Trong không gian với hệ trục (Oxyz,)cho mặt cầu (left( S right):{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x – 4y + 6z – 13 = 0) và đường thẳng (d:frac{{x + 1}}{1} = frac{{y + 2}}{1} = frac{{z – 1}}{1}). Điểm (Mleft( {a;b;c} right),,left( {a > 0} right)) nằm trên đường thẳng (d) sao cho từ (M) kẻ được ba tiếp tuyến (MA,,,MB,,,MC)đến mặt cầu (left( S right)) ((A,,,B,,,C) là các tiếp điểm) và (widehat {AMB} = {60^0}), (widehat {BMC} = {60^0}), (widehat {CMA} = {120^0}). Tính ({a^3} + {b^3} + {c^3}).
A. ({a^3} + {b^3} + {c^3} = frac{{173}}{9}). B. ({a^3} + {b^3} + {c^3} = frac{{112}}{9}). C. ({a^3} + {b^3} + {c^3} = – 8). D. ({a^3} + {b^3} + {c^3} = frac{{23}}{9}).
Lời giải
Mặt cầu (left( S right)) có tâm (Ileft( {1;2; – 3} right)) và bán kính (R = sqrt {{1^2} + {2^2} + {{left( { – 3} right)}^2} + 13} = 3sqrt 3 )
Gọi (left( C right)) là đường tròn giao tuyến của mặt phẳng (left( {ABC} right)) và mặt cầu (left( S right)).
Đặt (MA = MB = MC = x) khi đó (AB = x;BC = xsqrt 2 ;CA = xsqrt 3 ) do đó tam giác (ABC) vuông tại (B) nên trung điểm (H)của (AC) là tâm đường tròn (left( C right)) và (H,,,I,,,M) thẳng hàng.
Vì (widehat {AMC} = {120^0}) nên tam giác (AIC) đều do đó (xsqrt 3 = R) ( Leftrightarrow x = 3) suy ra (IM = 2AM = 2x = 6).
Lại có (M in d) nên (Mleft( { – 1 + t; – 2 + t;1 + t} right),left( {t > 1} right)) mà (IM = 6) nên ({left( {t – 2} right)^2} + {left( {t – 4} right)^2} + {left( {t + 4} right)^2} = 36) ( Leftrightarrow 3{t^2} – 4t = 0)( Leftrightarrow left[ begin{array}{l}t = 0\t = frac{4}{3}end{array} right.).
Mà a > 0 nên (t = frac{4}{3}) suy ra (Hleft( {frac{1}{3}; – frac{2}{3};frac{7}{3}} right)) nên ({a^3} + {b^3} + {c^3} = frac{{112}}{9}).