cho là:
A. ${{a}^{3}}$ B. $9{{a}^{3}}$ C. $4{{a}^{3}}$ D. $27{{a}^{3}}$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: ${{S}_{ABC}}=frac{1}{2}AB.ACsin widehat{BAC}=3{{a}^{2}}sqrt{3}.$
Dựng $BEbot AC;BFbot {B}’E.$ Khi đó $left{ begin{matrix} BCbot {B}’B \ BCbot BE \end{matrix} right.$
Suy ra $BCbot BFRightarrow BFbot ({B}’AC).$
Do vậy $dleft( M;({B}’AC) right)=BF;BE=ABsin A=frac{3asqrt{3}}{2}.$
Mặt khác $dleft( M;({B}’AC) right)=frac{1}{2}dleft( C;({B}’AC) right)$
$=frac{1}{2}dleft( B;({B}’AC) right)=frac{1}{2}BF=frac{3asqrt{15}}{10}Rightarrow BF=frac{3asqrt{15}}{5}$
Mặt khác $frac{1}{B{{F}^{2}}}=frac{1}{B{{{{B}’}}^{2}}}+frac{1}{B{{E}^{2}}}Rightarrow B{B}’=3asqrt{3}Rightarrow {{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}’}}=B{B}’.{{S}_{ABC}}=27{{a}^{3}}$. Chọn D.
| Bài tập 10: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}’$ có đáy ABC là tam giác vuông, AB=BC=a. Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng $left( AC{C}’ right)$ và $(A{B}'{C}’)$ bằng $60{}^circ $(tham khảo hình vẽ bên). Thể tích của khối chóp ${B}’.AC{C}'{A}’$ bằng
A. $frac{{{a}^{3}}}{3}.$ B. $frac{{{a}^{3}}}{6}.$ C. $frac{{{a}^{3}}}{2}.$ D. $frac{sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}.$ |
Lời giải chi tiết
Dựng ${B}’Mbot {A}'{C}’Rightarrow {B}’Mbot left( AC{C}'{A}’ right)$
Dựng $MNbot A{C}’Rightarrow A{C}’bot (MN{B}’)$
Khi đó $widehat{left( (A{B}'{C}’);left( A{C}'{A}’ right) right)}=widehat{(MN{B}’)}=60{}^circ $
Ta có: ${B}’M=frac{asqrt{2}}{2}Rightarrow MN=frac{{B}’M}{tan widehat{(MN{B}’)}}=frac{asqrt{6}}{6}$
Mặt khác $tan widehat{A{C}'{A}’}=frac{MN}{{C}’N}=frac{A{A}’}{{A}'{C}’,}$
Trong đó $MN=frac{asqrt{6}}{6},M{C}’=frac{asqrt{2}}{2}$
$Rightarrow {C}’N=sqrt{{C}'{{M}^{2}}-M{{N}^{2}}}=frac{asqrt{3}}{3}Rightarrow A{A}’=a$
Thể tích lăng trụ $V=frac{A{{B}^{2}}}{2}.h=frac{{{a}^{3}}}{2}Rightarrow {{V}_{{B}’.AC{C}'{A}’}}=V-{{V}_{{B}’.BAC}}=V-frac{V}{3}=frac{2}{3}V=frac{{{a}^{3}}}{3}.$ Chọn A.
| Bài tập 11: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}’$ có $AB=AC=a,widehat{ACB}=30{}^circ ,$đường thẳng ${A}’C$ tạo với mặt phẳng $left( AB{B}'{A}’ right)$ một góc $45{}^circ $. Thể tích khối lăng trụ đã cho là
A. $frac{{{a}^{3}}sqrt{3}}{8}$ B. $frac{{{a}^{3}}sqrt{6}}{8}$ C. $frac{{{a}^{3}}sqrt{3}}{4}$ D. $frac{{{a}^{3}}sqrt{6}}{4}$ |
Lời giải chi tiết
Ta có tam giác ABC cân tại A do đó $widehat{B}=widehat{C}=30{}^circ $
$widehat{BAC}=120{}^circ .$ Dựng $CHbot AB$, có $CHbot A{A}’$ suy ra
$CHbot left( AB{B}'{A}’ right)Rightarrow widehat{left( C{A}’;left( AB{B}'{A}’ right) right)}=widehat{C{A}’H}=45{}^circ $
Mặt khác $CH=ACsin widehat{CAH}=asin 60{}^circ =frac{asqrt{3}}{2}$.
Suy ra $C{A}’sin 45{}^circ =CHRightarrow {A}’C=frac{asqrt{6}}{2}$
$Rightarrow A{A}’=sqrt{{A}'{{C}^{2}}-A{{C}^{2}}}=frac{a}{sqrt{2}}Rightarrow V=A{A}’.{{S}_{ABC}}$
$=A{A}’.frac{1}{2}AB.sin120{}^circ =frac{{{a}^{3}}sqrt{6}}{8}$.Chọn B.
| Bài tập 12: Cho khối lăng trụ đứng $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’$có đáy là hình chữ nhật ABCD có $AB=a,AD=asqrt{3}.$ Mặt phẳng $left( {A}’BD right)$tạo với đáy một góc $60{}^circ $. Thể tích khối lăng trụ đã cho là:
A. $frac{3{{a}^{3}}sqrt{3}}{2}$ B. $frac{3{{a}^{3}}}{2}$ C. $frac{{{a}^{3}}}{3}$ D. $frac{{{a}^{3}}sqrt{3}}{2}$ |
Lời giải chi tiết
Dựng $AHbot BD,$ta có $AHbot A{A}’Rightarrow left( {A}’AH right)bot BD$
Do đó $widehat{left( left( {A}’BD right);left( ABCD right) right)}=widehat{{A}’HA}=60{}^circ $
Mặt khác $AH=frac{AB.AD}{sqrt{A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}}}=frac{asqrt{3}}{2}$
Suy ra ${A}’A=AHtan 60{}^circ =frac{3a}{2},{{S}_{ABCD}}=AB.AD={{a}^{2}}sqrt{3}$
$Rightarrow {{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’}}=A{A}’.{{S}_{ABCD}}=frac{3{{a}^{3}}sqrt{3}}{2}.$ Chọn A
| Bài tập 13: Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’$ có đáy là hình chữ nhật ABCD có $AB=3a,AD=4a.$ Đường thẳng ${A}’C$ tạo với mặt phẳng $left( {A}'{B}’BA right)$ một góc $30{}^circ $. Thể tích khối hộp chữ nhật đã cho là:
A. $2{{a}^{3}}sqrt{39}.$ B. $18{{a}^{3}}sqrt{39}.$ C. ${{a}^{3}}sqrt{39}.$ D. $6{{a}^{3}}sqrt{39}.$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: $left{ begin{matrix} BCbot AB \ BCbot {B}’B \end{matrix} right.Rightarrow BCbot left( AB{B}'{A}’ right)$
$Rightarrow widehat{left( {A}’C;left( AB{B}'{A}’ right) right)}=widehat{C{A}’B}=30{}^circ $
Khi đó ${A}’B.tan 30{}^circ =BC=4aRightarrow {A}’B=4asqrt{3}$
Do vậy ${A}’A=sqrt{{A}'{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}=asqrt{39}$
$Rightarrow V={A}’A.{{A}_{ABCD}}=6{{a}^{3}}sqrt{39}.$ Chọn D.
| Bài tập 14: Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’$ đáy là hình chữ nhật có $AB=2a,AD=6a.$ Gọi M là trung điểm của AD, biết khoảng cách từ C đến mặt phẳng $left( {A}’BM right)$ bằng $frac{12a}{7}$. Thể tích khối hộp $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’$ là:
A. $24{{a}^{3}}$ B. $12{{a}^{3}}$ C. $3{{a}^{3}}$ D. $8{{a}^{3}}$ |
Lời giải chi tiết
Gọi $I=ACcap BM$ta có $frac{IA}{IC}=frac{AM}{BC}=frac{1}{2}$
Do vậy $dleft( C;left( {A}’BM right) right)=2dleft( A;left( {A}’BM right) right)=frac{12}{7}a.$
Dựng $AEbot BM,AFbot {A}’E$ khi đó
$dleft( A;left( {A}’BM right) right)=frac{6a}{7}=AF$. Mặt khác
$frac{1}{A{{E}^{2}}}+frac{1}{A{{{{A}’}}^{2}}}=frac{1}{A{{F}^{2}}}Leftrightarrow frac{1}{A{{F}^{2}}}=frac{1}{A{{M}^{2}}}+frac{1}{A{{B}^{2}}}+frac{1}{A{{{{A}’}}^{2}}}$
$Rightarrow A{A}’=aRightarrow V=A{A}’.{{S}_{ABCD}}=12{{a}^{3}}$. Chọn B.