Cách Viết phương trình đường thẳng vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau
Phương pháp giải
Giả sử lập phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng d1; d2. Ta thực hiện như sau:
+ Chuyển đường d1 và d2 về dạng tham số t và u
+ Tham số hóa 2 điểm $Ain {{d}_{1}}$và $Bin {{d}_{2}}$theo 2 ẩn t và u.
+ Do d là đường vuông góc chung của d1; d2 nên $left{ begin{array} {} dbot {{d}_{1}} \ {} dbot {{d}_{2}} \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} overrightarrow{{{u}_{d}}}bot overrightarrow{{{u}_{{{d}_{1}}}}} \ {} overrightarrow{{{u}_{d}}}bot overrightarrow{{{u}_{{{d}_{2}}}}} \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} overrightarrow{AB}.overrightarrow{{{u}_{{{d}_{1}}}}} \ {} overrightarrow{AB}.overrightarrow{{{u}_{{{d}_{2}}}}} \ end{array} right.to left{ begin{array} {} t \ {} u \ end{array} right.$
Phương trình đường thẳng cần tìm là AB.
Bài tập viết phương trình đường thẳng vuông góc chung trong không gian có đáp án chi tiết
| Bài tập 1 : Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2 biết
${{d}_{1}}:left{ begin{array} {} x=1+t \ {} y=0 \ {} z=-5+t \ end{array} right.$và ${{d}_{2}}:left{ begin{array} {} x=0 \ {} y=4-2u \ {} z=5+3u \ end{array} right.$. |
Lời giải chi tiết
Vectơ chỉ phương của đường thẳng d1 và d2 lần lượt là ${{overrightarrow{u}}_{{{d}_{1}}}}=(1;0;1)$và ${{overrightarrow{u}}_{{{d}_{2}}}}=(0;-2;3)$
Gọi $A(1+t;0;-5+t)in {{d}_{1}}$và $B(0;4-2u;5+3u)in {{d}_{2}}$suy ra $overrightarrow{AB}(-1-t;4-2u;10+3u-t)$
Do d là đường vuông góc chung của d1; d2 nên $left{ begin{array} {} dbot {{d}_{1}} \ {} dbot {{d}_{2}} \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} overrightarrow{{{u}_{d}}}bot overrightarrow{{{u}_{{{d}_{1}}}}} \ {} overrightarrow{{{u}_{d}}}bot overrightarrow{{{u}_{{{d}_{2}}}}} \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} overrightarrow{AB}.overrightarrow{{{u}_{{{d}_{1}}}}} \ {} overrightarrow{AB}.overrightarrow{{{u}_{{{d}_{2}}}}} \ end{array} right.$
$Leftrightarrow left{ begin{array} {} -1-t+10+3u-t=0 \ {} -8+4u+30+9u-3t=0 \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} -2t+3u=-9 \ {} -3t+13t=-22 \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} t=3 \ {} u=-1 \ end{array} right.Rightarrow left{ begin{array} {} A(4;0;-2) \ {} B(0;6;2) \ end{array} right.Rightarrow overrightarrow{AB}=(4;-6;-4)$
Phương trình đường thẳng AB là: $d:frac{x-4}{2}=frac{y}{-3}=frac{z+2}{-2}$.
| Bài tập 2 : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxỵz cho hai đường thẳng ${{d}_{1}}:frac{x-2}{2}=frac{y-1}{-1}=frac{z-2}{1}$và ${{d}_{2}}:frac{x}{1}=frac{y-4}{-1}=frac{z-1}{1}$. Phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2 là:
A. $left{ begin{array} {} x=2 \ {} y=1-t \ {} z=2+t \ end{array} right.$ B. $d:left{ begin{array} {} x=2+2t \ {} y=1+t \ {} z=2-t \ end{array} right.$ C. $d:left{ begin{array} {} x=2 \ {} y=1+t \ {} z=2+t \ end{array} right.$ D. $d:left{ begin{array} {} x=2-t \ {} y=1+t \ {} z=2+t \ end{array} right.$ |
Lời giải chi tiết
Vectơ chỉ phương của đường thẳng d1 và d2 lần lượt là ${{overrightarrow{u}}_{{{d}_{1}}}}=(2;-1;1)$và ${{overrightarrow{u}}_{{{d}_{2}}}}=(1;-1;1)$
Gọi $M(2+2t;1-t;2+t)in {{d}_{1}};N(u;4-u;1+u)in {{d}_{2}}Rightarrow overrightarrow{MN}=(u-2t-2;3-u-t;-1+u-t)$
Khi đó $left{ begin{array} {} overrightarrow{MN}.overrightarrow{{{u}_{{{d}_{1}}}}}=0 \ {} overrightarrow{MN}.overrightarrow{{{u}_{{{d}_{2}}}}}=0 \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} 2(u-2t-2)+u+t-3+u-t-1=0 \ {} u-2t-2+u+t-3+u-t-1=0 \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} u=2 \ {} t=0 \ end{array} right.Leftrightarrow M(2;1;2);N(2;2;3)$
Suy ra $overrightarrow{MN}(0;1;1)Rightarrow MN:left{ begin{array} {} x=2 \ {} y=1+t \ {} z=2+t \ end{array} right.$. Chọn C.
| Bài tập 3 : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxỵz cho hai đường thẳng ${{d}_{1}}:frac{x+1}{2}=frac{y+2}{1}=frac{z-1}{1}$và ${{d}_{2}}:frac{x+2}{-4}=frac{y-1}{1}=frac{z+2}{-1}$. Phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2 đi qua điểm nào trong các điểm sau
A. $A(3;1;-4)$ B. $B(1;-1;-4)$ C. $C(2;0;1)$ D. $D(0;-2;-5)$ |
Lời giải chi tiết
Vectơ chỉ phương của đường thẳng d1 và d2 lần lượt là ${{overrightarrow{u}}_{{{d}_{1}}}}=(2;1;1)$và ${{overrightarrow{u}}_{{{d}_{2}}}}=(-4;1;-1)$
Gọi $M(-1+2t;-2+t;1+t)in {{d}_{1}};N(-2-4u;1+u;-2-u)in {{d}_{2}}$
$Rightarrow overrightarrow{MN}=(-4u-2t-1;u-t+3;-u-t-3)$
Khi đó $left{ begin{array} {} overrightarrow{MN}.overrightarrow{{{u}_{{{d}_{1}}}}}=0 \ {} overrightarrow{MN}.overrightarrow{{{u}_{{{d}_{2}}}}}=0 \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} -8u-4t-2+u-t+3-u-t-3=0 \ {} 16u+8t+4+u-t+3+u+t+3=0 \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} u=-1 \ {} t=1 \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} M(1;-1;2) \ {} N(2;0;-1) \ end{array} right.$
Suy ra $overrightarrow{MN}(1;1;-3)Rightarrow MN:left{ begin{array} {} x=1+t \ {} y=-1+t \ {} z=2-3t \ end{array} right.Rightarrow A(3;1;-4)in MN$. Chọn A.
@ Dạng 8: Viết phương trình đường thẳng ∆ là hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng (P) Phương pháp giải
Cách 1:
– Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng $(alpha )$chứa d và vuông góc với (P)
Khi đó $overrightarrow{{{n}_{(alpha )}}}=left[ overrightarrow{{{u}_{d}}};overrightarrow{{{n}_{(P)}}} right]$
– Bước 2: Viết phương trình đường thẳng $Delta =(alpha )cap (P)$
Cách 2: Lấy điểm $Ain d$, tìm tọa độ hình chiếu H của A trên d, khi đó ∆ qua H
Do $Delta bot (alpha )$và $Delta subset (P)Rightarrow overrightarrow{{{u}_{Delta }}}=left[ overrightarrow{{{n}_{(P)}}};overrightarrow{{{n}_{alpha }}} right]=left[ overrightarrow{{{n}_{(P)}}};left[ overrightarrow{{{u}_{d}}};overrightarrow{{{n}_{(P)}}} right] right]$
Chú ý: Trong trường hợp d cắt (P) ta lấy điểm $A=dcap (P)$
| Bài tập 1 : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxỵz, viết phương trình hình chiếu của đường $d:frac{x-1}{-1}=frac{y-2}{2}=frac{z+1}{-1}$trên mặt phẳng $(P):x-y+z-1=0$ |
Lời giải chi tiết
Gọi $A(1-t;2+2t;-1-t)=dcap (P)Rightarrow Ain (P)Rightarrow 1-t-2-2t-1-t-1=0Rightarrow t=-frac{3}{4}$
Suy ra $Aleft( frac{7}{4};frac{1}{2};-frac{1}{4} right)$và $overrightarrow{{{u}_{Delta }}}=left[ overrightarrow{{{n}_{(P)}}};left[ overrightarrow{{{u}_{d}}};overrightarrow{{{n}_{(P)}}} right] right]=left[ (1;-1;1);(1;0;-1) right]=(1;2;1)$
Vậy $Delta :frac{x-frac{7}{4}}{1}=frac{y-frac{1}{2}}{2}=frac{z+frac{1}{4}}{1}$
| Bài tập 2 : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxỵz, viết phương trình hình chiếu của đường $d:frac{x-2}{1}=frac{y+1}{3}=frac{z-3}{2}$trên mặt phẳng $(P):2x+y-3z+5=0$ |
Lời giải chi tiết
Gọi $A(2+t;-1+3t;3+2t)=dcap (P)Rightarrow Ain (P)Rightarrow 4+2t-1+3t-9-6t+5=0Rightarrow t=-1$
Suy ra $Aleft( 1;-4;1 right)$và $overrightarrow{{{u}_{Delta }}}=left[ overrightarrow{{{n}_{(P)}}};left[ overrightarrow{{{u}_{d}}};overrightarrow{{{n}_{(P)}}} right] right]=left[ (2;1;-3);(-11;7;-5) right]=(16;43;25)$
Vậy $Delta :frac{x-1}{16}=frac{y+4}{43}=frac{z-1}{25}$
| Bài tập 3 : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxỵz, phương trình nào dưới đây là phương trình hình chiếu của đường thẳng$d:frac{x+3}{2}=frac{y+1}{1}=frac{z}{-1}$trên mặt phẳng $(P):x-3y+2z+6=0$
A. $left{ begin{array} {} x=1+31t \ {} y=1+5t \ {} z=-2-8t \ end{array} right.$ B. $left{ begin{array} {} x=1-31t \ {} y=1+5t \ {} z=-2-8t \ end{array} right.$ C. $left{ begin{array} {} x=1+31t \ {} y=3+5t \ {} z=-2-8t \ end{array} right.$ D. $left{ begin{array} {} x=1+31t \ {} y=1+5t \ {} z=2-8t \ end{array} right.$ |
Lời giải chi tiết
Gọi $A(-3+2t;-1+t;-t)in d$, cho $Acap (P)Rightarrow -3+2t+3-3t-2t+6=0Leftrightarrow t=2Rightarrow A(1;1;-2)in Delta $
Lại có $overrightarrow{{{u}_{Delta }}}=left[ overrightarrow{{{n}_{(P)}}};left[ overrightarrow{{{u}_{d}}};overrightarrow{{{n}_{(P)}}} right] right]=left[ (1;-3;2);(-1;-5;-7) right]=(31;5;-8)$
Vậy $Delta :left{ begin{array} {} x=1+31t \ {} y=1+5t \ {} z=2-8t \ end{array} right.$. Chọn D.
| Bài tập 4 : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxỵz, phương trình nào dưới đây là phương trình hình chiếu của đường $frac{x-1}{2}=frac{y+2}{3}=frac{z-3}{1}$trên mặt phẳng (Oxy)?
A. $left{ begin{array} {} x=1+t \ {} y=2-3t \ {} z=0 \ end{array} right.$ B. $left{ begin{array} {} x=1+t \ {} y=-2+3t \ {} z=0 \ end{array} right.$ C. $left{ begin{array} {} x=1+2t \ {} y=-2+3t \ {} z=0 \ end{array} right.$ D. $left{ begin{array} {} x=1+t \ {} y=-2-3t \ {} z=0 \ end{array} right.$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: (Oxy): z = 0, các điểm $A(1;-2;3),B(3;1;4)in d$. Gọi A’ là hình chiếu của A lên (Oxy)
$Rightarrow A'(1;-2;0)$. Gọi B’ là hình chiếu của B lên (Oxy) $Rightarrow B'(3;1;0)$
$Rightarrow overrightarrow{AB}(2;3;0)$. Phương trình đường thẳng hình chiếu là: $left{ begin{array} {} x=1+2t \ {} y=-2+3t \ {} z=0 \ end{array} right.$. Chọn C.
.