Hai mặt phẳng song song khi nào? Bài tập và cách chứng minh
Phương pháp chứng minh hai mặt phẳng song song với nhau
■ Định nghĩa: Hai mặt phẳng được gọi là song song nếu chúng không có điểm chung.
■ Định lý: Nếu mặt phẳng $left( alpha right)$ chứa hai đường thẳng a và b cắt nhau và cùng song song với $left( beta right)$ thì $left( alpha right)$song song với $left( beta right)$.
■ Tính chất 1: Qua một điểm A nằm ngoài mặt phẳng $left( beta right)$ cho trước, có duy nhất một mặt phẳng $left( alpha right)$ song song với $left( beta right)$.
$Rightarrow $ Hệ quả: Cho điểm A không nằm trên mặt phẳng $left( alpha right)$. Khi đó các đường thẳng đi qua A và song song với $left( alpha right)$ cùng nằm trên mặt phẳng $left( beta right)$ đi qua A và song song với $left( alpha right)$.
■ Tính chất 2: Cho hai mặt phắng $left( alpha right)$ và $left( beta right)$ song song với nhau. Khi đó một mặt phẳng nếu cắt $left( alpha right)$ và $left( beta right)$ lần lượt theo các giao tuyến a, b thì a song song với b.
Phương pháp giải toán:
Để chứng minh hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau ta chứng minh hai đường thẳng a và b cắt nhau nằm trong mặt phẳng (P) song song với lần lượt hai đường thẳng ${a}’$ và ${b}’$ cắt nhau nằm trong mặt phẳng (Q).
Bài tập chứng minh hai mặt phẳng song song có đáp án chi tiết
| Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SD.
a) Chứng minh $left( OMN right)//left( SBC right).$ b) Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AB, ON. Chứng minh $PQ//left( SBC right).$ |
Lời giải chi tiết
a) Ta có MO là đường trung bình trong tam giác $SACRightarrow MO//AC.$
Mặt khác N và O lần lượt là trung điểm của SD và BD nên NO là đường trung bình trong $Delta SBDRightarrow NO//SB.$
Ta có: $left{ begin{array} {} MO//SC \ {} NO//SB \ {} MOcap NO=O \ {} SCcap SB=Stext{ } \ end{array} right.Rightarrow left( OMN right)//left( SBC right).$
b) Do P và O lần lượt là trung điểm của AB và AC nên $OP//AD//BCRightarrow OP//left( SBC right).$
Lại có $ON//SBRightarrow OQ//left( SBC right).$
Do vậy $left( OPQ right)//left( SBC right)Rightarrow PQ//left( SBC right).$
| Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và CD.
a) Chứng minh rằng $left( OMN right)//left( SBC right).$ b) Gọi I là trung điểm của SD, J là một điểm trên (ABCD) và cách đều AB, CD. Chứng minh rằng $IJ//left( SAB right).$ |
Lời giải chi tiết
a) Ta có N và O lần lượt là trung điểm của CD và AC nên NO là đường trung bình trong $Delta BCDRightarrow NO//BC$.
Tương tự MO là đường trung bình trong tam giác SAC nên $MO//SC$.
Lại có: $left{ begin{array} {} NO//BC \ {} MO//SC \ {} OMcap ON=O \ {} BCcap SC=Stext{ } \ end{array} right.Rightarrow left( OMN right)//left( SBC right)$
b) Ta có P và Q lần lượt là trung điểm của BC và AD thì PQ là đường thẳng cách đều AB và CD do vậy điểm $Jin PQ$. Do IQ là đường trung bình của $Delta SAD$ nên $IQ//SA$.
Ta có: $PQ//left( SAB right);IQ//left( SAB right)Rightarrow left( IPQ right)//left( SAB right)$
Mặt khác $IJsubset left( IPQ right)Rightarrow IJ//left( SAB right).$
| Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N, P, Q là trung điểm của BC, AB, SB và AD.
a) Chứng minh rằng: $left( MNP right)//left( SAC right).$ b) Chứng mình rằng: $PQ//left( SCD right).$ c) Gọi I là giao điểm của AM và BD; J là điểm thuộc SA sao cho $AJ=2JS.$ Chứng minh $IJ//left( SBC right).$ |
Lời giải chi tiết
a) Ta có PN là đường trung bình trong $Delta SAB$
Suy ra $PN//SA.$
Tương tự ta có: $MP//SCRightarrow left( MNP right)//left( SAC right).$
(hai mặt phẳng có cặp cạnh song song cắt nhau).
b) Ta có: $left{ begin{array} {} MQ//CD \ {} MP//SC \ end{array} right.Rightarrow left( MPQ right)//left( SCD right)$
Lại có $PQsubset left( MNQ right)Rightarrow PQ//left( SCD right).$
c) Do $left{ begin{array} {} I=AMcap BD \ {} BM//AD \ end{array} right.$
Theo định lý Talet ta có: $frac{MI}{IA}=frac{BM}{AD}=frac{1}{2}$
Mặt khác: $frac{SJ}{JA}=frac{1}{2}Rightarrow frac{MI}{IA}=frac{SJ}{JA}Rightarrow text{IJ}//SM.$
Do $SMsubset left( SBC right)$ suy ra $text{IJ}//left( SBC right).$
| Bài tập 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N là trung điểm của SA, CD.
a) Chứng minh rằng $left( OMN right)//left( SBC right).$ b) Tìm giao điểm I của ON và (SAB). c) Gọi $G=SIcap BM$, H là trọng tâm của $Delta SCD$. Chứng minh rằng $GH//left( SAD right).$ d) Gọi J là trung điểm AD, $Ein MJ$. Chứng minh rằng $OE//left( SCD right)$. |
Lời giải chi tiết
a) Ta có: OM là đường trung bình trong tam giác SAC suy ra $OM//SC.$
Lại có: ON là đường trung bình trong tam giác BCD nên $ON//BC.$
Do vậy $left( OMN right)//left( SBC right).$
b) Trong mặt phẳng (ABCD), gọi $I=ONcap AB$ khi đó I chính là giao điểm của ON và (SAB).
c) Dễ thấy G, H lần lượt là trọng tâm tam giác SAB và SCD do đó $frac{SG}{SI}=frac{SH}{SN}=frac{2}{3}$
$Rightarrow GH//IN//ADRightarrow GH//left( SAD right).$
d) Do O và J lần lượt là trung điểm của AC và AD nên $OJ//CD$ (tính chất đường trung bình).
Mặt khác O và M lần lượt là trung điểm của AC và SA nên $OM//SC.$
Do vậy $left( OMJ right)//left( SCD right)Rightarrow OE//left( SCD right).$
| Bài tập 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB, SC; lấy điểm $Pin SA.$
a) Tìm giao tuyến (SAB) và (SCD). b) Tìm giao điểm SD và (MNP). c) Tìm thiết diện hình chóp và mặt phẳng (MNP). Thiết diện là hình gì? d) Gọi $Jin MN$. Chứng minh rằng $OJ//left( SAD right).$ |
Lời giải chi tiết
a) Do AB song song với CD nên giao tuyến của (SAB) và (SCD) là đường thẳng d đi qua S và song song với AB và CD.
b) Trong mặt phẳng (SAB), kéo dài PM cắt AB tại Q, trong mặt phẳng (PMQR), kéo dài QN cắt SD tại R, giao điểm của SD và (MNP) là R.
c) Thiết diện hình chóp và mặt phẳng (MNP) là tứ giác MPRN.
Do 3 mặt phẳng (MNP); (ABC); (SAD) cắt nhau theo 3 giao tuyến là PR; MN;AD nên chúng song song hoặc đồng quy.
Mặt khác $MN//ADRightarrow MN//AD//PRRightarrow $ MPRN là hình thang.
d) Ta có: OM là đường trung bình trong tam giác $SBDRightarrow OM//SD.$
Tương tự ta có: $ON//SARightarrow left( OMN right)//left( SAD right).$
Mặt khác $OJsubset left( OMN right)Rightarrow OJ//left( SAD right)$ (điều phải chứng minh).
| Bài tập 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi I, J, G, P, Q là trung điểm của DC, AB, SB, BG, BI.
a) Chứng minh rằng $left( IJG right)//left( SAD right).$ b) Chứng minh rằng $PQ//left( SAD right).$ c) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (IJG). d) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (ACG) và (SAD). |
Lời giải chi tiết
a) Ta có IJ là đường trung bình của hình bình hành ABCD nên $IJ//ADleft( l right).$
Lại có JG là đường trung bình tam giác $SABRightarrow JG//SAleft( 2 right).$
Từ (l) và (2) suy ra $left( IJG right)//left( SAD right).$
b) Gọi E là trung điểm của JB thì $frac{BE}{BA}=frac{BP}{BS}=frac{1}{4}Rightarrow text{EP}//AS.$
Mặt khác EQ là đường trung bình cùa tam giác BIJ nên $EQ//IJRightarrow EQ//AD.$
Ta có: $left{ begin{array} {} EP//SA \ {} EQ//AD \ end{array} right.Rightarrow left( EPQ right)//left( SAD right).$
c) Trong mặt phẳng (ABC) gọi $O=IJcap AC.$
Ta có: $SA//JG$ nên giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (IJG) song song với SA
Khi đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (IJG) là đường thẳng đi qua O và song song với SA.
d) Gọi K là trung điểm của SA thì $GK//AB$ (tính chất đường trung bình)
Suy ra $GK//CDRightarrow G,K,C,D$ đồng phẳng.
Trong mặt phẳng (GKCD) gọi $M=DKcap CGRightarrow left{ begin{array} {} Min left( ACG right) \ {} Min left( SAD right) \ end{array} right..$
Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng (ACG) và (SAD) là AM.
| Bài tập 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CD, SC.
a) Chứng minh rằng $left( MNP right)//left( SBD right).$ b) Tìm giao tuyến (SAB) và (SCD). c) Tìm giao tuyến của (MNP) và (SAD). Suy ra giao điểm của SA và (MNP). d) Gọi $I=APcap SO,text{ }J=AMcap BD$ Chứng minh rằng $IJ//left( MNP right).$ |
Lời giải chi tiết
a) Ta có MN là đường trung bình trong tam giác BCD nên $MN//BD.$
Tương tự NP là đường trung bình trong tam giác SCD nên $NP//SD.$
Do vậy $left( MNP right)//left( SBD right).$
b) Do $AB//CD$ nên giao tuyến của (SAB) và (SCD) đi qua S và song song với AB và CD.
c) Gọi $E=MNcap AD.$
Do $NP//SD$ nên giao tuyến $Delta $ của (MNP) và (SAD) đi qua E và song song với SD.
Trong mặt phẳng (SAD) gọi $F=Delta cap SARightarrow F=SAcap left( MNP right).$
d) Ta có: $J=AMcap BO;J=SOcap AP$ do đó I, J lần lượt là trọng tâm tam giác SAC và ABC
Khi đó $frac{AI}{AP}=frac{text{AJ}}{AM}=frac{2}{3}Rightarrow text{IJ}//MPRightarrow IJ//left( MNP right).$