LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Phương pháp giải:
Chọn hệ quy chiếu:
– Trục Ox ………… – Gốc tọa độ tại VTCB
– Chiều dương …………….. – Gốc thời gian …………..
Phương trình chuẩn: $left{ begin{array}{} x=Actext{os}left( omega t+varphi right) \ {} v=-omega Asin left( omega t+varphi right) \ {} a=-{{omega }^{2}}x \ {} F=ma=-m.{{omega }^{2}}x \end{array} right.$
Bước 1: Tìm tần số góc $omega $
$omega =2pi f=frac{2pi }{T}=2pi frac{N}{Delta t}=frac{v}{sqrt{{{A}^{2}}-{{x}^{2}}}}=sqrt{frac{a}{x}}=sqrt{frac{left| {{a}_{mtext{ax}}} right|}{A}}=frac{left| {{v}_{max }} right|}{A}=sqrt{frac{v_{1}^{2}-v_{2}^{2}}{x_{2}^{2}-x_{1}^{2}}}=sqrt{frac{a_{1}^{2}-a_{2}^{2}}{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}}$
Bước 2: Tìm biên độ.
Ta có: $A=sqrt{{{x}^{2}}+frac{{{v}^{2}}}{{{omega }^{1}}}}=sqrt{{{left( frac{v}{omega } right)}^{2}}+{{left( frac{a}{{{omega }^{2}}} right)}^{2}}}=sqrt{frac{v_{1}^{2}x_{2}^{2}-v_{2}^{2}x_{1}^{2}}{v_{1}^{2}-v_{2}^{2}}}$
Bước 3: Tìm pha ban đầu ${{varphi }_{0}}$ (thường ta lấy $-pi <{{varphi }_{0}}<pi $). Dựa vào điều kiện ban đầu.
Tại thời điểm $t=0$ta có: $left{ begin{array}{} cos varphi =frac{{{x}_{0}}}{A} \ {} sin varphi =frac{{{v}_{0}}}{-omega A} \ end{array} right.Rightarrow varphi .$
Tại thời điểm $t=0$ta có: $left{ begin{array}{} {{v}_{0}}=-omega Asin varphi \ {} {{a}_{0}}=-{{omega }^{2}}Acos varphi \ end{array} right.Rightarrow varphi .$
Tại thời điểm $t={{t}_{1}}$ ta có: $left{ begin{array}{} {{x}_{1}}=Acos left( omega {{t}_{1}}+varphi right) \ {} {{v}_{1}}=-omega Asin left( omega {{t}_{1}}+varphi right) \ end{array} right.Rightarrow varphi .$
Tại thời điểm $t={{t}_{1}}$ ta có: $left{ begin{array}{} {{v}_{1}}=-omega Asin left( omega {{t}_{1}}+varphi right) \ {} {{a}_{1}}=-{{omega }^{2}}Acos left( omega {{t}_{1}}+varphi right) \ end{array} right.Rightarrow varphi .$
BÀI TẬP VIẾT PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT
|
Ví dụ 1: Một vật dao động điều hòa với biên độ A = 2 cm, tần số góc $5text{ }rad/s$, pha ban đầu $frac{pi }{2}rad$. Phương trình dao động của vật là: A. $x=2cos left( 5pi t+frac{pi }{2} right)(cm).$ B. $x=2cos left( 5t+frac{pi }{2} right)(cm).$ C. $x=2cos left( 5pi t-frac{pi }{2} right)(cm).$ D. $x=2cos left( 10pi t+frac{pi }{2} right)(cm).$ |
Lời giải
Phương trình dao động của vật là $x=2cos left( 5t+frac{pi }{2} right)$. Chọn B.
|
Ví dụ 2: Một vật nhỏ dao động điều hòa dọc theo trục Ox với biên độ 5 cm, chu kỳ 2s. Tại thời điểm t = 0, vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương. Phương trình dao động của vật là A. $x=5cos left( 2pi t-frac{pi }{2} right)cm.$ B. $x=5cos left( 2pi t+frac{pi }{2} right)cm.$ C. $x=5cos left( pi t-frac{pi }{2} right)cm.$ D. $x=5cos left( pi t+frac{pi }{2} right)cm.$ |
Lời giải
Ta có: $omega =frac{2pi }{T}=pi (rad/s)$
Phương trình dao động của vật có dạng: $x=5cos left( pi t+varphi right)$cm
Tại $t=0$ta có: $left{ begin{array}{} x=5cos varphi =0 \ {} v=-5pi sin varphi >0 \ end{array} right.Leftrightarrow varphi =-frac{pi }{2}.$ Chọn C.
|
Ví dụ 3: [Trích đề thi đại học năm 2013] Một vật nhỏ dao động điều hòa dọc theo trục Ox với biên độ 5 cm, chu kỳ 2s. Tại thời điểm t = 0, vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương. Phương trình dao động của vật là: A. $x=5cos left( pi t-frac{pi }{2} right)(cm).$ B. $x=5cos left( 2pi t-frac{pi }{2} right)(cm).$ C. $x=5cos left( 2pi t+frac{pi }{2} right)(cm).$ D. $x=5cos left( pi t+frac{pi }{2} right)(cm).$ |
Lời giải
Ta có: $omega =frac{2pi }{T}=pi text{ }rad/s.$
Phương trình dao động của vật có dạng $x=5cos left( 2pi t+varphi right)$.
Tại thời điểm $t=0$ ta có: $left{ begin{array}{} ctext{os}varphi =0 \ {} -sin varphi >0 \ end{array} right.Rightarrow varphi =-frac{pi }{2}.$ Chọn A.
|
Ví dụ 4: [Trích đề thi đại học năm 2011] Một vật nhỏ dao động điều hòa dọc theo trục Ox. Trong thời gian 31,4s chất điểm thực hiện được 100 dao động toàn phần. Gốc thời gian là lúc chất điểm đi qua vị trí có li độ 2 cm theo chiều âm với tốc độ $40sqrt{3}text{ }cm/s$. Lấy $pi =3,14$, phương trình dao động của chất điểm là: A. $x=4cos left( 20t-frac{pi }{3} right)(cm).$ B. $x=6cos left( 20t+frac{pi }{6} right)(cm).$ C. $x=6cos left( 20t-frac{pi }{6} right)(cm).$ D. $x=4cos left( 20t+frac{pi }{3} right)(cm).$ |
Lời giải
Chu kì dao động là $T=frac{31,4}{100}=frac{pi }{10}(s)Rightarrow omega =frac{2pi }{T}=20text{ }(rad/s).$
Ta có: $A=sqrt{{{x}^{2}}+frac{{{v}^{2}}}{{{omega }^{2}}}}=sqrt{4+{{left( frac{40sqrt{3}}{20} right)}^{2}}}=4text{ }(cm).$
Phương trình dao động của vật có dạng: $x=4cos left( 20t+varphi right)(cm).$
Tại thời điểm $t=0$ ta có: $left{ begin{array}{} ctext{os}varphi =frac{1}{2} \ {} -sin varphi =-frac{sqrt{3}}{2} \ end{array} right.Rightarrow varphi =frac{pi }{3}.$ Chọn D.
|
Ví dụ 5: Một vật nhỏ dao động điều hòa với chu kì T = 2s. Khi vật cách vị trí cân bằng một khoảng 5 cm thì vật có vận tốc là $12pi text{ }cm/s$. Chọn mốc thời gian khi vật qua vị trí cân bằng theo chiều âm. Phương trình dao động của vật là. A. $x=13cos left( 2pi t+frac{pi }{2} right)(cm).$ B. $x=13cos left( 2pi t-frac{pi }{2} right)(cm).$ C. $x=12cos left( pi t+frac{pi }{2} right)(cm).$ D. $x=13cos left( pi t+frac{pi }{2} right)(cm).$ |
Lời giải
Ta có: $omega =frac{2pi }{T}=pi text{ }(rad/s).$ Lại có hệ thức độc lập với thời gian ${{x}^{2}}+frac{{{v}^{2}}}{{{omega }^{2}}}={{A}^{2}}$
Suy ra $A=sqrt{{{5}^{2}}+{{12}^{2}}}=13text{ }(cm)$. PT của vật $x=13cos left( pi t+varphi right)$.
Tại $t=0$ ta có: $left{ begin{array}{} x=13cos varphi =0 \ {} v=-13pi sin varphi <0 \ end{array} right.Rightarrow varphi =frac{pi }{2}Rightarrow $PTDĐ $x=13cos left( pi t+frac{pi }{2} right)(cm).$ Chọn D.
|
Ví dụ 6: Một vật nhỏ dao động điều hòa có phương trình dạng $x=Actext{os}left( omega t+varphi right)text{ }(cm)$. Tại thời điểm ban đầu vật cách vị trí cân bằng một khoảng 4 cm, vận tốc và gia tốc của vật lúc đó lần lượt là $-20pi sqrt{3}text{ }cm/s$ và $-100{{pi }^{2}}text{ }cm/{{s}^{2}}$. Phương trình dao động của vật là A. $x=8cos left( 5pi t+frac{pi }{3} right)(cm).$ B. $x=8cos left( 5pi t+frac{pi }{6} right)(cm).$ C. $x=8cos left( 5pi t-frac{pi }{3} right)(cm).$ D. $x=16cos left( 5pi t-frac{pi }{6} right)(cm).$ |
Lời giải
Ta có: $left{ begin{array}{} left| x right|=4 \ {} v=-20pi sqrt{3} \ {} a=-100{{pi }^{2}}=-{{omega }^{2}}x \ end{array} right.Rightarrow left{ begin{array}{} x=4text{ cm} \ {} omega =5pi \ {} v=-20pi sqrt{3} \ end{array} right.Rightarrow A=sqrt{{{x}^{2}}+frac{{{v}^{2}}}{{{omega }^{2}}}}=8left( cm right).$
Giả sử phương trình dao động của vật là $x=8cos left( 5pi t+varphi right).$
Tại $t=0$ ta có: $left{ begin{array}{} x=8cos varphi =4 \ {} v=-40pi sin varphi =-20pi sqrt{3} \ end{array} right.Rightarrow varphi =frac{pi }{3}Rightarrow $ PTDĐ: $x=8cos left( 5pi t+frac{pi }{3} right)(cm).$
Chọn A.
|
Ví dụ 7: Một vật nhỏ dao động điều hòa theo trục Ox, chọn gốc tọa độ trùng với vị trí cân bằng của vật. Biết khoảng thời gian giữa hai lần liên tiếp vật đi qua vị trí cân bằng là 1s. Lấy ${{pi }^{2}}=10$. Tại thời điểm ban đầu vật có gia tốc $a=-0,1text{ }m/{{s}^{2}}$ và vận tốc ${{v}_{0}}=-pi sqrt{3}text{ }cm/s$. Phương trình dao động của vật là A. $x=2cos left( pi t-frac{5pi }{6} right)left( cm right).$ B. $x=2cos left( pi t+frac{pi }{6} right)left( cm right).$ C. $x=2cos left( pi t+frac{pi }{3} right)left( cm right).$ D. $x=4cos left( pi t-frac{2pi }{3} right)left( cm right).$ |
Lời giải
Khoảng thời gian 2 làn liên tiếp vật đi qua VTCB là: $Delta t=frac{T}{2}=1sRightarrow T=2sRightarrow omega =pi text{ }left( rad/s right).$
Ta có: $left{ begin{array}{} {{v}_{0}}=-pi sqrt{3} \ {} a=-10=-{{omega }^{2}}x \ end{array} right.Rightarrow left{ begin{array}{} {{x}_{0}}=1text{ }cm \ {} A=sqrt{x_{0}^{2}+{{left( frac{{{v}_{0}}}{omega } right)}^{2}}}=2text{ cm} \ end{array} right.$
Giả sử phương trình dao động của vật là $x=2cos left( pi t+varphi right).$
Tại $t=0$ ta có: $left{ begin{array}{} x=2cos varphi =1 \ {} v=-2pi sin varphi =-pi sqrt{3} \ end{array} right.Rightarrow varphi =frac{pi }{3}Rightarrow $PTDĐ: $x=2cos left( pi t+frac{pi }{3} right)left( cm right).$ Chọn C.
|
Ví dụ 8: Một vật nhỏ dao động điều hòa trên quỹ đạo dài 8 cm. Khi đi qua vị trí cân bằng vận tốc có độ lớn $40pi text{ }cm/s$. Gọi mốc thời gian là lúc vật đi qua vị trí $2sqrt{3}$theo chiều dương. Phương trình dao động của vật là A. $x=4cos left( 10pi t-frac{pi }{6} right)cm.$ B. $x=4cos left( 20pi t+frac{pi }{6} right)cm.$ C. $x=2cos left( 20pi t-frac{pi }{6} right)cm.$ D. $x=2cos left( 0pi t+frac{pi }{6} right)cm.$ |
Lời giải
Biên độ dao động là $A=frac{ell }{2}=4text{ cm}text{.}$
Lại có: $omega A=40pi Rightarrow omega =10pi left( rad/s right).$
Giả sử phương trình dao động của vật là $x=4cos left( 10pi t+varphi right).$
Tại $t=0$ ta có: $left{ begin{array}{} x=4cos varphi =2sqrt{3} \ {} v=-40pi sin varphi >0 \ end{array} right.Rightarrow varphi =frac{-pi }{6}Rightarrow $PTDĐ: $x=4cos left( 10pi t-frac{pi }{6} right)cm.$ Chọn A.
|
Ví dụ 9: Một vật nhỏ dao động có gia tốc biến đổi theo thời gian $a=8cos left( 20t-frac{pi }{2} right)m/{{s}^{2}}.$ Phương trình dao động của vật là A. $x=0,02cos left( 20t+frac{pi }{2} right)cm.$ B. $x=2cos left( 20t-frac{pi }{2} right)cm.$ C. $x=4cos left( 20t+frac{pi }{2} right)cm.$ D. $x=2cos left( 20t+frac{pi }{2} right)cm.$ |
Lời giải
Ta có: $a=-{{omega }^{2}}xRightarrow x=frac{a}{-{{omega }^{2}}}=-0,02cos left( 20t-frac{pi }{2} right)m.$
Do đó $a=2cos left( 20t+frac{pi }{2} right)cm.$ Chọn D.
|
Ví dụ 10: Một vật nhỏ dao động điều hòa với vận tốc ban đầu là $4text{ }m/s$và gia tốc là $40sqrt{3}text{ }m/{{s}^{2}}$. Khi vật đi qua vị trí cân bằng thì vật có vận tốc là $text{8 }m/s$. Phương trình dao động của vật là: A. $x=0,8cos left( 10t-frac{pi }{6} right)m.$ B. $x=0,8cos left( 10t-frac{5pi }{6} right)m.$ C. $x=0,4cos left( 10t+frac{pi }{6} right)m.$ D. $x=0,4cos left( 10t-frac{pi }{6} right)m.$ |
Lời giải
Khi vật đi qua vị trí cân bằng thì $v={{v}_{max }}=8text{ }m/s.$
Ta có: ${{left( frac{{{v}_{0}}}{{{v}_{max }}} right)}^{2}}+{{left( frac{{{a}_{0}}}{{{a}_{max }}} right)}^{2}}=1Rightarrow {{a}_{0}}=frac{{{a}_{max }}sqrt{3}}{2}Rightarrow {{a}_{max }}=80text{ }m/{{s}^{2}}.$
Do đó $omega =frac{{{a}_{max }}}{{{v}_{max }}}=10left( rad/s right),text{ }A=frac{{{v}_{max }}}{omega }=0,8text{ }m.$
Tại thời điểm ban đầu $left{ begin{array}{} Acos varphi =-0,4sqrt{3} \ {} sin varphi <0 \ end{array} right.Rightarrow varphi =frac{-5pi }{6}.$ Chọn B.
|
Ví dụ 11: [Trích đề thi Chuyên Hạ Long-Quảng Ninh 2017] Một vật nhỏ dao động điều hòa dọc theo trục Ox với biên độ 5 cm, chu kỳ 2s. Tại thời điểm $t=0$, vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương. Phương trình dao động của vật là A. $x=5cos left( 2pi t-pi /2 right)left( cm right).$ B. $x=5cos left( 2pi t+pi /2 right)left( cm right).$ C. $x=5cos left( pi t-pi /2 right)left( cm right).$ D. $x=5cos left( 2pi t+pi /2 right)left( cm right).$ |
Lời giải
Ta có: $A=5text{ }cm,text{ }omega =frac{2pi }{T}=pi left( rad/s right).$
Phương trình dao động của vật có dạng: $x=5cos left( pi t+varphi right).$
Tại $t=0$ ta có: $left{ begin{array}{} x=5cos varphi \ {} v=-5pi sin varphi >0 \ end{array} right.Rightarrow varphi =-frac{pi }{2}.$ Chọn C.
|
Ví dụ 12: Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox với tần số 3Hz, quanh vị trí cân bằng là gốc tọa độ O. Độ dài quỹ đạo bằng 20 cm. Tại thời điểm $t=frac{1}{18}left( s right)$ vật có vận tốc $v=-30pi sqrt{3}left( cm/s right)$ và di chuyển chậm dần. Phương trình dao động của vật là? A. $x=10cos left( 6pi t+frac{pi }{3} right)cm.$ B. $x=10cos left( 6pi t-frac{pi }{3} right)cm.$ C. $x=10cos left( 6pi t-frac{pi }{6} right)cm.$ D. $x=10cos left( 6pi t+frac{pi }{6} right)cm.$ |
Lời giải
Tần số góc của vật là $omega =2pi f=6pi left( rad/s right).$
Độ dài quỹ đạo bằng 20 cm $Rightarrow $Biên độ dao động của chất điểm là $A=10cm$
Khi $v=-30pi sqrt{3}$, áp dụng hệ thức độc lập ta có $x=sqrt{{{A}^{2}}-frac{{{v}^{2}}}{{{omega }^{2}}}}=5cm$
Vật đang chuyển động chậm dần $Rightarrow x=-5cm$ và lúc này có $v<0$
$Rightarrow $Pha dao động tại thời điểm $t=frac{1}{18}left( s right)$là $varphi =frac{2pi }{3}left( rad right)$
Pha dao động của một thời điểm được xác định bởi: $omega t+{{varphi }_{0}}=varphi $
$Rightarrow 6pi .frac{1}{18}+{{varphi }_{0}}=frac{2pi }{3}Rightarrow {{varphi }_{0}}=frac{pi }{3}left( rad right)Rightarrow x=10cos left( 6pi t+frac{pi }{3} right)cm.$Chọn A.
|
Ví dụ 13: Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox. Tại mọi thời điểm t li độ và vận tốc của vật luôn thỏa mãn hệ thức $frac{{{x}^{2}}}{25}+frac{{{v}^{2}}}{250}=1$. Tại thời điểm $t=frac{2}{3}left( s right)$ vật đang ở li độ $x=2,5cm$và di chuyển nhanh dần. Lấy ${{pi }^{2}}=10$. Phương trình dao động của vật là? A. $x=5cos left( pi t+frac{pi }{3} right)cm.$ B. $x=5cos left( pi t-frac{pi }{3} right)cm.$ C. $x=5cos left( pi t+frac{pi }{6} right)cm.$ D. $x=5cos left( pi t-frac{pi }{6} right)cm.$ |
Lời giải
Hệ thức độc lập thời gian giữa li độ và vận tốc: ${{left( frac{x}{A} right)}^{2}}+{{left( frac{v}{{{v}_{mtext{ax}}}} right)}^{2}}=1$
Tại mọi thời điểm t li độ và vận tốc của vật thỏa mãn $frac{{{x}^{2}}}{25}+frac{{{v}^{2}}}{250}=1Rightarrow left{ begin{array}{} A=5text{ }cm \ {} {{v}_{mtext{ax}}}=5pi \ end{array} right.$
Tần số góc của vật là $omega =frac{{{v}_{max }}}{A}=pi left( rad/s right)$
Tại thời điểm $t=frac{2}{3}left( s right)$ vật đang ở li độ $x=2,5cm$ và chuyển động nhanh dần
$Rightarrow $Pha dao động lúc này là $varphi =frac{pi }{3}left( rad right)Rightarrow omega t+{{varphi }_{0}}=frac{pi }{3}Leftrightarrow frac{2pi }{3}+{{varphi }_{0}}=frac{pi }{3}Leftrightarrow {{varphi }_{0}}=-frac{pi }{3}left( rad right)$
Phương trình dao động là Chọn B.
|
Ví dụ 14: Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox với phương trình vận tốc là $v=12pi ctext{os}left( 4pi t+pi text{/6} right)cm/s$. Biết rằng tại thời điểm ban đầu, $t=0$, chất điểm có mặt tại tọa độ 5,5 cm. Phương trình tọa độ của chất điểm là A. $x=3cos left( 4pi t-pi text{/3} right)cm.$ B. $x=3cos left( 4pi t-pi text{/3} right)+4text{ }cm.$ C. $x=3cos left( 4pi t+2pi text{/3} right)+4text{ }cm.$ D. $x=4cos left( pi t+2pi text{/3} right)+3text{ }cm.$ |
Lời giải
Giả sử phương trình tọa độ của chất điểm dao động: $x=Actext{os}left( omega t+varphi right)$
$Rightarrow v={x}’=Aomega cosleft( omega t+varphi +pi text{/2} right)$. Đồng nhất: $v=12pi ctext{os}left( 4pi t+pi text{/6} right)left( cm/s right).$
$Rightarrow left{ begin{array}{} A=frac{12pi }{4pi }=3cm \ {} varphi +frac{pi }{2}=frac{pi }{6}Rightarrow varphi =-frac{pi }{3} \ end{array} right.Rightarrow $ Phương trình: $x=3cos left( 4pi t-pi text{/3} right)cm.$
Ta có $xleft( t=0 right)=3cos left( -pi text{/3} right)=1,5cmne 5,5cm$(vị trí đề cho lúc $t=0$)
Lệch phần này là do X = 5,5 cm là tọa độ, còn x = 1,5 cm là ly độ. Ở đây ly độ không trùng tọa độ
$Rightarrow $dao động có vị trí cân bằng không nằm ở gốc tọa độ mà nằm ở vị trí ${{x}_{0}}$.
Ta có $Xleft( t=0 right)=xleft( t=0 right)+{{x}_{0}}Leftrightarrow 1,5+{{x}_{0}}=5,5Rightarrow {{x}_{0}}=4cm.$
$Rightarrow $Phương trình: $x=3cos left( 4pi t-pi text{/3} right)+4text{ }cm.$ Chọn B.