Vecto trong không gian là gì? Vecto chỉ phương, tích vô hướng, quy tắc – lý thuyết Vecto
Định nghĩa: Veto trong không gian là gì?
Vectơ trong không gian là một đoạn thằng có hướng. Kí hiệu $overrightarrow{AB}$ chỉ vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B. Vectơ còn được kí hiệu là $overrightarrow{a}$, $overrightarrow{b}$, $overrightarrow{c}$,…
Các quy tắc về vectơ:
Quy tắc 3 điểm: $overrightarrow{AC}=overrightarrow{AB}+overrightarrow{BC}$ hoặc $overrightarrow{AC}=overrightarrow{BC}-overrightarrow{BA}$
Quy tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ACBD ta có: $overrightarrow{AC}=overrightarrow{AB}+overrightarrow{AD}$
Quy tắc trung điểm: Nếu M là trung điểm của AB thì $overrightarrow{MA}+overrightarrow{MB}=overrightarrow{0}$
Quy tắc trung tuyến: Nếu AP là trung tuyến của tam giác ABC thì $overrightarrow{AP}=frac{1}{2}left( overrightarrow{AB}+overrightarrow{AC} right)$
Tương tự hình bên ta có: $left{ begin{array} {} overrightarrow{BA}+overrightarrow{BC}=2overrightarrow{BN} \ {} overrightarrow{CB}+overrightarrow{CA}=2overrightarrow{CM} \ end{array} right.$
Quy tắc trọng tâm: Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì $overrightarrow{GA}+overrightarrow{GB}+overrightarrow{GC}=overrightarrow{0}$
Khi đó với mọi điểm M ta có: $overrightarrow{MA}+overrightarrow{MB}+overrightarrow{MC}=3overrightarrow{MG}$
Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ thì $overrightarrow{AB}+overrightarrow{AD}+overrightarrow{AA’}=overrightarrow{AC’}$
Chứng minh:
Ta có: ACC’A’ là hình bình hành nên $overrightarrow{AC’}=overrightarrow{AC}+overrightarrow{AA’}$
Tương tự: $overrightarrow{AC}=overrightarrow{AB}+overrightarrow{AD}$ suy ra $overrightarrow{AC’}=overrightarrow{AB}+overrightarrow{AD}+overrightarrow{AA’}$
Chú ý: Nếu G là trong tâm tứ diện ABCD, ta có: $overrightarrow{GA}+overrightarrow{GB}+overrightarrow{GC}+overrightarrow{GD}=overrightarrow{0}$
Sự đồng phẳng của các vectơ, điều kiện để va vectơ đồng phẳng
Định nghĩa: Ba vectơ gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.
Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng:
Định lí 1: Điều kiện cần và đủ để ba vectơ $overrightarrow{a}$, $overrightarrow{b}$, $overrightarrow{c}$ đồng phẳng là $overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{b}$ cùng phương hoặc tồn tại các số m, n duy nhất sao cho $overrightarrow{c}=m.overrightarrow{a}+n.overrightarrow{b}$
Định lí 2: Nếu $overrightarrow{a}$, $overrightarrow{b}$, $overrightarrow{c}$ là ba vectơ không đồng phẳng thì với mỗi vectơ $overrightarrow{d}$ trong không gian, ta tìm được các số m, n, p duy nhất sao cho
Tích vô hướng của 2 vectơ
Góc giữa 2 vectơ $overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{b}$ khác $overrightarrow{0}$ được định nghĩa bằng góc AOB với $overrightarrow{OA}=overrightarrow{a}$; $overrightarrow{OB}=overrightarrow{b}$
Nếu $overrightarrow{a}$ hoặc $overrightarrow{b}$ bằng $overrightarrow{0}$ ta quy ước góc giữa chúng có thể nhận một giá trị tùy ý.
Tích vô hướng giữa 2 vectơ $overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{b}$ là một số, được kí hiệu $overrightarrow{a}.overrightarrow{b}$ và được xác định bởi $overrightarrow{a}.overrightarrow{b}=left| overrightarrow{a} right|.left| overrightarrow{b} right|cos left( overrightarrow{a};overrightarrow{b} right)$ từ đó suy ra cosin góc giữa 2 vectơ $overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{b}$ là $cos left( overrightarrow{a};overrightarrow{b} right)=frac{overrightarrow{a}.overrightarrow{b}}{left| overrightarrow{a} right|.left| overrightarrow{b} right|}$
Đặc biệt khi $overrightarrow{a}bot overrightarrow{b}Leftrightarrow cos left( overrightarrow{a};overrightarrow{b} right)=0Leftrightarrow overrightarrow{a}.overrightarrow{b}=0$
Tính chất: Cho 3 vectơ $overrightarrow{a}$, $overrightarrow{b}$, $overrightarrow{c}$ và số thực k. Khi đó ta có:
| i) $overrightarrow{a}.overrightarrow{b}=overrightarrow{b}.overrightarrow{a}$ | ii) $overrightarrow{a}left( overrightarrow{b}+overrightarrow{c} right)=overrightarrow{a}.overrightarrow{b}+overrightarrow{a}.overrightarrow{c}$ |
| iii) $left( koverrightarrow{a} right)overrightarrow{b}=kleft( overrightarrow{a}.overrightarrow{b} right)+overrightarrow{a}.left( koverrightarrow{b} right)$ | iv) ${{left| overrightarrow{a} right|}^{2}}={{overrightarrow{a}}^{2}}$ |
Vectơ chỉ phương của đường thằng:
Vectơ $overrightarrow{a}ne overrightarrow{0}$ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thằng d nếu giá của vectơ $overrightarrow{a}$ song song hoặc trùng với đường thẳng d
Một đường thẳng d trong không gian hoàn toàn xác định nếu biết một điểm A thuộc d và một vectơ chỉ phương $overrightarrow{a}$ của đường thẳng d.
Ứng dụng của tích vô hướng
Tính độ dài đoạn thẳng AB: $AB=left| overrightarrow{AB} right|=sqrt{{{overrightarrow{AB}}^{2}}}$
Xác định góc giữa hai vectơ: $cos left( overrightarrow{a};overrightarrow{b} right)=frac{overrightarrow{a}.overrightarrow{b}}{left| overrightarrow{a} right|.left| overrightarrow{b} right|}$