Giải phương trình mũ bằng cách đặt ẩn phụ – bài tập có đáp án
Phương pháp đặt ẩn phụ giải phương trình mũ
Loại 1: Phương trình dạng: $m.{{a}^{2fleft( x right)}}+n.{{a}^{fleft( x right)}}+p=0$
| Ta đặt $t={{a}^{fleft( x right)}},left( t>0 right)$ đưa về dạng phương trình ẩn t ta được: $PTto m.{{t}^{2}}+n.t+p=0$
Với phương trình: $m.{{a}^{3fleft( x right)}}+n.{{a}^{2fleft( x right)}}+p.{{a}^{fleft( x right)}}+q=0$ ta cũng đặt $t={{a}^{fleft( x right)}},left( t>0 right)$ đưa về phương trình bậc 3 đối với ẩn t. |
Loại 2: Phương trình dạng: $m.{{A}^{2fleft( x right)}}+n.{{left( AB right)}^{fleft( x right)}}+p.{{left( B right)}^{2fleft( x right)}}=0$
| Chia 2 vế của phương trình (2) cho ${{left( B right)}^{2fleft( x right)}}$ ta được
$PTLeftrightarrow m.{{A}^{2fleft( x right)}}+n.{{left( AB right)}^{fleft( x right)}}+p.{{left( B right)}^{2fleft( x right)}}=0Leftrightarrow m.{{left( frac{A}{B} right)}^{2fleft( x right)}}+n.{{left( frac{A}{B} right)}^{fleft( x right)}}+p=0$ Đặt $t={{left( frac{A}{B} right)}^{fleft( x right)}},,left( t>0 right)$ suy ra $m.{{t}^{2}}+n.t+p=0$ Với phương trình: $m.{{A}^{3fleft( x right)}}+n.{{left( {{A}^{2}}B right)}^{fleft( x right)}}+p.{{left( A{{B}^{2}} right)}^{fleft( x right)}}+q.{{left( B right)}^{3fleft( x right)}}=0$ ta chia cả 2 vế của phương trình cho ${{B}^{3fleft( x right)}}$ và đặt $t={{left( frac{A}{B} right)}^{3}}$ (với $t>0$) |
Loại 3: Phương trình dạng: $m.{{A}^{2fleft( x right)}}+n.{{A}^{fleft( x right)+gleft( x right)}}+p.{{A}^{2gleft( x right)}}=0$
| $PTLeftrightarrow m.{{A}^{2fleft( x right)}}+n.{{A}^{fleft( x right)+gleft( x right)}}+p.{{A}^{2gleft( x right)}}=0Leftrightarrow m.{{A}^{2left[ fleft( x right)-gleft( x right) right]}}+n.{{A}^{fleft( x right)-gleft( x right)}}+p=0$
Đặt $t={{A}^{fleft( x right)-gleft( x right)}},,left( t>0 right)Rightarrow m{{t}^{2}}+nt+p=0$. |
Một số bài tập trắc nghiệm phương trình mũ đặt ẩn phụ có Lời giải chi tiết
| Bài tập 1: Giải các phương trình sau:
a) ${{left( 2+sqrt{3} right)}^{x}}+{{left( 2-sqrt{3} right)}^{x}}=4$ b) ${{2}^{3x+1}}-{{7.2}^{2x}}+{{7.2}^{x}}=2$ |
Lời giải chi tiết
a) Do ${{left( 2+sqrt{3} right)}^{x}}.{{left( 2-sqrt{3} right)}^{x}}=1Rightarrow {{left( 2-sqrt{3} right)}^{x}}=frac{1}{{{left( 2+sqrt{3} right)}^{x}}}$
Đặt $t={{left( 2+sqrt{3} right)}^{x}}Rightarrow {{left( 2-sqrt{3} right)}^{x}}=frac{1}{t}Rightarrow PTto t+frac{1}{t}=4Leftrightarrow left[ begin{array} {} t=2+sqrt{3} \ {} t=2-sqrt{3} \ end{array} right.$
Với $t=2+sqrt{3}Rightarrow {{left( 2+sqrt{3} right)}^{x}}=left( 2+sqrt{3} right)Leftrightarrow x=1$
Với $t=2-sqrt{3}Rightarrow {{left( 2+sqrt{3} right)}^{x}}=left( 2-sqrt{3} right)={{left( 2+sqrt{3} right)}^{-1}}Leftrightarrow x=-1$
b) Đặt $t={{2}^{x}}>0$ khi đó $PTRightarrow 2{{t}^{3}}-7{{t}^{2}}+7t-2=0Leftrightarrow left[ begin{array} {} t=2 \ {} t=1 \ {} t=frac{1}{2} \ end{array} right.Rightarrow left[ begin{array} {} x=1 \ {} x=0 \ {} x=-1 \ end{array} right.$.
| Bài tập 2: Giải các phương trình sau:
a) ${{3.9}^{x}}+{{7.6}^{x}}-{{6.4}^{x}}=0$ b) ${{2.3}^{2{{x}^{2}}}}-{{17.3}^{{{x}^{2}}+x}}-{{9}^{x+1}}=0$ |
Lời giải chi tiết
a) Ta có: $PTLeftrightarrow 3.{{left( frac{9}{4} right)}^{x}}+7.{{left( frac{6}{4} right)}^{x}}-6=0Leftrightarrow 3{{left( frac{3}{2} right)}^{2x}}+7{{left( frac{3}{2} right)}^{x}}-6=0$
Đặt $t={{left( frac{3}{2} right)}^{x}},,left( t>0 right)$ ta có: $3{{t}^{2}}+7t-6=0Leftrightarrow left[ begin{array} {} t=frac{2}{3} \ {} t=-3left( loai right) \ end{array} right.Leftrightarrow {{left( frac{3}{2} right)}^{x}}=frac{2}{3}Leftrightarrow x=-1$
b) $PTLeftrightarrow {{2.3}^{2{{x}^{2}}}}-{{17.3}^{{{x}^{2}}+x}}-{{9.3}^{2x}}=0Leftrightarrow {{2.3}^{2{{x}^{2}}-2x}}-{{17.3}^{{{x}^{2}}-x}}-9=0$
Đặt $t={{3}^{{{x}^{2}}-x}}>0$ ta có: $2{{t}^{2}}-17t-9=0Leftrightarrow left[ begin{array} {} t=-frac{1}{2}left( loai right) \ {} t=9={{3}^{{{x}^{2}}-x}}Rightarrow {{x}^{2}}-x=2 \ end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array} {} x=2 \ {} x=-1 \ end{array} right.$
Vậy nghiệm của phương trình là $x=2;x=-1$.
A. Chọn B.
| Bài tập 3: Tập nghiệm của phương trình ${{9}^{x}}-{{5.3}^{x}}+6=0$ là:
A. $S=left{ {{log }_{3}}2;1 right}$. B. $S=left{ {{log }_{3}}2;2 right}$. C. $S=left{ {{log }_{2}}3;1 right}$. D. $S=left{ {{log }_{2}}3;2 right}$. |
Lời giải chi tiết
Đặt $t={{3}^{x}},,left( t>0 right)Rightarrow {{9}^{x}}={{t}^{2}}Rightarrow {{t}^{2}}-5t+6=0Leftrightarrow left[ begin{array} {} t=2 \ {} t=3 \ end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array} {} {{3}^{x}},=2 \ {} {{3}^{x}},=3 \ end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array} {} x={{log }_{3}}2 \ {} x=1 \ end{array} right.$ . Chọn A.
| Bài tập 4: Tính tích các nghiệm của phương trình ${{2}^{x}}+{{3.2}^{4-x}}=16$ là:
A. $P={{log }_{2}}24$. B. $P={{log }_{2}}48$. C. $P={{log }_{2}}144$. D. $P={{log }_{2}}6$. |
Lời giải chi tiết
Ta có: $PTLeftrightarrow {{2}^{x}}+3.frac{16}{{{2}^{x}}}=16Leftrightarrow {{left( {{2}^{x}} right)}^{2}}-{{16.2}^{x}}+48=0Leftrightarrow left[ begin{array} {} {{2}^{x}}=4 \ {} {{2}^{x}}=12 \ end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array} {} x=2 \ {} x={{log }_{2}}12 \ end{array} right.$
Do đó $P=2{{log }_{2}}12={{log }_{2}}144$. Chọn C.
| Bài tập 5: Tính tổng các nghiệm của phương trình ${{25}^{x}}-{{7.5}^{x}}+10=0$
A. ${{log }_{5}}2$. B. ${{log }_{5}}10$. C. ${{log }_{5}}20$. D. 7. |
Lời giải chi tiết
Đặt $t={{5}^{x}}>0$ ta có: ${{t}^{2}}-7t+10=0Leftrightarrow left[ begin{array} {} t=2 \ {} t=5 \ end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array} {} {{5}^{x}}=2 \ {} {{5}^{x}}=5 \ end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array} {} x={{log }_{5}}2 \ {} x=1 \ end{array} right.$
Do đó $P=1+{{log }_{5}}2={{log }_{5}}10$. Chọn B.
| Bài tập 6: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình ${{9}^{{{x}^{2}}+x-1}}-{{10.3}^{{{x}^{2}}+x-2}}+1=2$
A. $T=-1$. B. $T=-2$. C. $T=0$. D. $T=2$. |
Lời giải chi tiết
$PTLeftrightarrow {{9}^{{{x}^{2}}+x-1}}-frac{10}{3}{{.3}^{{{x}^{2}}+x-1}}+1=0$. Đặt $t={{3}^{{{x}^{2}}+x-1}}$ (với $t>0$)
Khi đó $PTto {{t}^{2}}-frac{10}{3}t+1=0Leftrightarrow left[ begin{array} {} t=3 \ {} t=frac{1}{3} \ end{array} right.Rightarrow left[ begin{array} {} {{x}^{2}}+x-1=1 \ {} {{x}^{2}}+x-1=-1 \ end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array} {} x=1;x=-2 \ {} x=-1;x=0 \ end{array} right.$
Do đó $T=-2$. Chọn B.
| Bài tập 7: Gọi a là nghiệm của phương trình ${{3}^{2-2x}}-{{2.3}^{2-x}}-27=0$. Giá trị của $A={{a}^{2}}+{{2}^{a}}$ là:
A. $A=frac{3}{2}$ hoặc $A=frac{9}{4}$. B. $A=frac{3}{2}$. C. $A=frac{-1}{2}$. D. $A=frac{1}{2}$. |
Lời giải chi tiết
Ta có: $PTLeftrightarrow {{3}^{2left( 1-x right)}}-{{6.3}^{1-x}}-27=0$
Đặt $t={{3}^{1-x}}>0$ khi đó ${{t}^{2}}-6t-27=0Leftrightarrow left[ begin{array} {} t=9Rightarrow {{3}^{1-x}}=9Leftrightarrow 1-x=2Leftrightarrow x=-1 \ {} t=-3left( loai right) \ end{array} right.$
Do đó ${{a}^{2}}+{{2}^{a}}=1+frac{1}{2}=frac{3}{2}$. Chọn B.
| Bài tập 8: Số nghiệm của phương trình ${{2}^{{{x}^{2}}-x}}-{{2}^{2+x-{{x}^{2}}}}=3$ là:
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. |
Lời giải chi tiết
$PTLeftrightarrow {{2}^{{{x}^{2}}-x}}-{{4.2}^{x-{{x}^{2}}}}=3$. Đặt $t={{2}^{{{x}^{2}}-x}}>0$ khi đó $t-frac{4}{t}=3Leftrightarrow {{t}^{2}}-3t-4=0Leftrightarrow left[ begin{array} {} t=-1left( loai right) \ {} t=4 \ end{array} right.$
Khi đó ${{x}^{2}}-x=2Leftrightarrow left[ begin{array} {} x=-1 \ {} x=2 \ end{array} right.$. Chọn B.
| Bài tập 9: Số nghiệm của phương trình ${{27}^{x}}-{{3}^{2x+1}}-16=0$ là:
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. |
Lời giải chi tiết
Ta có: $PTLeftrightarrow {{3}^{3x}}-{{3.3}^{2x}}-16=0$. Đặt $t={{3}^{x}}>0$ ta có: ${{t}^{3}}-3{{t}^{2}}-16=0Leftrightarrow t=4Rightarrow x={{log }_{3}}4$. Chọn A.
| Bài tập 10: Số nghiệm của phương trình ${{left( 3-2sqrt{2} right)}^{x}}+2{{left( sqrt{2}-1 right)}^{x}}-1=0$ là:
A. 1. B. 2. C. 3. D. 0. |
Lời giải chi tiết
Ta có: $3-2sqrt{2}={{left( sqrt{2}-1 right)}^{2}}$. Đặt $t={{left( sqrt{2}-1 right)}^{x}}>0$
Khi đó $PTRightarrow {{t}^{2}}+2t-1=0Leftrightarrow left[ begin{array} {} t=sqrt{2}-1={{left( sqrt{2}-1 right)}^{x}} \ {} t=-sqrt{2}-1<0left( loai right) \ end{array} right.Leftrightarrow x=1$. Chọn A.
| Bài tập 11: Tích tất cả các nghiệm của phương trình ${{left( sqrt{2}-1 right)}^{x}}+{{left( sqrt{2}+1 right)}^{x}}=2sqrt{2}$
A. $P=0$. B. $P=1$. C. $P=-1$. D. $P=2$. |
Lời giải chi tiết
Ta có: $left( sqrt{2}-1 right)left( sqrt{2}+1 right)=1$. Do đó PT $Leftrightarrow {{left( sqrt{2}+1 right)}^{-x}}+{{left( sqrt{2}+1 right)}^{x}}=2sqrt{2}$
Đặt $t={{left( sqrt{2}+1 right)}^{x}}>0$ khi đó $PTRightarrow frac{1}{t}+t=2sqrt{2}Leftrightarrow {{t}^{2}}-2tsqrt{2}+1=0Leftrightarrow left[ begin{array} {} t=1+sqrt{2} \ {} t=-1+sqrt{2} \ end{array} right.$
Với $t=1+sqrt{2}Rightarrow x=1$
Với $t=-1+sqrt{2}Rightarrow x=-1$. Do đó tích các nghiệm của phương trình là $P=-1$. Chọn C.
| Bài tập 12: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình ${{left( sqrt{5}+1 right)}^{x}}+{{left( sqrt{5}-1 right)}^{x}}={{2}^{x+1}}$ là
A. 0. B. 1. C. $sqrt{5}$. D. $2sqrt{5}$. |
Lời giải chi tiết
Ta có: $PTLeftrightarrow {{left( frac{sqrt{5}+1}{2} right)}^{x}}+{{left( frac{sqrt{5}-1}{2} right)}^{x}}=2$
Do ${{left( frac{sqrt{5}+1}{2} right)}^{x}}.{{left( frac{sqrt{5}-1}{2} right)}^{x}}=1Rightarrow {{left( frac{sqrt{5}-1}{2} right)}^{x}}={{left( frac{sqrt{5}+1}{2} right)}^{-x}}$
Đặt $t={{left( frac{sqrt{5}+1}{2} right)}^{x}},,left( t>0 right)$ ta có: $t+frac{1}{t}=2Leftrightarrow {{t}^{2}}-2t+1=0Leftrightarrow {{left( t-1 right)}^{2}}=0Leftrightarrow t=1$
Suy ra ${{left( frac{sqrt{5}+1}{2} right)}^{x}}=1Leftrightarrow x=0$. Chọn A.
| Bài tập 13: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình ${{2}^{2{{x}^{2}}+1}}-{{9.2}^{{{x}^{2}}+x}}+{{2}^{2x+2}}=0$ là
A. $frac{3}{2}$. B. $-1$. C. 2. D. 1. |
Lời giải chi tiết
Ta có: ${{2}^{2{{x}^{2}}+1}}-{{9.2}^{{{x}^{2}}+x}}+{{2}^{2x+2}}=0Leftrightarrow {{2.2}^{2{{x}^{2}}}}-{{9.2}^{{{x}^{2}}+x}}+{{4.2}^{2x}}=0$là
Chia cả 2 vế cho ${{2}^{2x}}$ ta được: ${{2.2}^{2left( {{x}^{2}}-x right)}}-{{9.2}^{{{x}^{2}}-x}}+4=0$
Đặt $t={{2}^{{{x}^{2}}-x}}$ $left( t>0 right)$ ta có: $2{{t}^{2}}-9t+4=0Leftrightarrow left[ begin{array} {} t=4 \ {} t=frac{1}{2} \ end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array} {} {{2}^{{{x}^{2}}-x}}=4 \ {} {{2}^{{{x}^{2}}-x}}=frac{1}{2} \ end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array} {} {{x}^{2}}-x=2 \ {} {{x}^{2}}-x=1left( vn right) \ end{array} right.$
$Leftrightarrow {{x}^{2}}-x-2=0Leftrightarrow left[ begin{array} {} x=-1 \ {} x=2 \ end{array} right.Rightarrow $ Tổng tất cả các nghiệm của phương trình bằng 1. Chọn D.
| Bài tập 14: Số nghiệm của phương trình ${{3}^{4x}}+{{3}^{2sqrt{x+1}+1}}={{4.3}^{2x+sqrt{x+1}}}$ là:
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. |
Lời giải chi tiết
ĐK: $xge -1$. Khi đó $PTLeftrightarrow 1+{{3}^{2sqrt{x+1}-4x}}={{4.3}^{sqrt{x+1}-2x}}$
Đặt $t={{3}^{sqrt{x+1}-2x}}$ $left( t>0 right)$ ta có: $3{{t}^{2}}-4t+1=0Leftrightarrow left[ begin{array} {} t=1 \ {} t=frac{1}{3} \ end{array} right.$
Với $t=1Rightarrow {{3}^{sqrt{x+1}-2x}}=1Leftrightarrow sqrt{x+1}-2x=0Leftrightarrow left{ begin{array} {} xge 0 \ {} x+1=4{{x}^{2}} \ end{array} right.Leftrightarrow x=frac{1+sqrt{17}}{8}$
Với $t=frac{1}{3}Rightarrow {{3}^{sqrt{x+1}-2x}}=frac{1}{3}Leftrightarrow sqrt{x+1}-2x=-1Leftrightarrow left{ begin{array} {} 2x-1ge 0 \ {} x+1={{left( 2x-1 right)}^{2}} \ end{array} right.Leftrightarrow x=frac{5}{4}$
Vậy phương trình có 2 nghiệm là $x=frac{1+sqrt{17}}{8}$; $x=frac{5}{4}$. Chọn C.
| Bài tập 15: Giải phương trình: $frac{8}{{{2}^{x-1}}+1}+frac{{{2}^{x}}}{{{2}^{x}}+2}=frac{18}{{{2}^{x-1}}+{{2}^{1-x}}+2}$ |
Lời giải chi tiết
Viết lại phương trình dưới dạng: $frac{8}{{{2}^{x-1}}+1}+frac{1}{{{2}^{1-x}}+1}=frac{18}{{{2}^{x-1}}+{{2}^{1-x}}+2}$
Đặt $left{ begin{array} {} u={{2}^{x-1}}+1 \ {} v={{2}^{1-x}}+1 \ end{array} right.,,,left( u,v>1 right)$
Ta có $u.v=left( {{2}^{x-1}}+1 right).left( {{2}^{1-x}}+1 right)={{2}^{x-1}}+{{2}^{1-x}}+2=u+v$
Phương trình tương đương với hệ $left{ begin{array} {} frac{8}{u}+frac{1}{v}=frac{18}{u+v} \ {} u+v=uv \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} u+8v=18 \ {} u+v=uv \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} u=v=2 \ {} u=9;v=frac{9}{8} \ end{array} right.$
Với $u=v=2$, ta được: $left{ begin{array} {} {{2}^{x-1}}+1=2 \ {} {{2}^{1-x}}+1=2 \ end{array} right.Leftrightarrow x=1$
Với $u=9;v=frac{9}{8}$$u=v=2$, ta được: $left{ begin{array} {} {{2}^{x-1}}+1=9 \ {} {{2}^{1-x}}+1=frac{9}{8} \ end{array} right.Leftrightarrow x=4$
Vậy phương trình đã cho có các nghiệm $x=1$ và $x=4$.
| Bài tập 16: Giải phương trình ${{2}^{2x}}-sqrt{{{2}^{x}}+6}=6$ |
Lời giải chi tiết
Đặt $u={{2}^{x}};u>0$
Khi đó phương trình trở thành ${{u}^{2}}-sqrt{u+6}=6$
Đặt $v=sqrt{u+6}$, điều kiện $vge sqrt{6}Rightarrow {{v}^{2}}=u+6$
Khi đó phương trình được chuyển thành hệ
$left{ begin{array} {} {{u}^{2}}=v+6 \ {} {{v}^{2}}=u+6 \ end{array} right.Leftrightarrow {{u}^{2}}-{{v}^{2}}=-left( u-v right)Leftrightarrow left( u-v right)left( u+v right)=0Leftrightarrow left[ begin{array} {} u-v=0 \ {} u+v+1=0 \ end{array} right.$
Với $u=v$ ta được: ${{u}^{2}}-u-6=0Leftrightarrow left[ begin{array} {} u=3 \ {} u=-2left( l right) \ end{array} right.Leftrightarrow {{2}^{x}}=3Leftrightarrow x=8$
Với $u+v+1=0$ ta được: ${{u}^{2}}+-5=0Leftrightarrow left[ begin{array} {} u=frac{-1+sqrt{21}}{2} \ {} u=frac{-1-sqrt{21}}{2}left( l right) \ end{array} right.Leftrightarrow {{2}^{x}}=frac{sqrt{21}-1}{2}Leftrightarrow x={{log }_{2}}frac{sqrt{21}-1}{2}$
Vậy phương trình có 2 nghiệm là $x=8$ và $x={{log }_{2}}frac{sqrt{21}-1}{2}$.