Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến đi qua một điểm – Cách giải {} bài tập
Phương pháp giải bài toán viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm
Cách viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đi qua $Bleft( alpha ;beta right)$
Gọi $Aleft( {{x}_{0}};fleft( {{x}_{0}} right) right)in left( C right)$.
Khi đó phương trình tiếp tuyến tại điểm A của $left( C right)$ là $y={f}’left( {{x}_{0}} right)left( x-{{x}_{0}} right)+fleft( {{x}_{0}} right)left( d right)$.
Mặt khác d đi qua $Bleft( alpha ;beta right)$ nên $beta ={f}’left( {{x}_{0}} right)left( alpha -{{x}_{0}} right)+fleft( {{x}_{0}} right)$ từ đó giải phương trình tìm ${{x}_{0}}$.
Bài tập trắc nghiệm viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm có đáp án chi tiết
| Ví dụ 1: Cho hàm số: $y=frac{x+2}{x-1}left( C right)$. Viết phương trình tiếp tuyến của $left( C right)$ biết tiếp tuyến qua $Aleft( 1;7 right)$. |
Lời giải
Ta có: $y=frac{-3}{{{left( {{x}_{0}}-1 right)}^{2}}}left( x-{{x}_{0}} right)+frac{{{x}_{0}}+2}{{{x}_{0}}-1}$. Tiếp tuyến qua $Aleft( 1;7 right)$.
Do vậy $7=frac{-3}{{{left( {{x}_{0}}-1 right)}^{2}}}left( 1-{{x}_{0}} right)+frac{{{x}_{0}}+2}{{{x}_{0}}-1}=frac{{{x}_{0}}+5}{{{x}_{0}}-1}Leftrightarrow 7left( {{x}_{0}}-1 right)={{x}_{0}}+5Leftrightarrow {{x}_{0}}=2$.
Phương trình tiếp tuyến là: $y=-3left( x-2 right)+4$ hay $y=-3text{x}+10$.
| Ví dụ 2: Cho hàm số $y={{x}^{4}}+2{{text{x}}^{2}}+5left( C right)$. Viết phương trình tiếp tuyến của $left( C right)$ biết tiếp tuyến đi qua gốc tọa độ.
A. $y=4text{x}$ hoặc $y=-4text{x}$ B. $y=-2text{x}$ hoặc $y=2text{x}$ C. $y=8text{x}$ hoặc $y=-8text{x}$ D. $y=4text{x}-4$ hoặc $y=4text{x}+4$ |
Lời giải
Phương trình tiếp tuyến tại điểm $Mleft( {{x}_{0}};x_{0}^{4}+2text{x}_{0}^{2} right)$ là $y=left( 4text{x}_{0}^{3}+4{{text{x}}_{0}} right)left( x-{{x}_{0}} right)+x_{0}^{4}+2text{x}_{0}^{2}+5left( d right)$
Do $Oleft( 0;0 right)in d$ nên $0=-3text{x}_{0}^{4}-2text{x}_{0}^{2}+5Leftrightarrow left[ begin{array} {} {{x}_{0}}=1 \ {} {{x}_{0}}=-1 \ end{array} right.Rightarrow $ phương trình tiếp tuyến: $left[ begin{array} {} y=8text{x} \ {} y=-8text{x} \ end{array} right.$. Chọn C.
| Ví dụ 3: Cho hàm số $y=frac{2text{x}+1}{x-2}left( C right)$. Viết phương trình các tiếp tuyến kẻ từ điểm $Aleft( 2;-8 right)$ đến đồ thị $left( C right)$.
A. $y=-5text{x}+2$ B. $y=-5text{x}+8$ C. $y=-3text{x}+2$ D. $y=-3text{x}+8$ |
Lời giải
Phương trình tiếp tuyến tại điểm $Mleft( {{x}_{0}};frac{2{{text{x}}_{0}}+1}{{{x}_{0}}-2} right)$ là $y=frac{-5}{left( {{x}_{0}}-2 right)}left( x-{{x}_{0}} right)+frac{2{{x}_{0}}+1}{{{x}_{0}}-2}left( d right)$
Do $Aleft( 2;-8 right)in d$nên ta có: $-8=frac{-5left( 2-{{x}_{0}} right)}{{{left( {{x}_{0}}-2 right)}^{2}}}+frac{2{{text{x}}_{0}}+1}{{{x}_{0}}-2}=frac{2{{x}_{0}}+6}{{{x}_{0}}-2}Leftrightarrow {{x}_{0}}=1$
Do vậy phương trình tiếp tuyến là: $y=-5left( x-1 right)-3=-5text{x}+2$. Chọn A.
| Ví dụ 4: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3text{x}left( C right)$. Viết phương trình tiếp tuyến của $left( C right)$ biết tiếp tuyến đi qua điểm $Aleft( 2;2 right)$.
A. $y=9text{x}-16$ B. $y=2$ C. $y=2$ hoặc $y=9text{x}-16$ D. $y=9text{x}-18$ |
Lời giải
Gọi $Mleft( {{x}_{0}};x_{0}^{3}-3{{text{x}}_{0}} right)$ là tiếp điểm. Phương trình tiếp tuyến là $y=left( 3text{x}_{0}^{2}-3 right)left( x-{{x}_{0}} right)+x_{0}^{3}-3{{text{x}}_{0}}$
Do tiếp tuyến đi qua $Aleft( 2;2 right)$ nên $2=left( 3text{x}_{0}^{2}-3 right)left( 2-{{x}_{0}} right)+x_{0}^{3}-3{{text{x}}_{0}}Leftrightarrow left[ begin{array} {} {{x}_{0}}=-1Rightarrow {{y}_{0}}=2 \ {} {{x}_{0}}=2Rightarrow {{y}_{0}}=2 \ end{array} right.$
Do vậy phương trình tiếp tuyến là: $left[ begin{array} {} y=2 \ {} y=9left( x-2 right)+2=9text{x}-16 \ end{array} right.$. Chọn C.
| Ví dụ 5: Cho hàm số $y=4{{text{x}}^{3}}-6{{text{x}}^{2}}+1left( C right)$. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đi qua điểm $Mleft( -1;-9 right)$.
A. $y=24text{x}+15$ B. $y=frac{15}{4}x+frac{21}{4}$ C. $y=24text{x}+15$ hoặc $y=frac{15}{4}x+frac{21}{4}$ D. $y=frac{15}{4}x+frac{21}{4}$ hoặc $y=24text{x}+11$ |
Lời giải
Phương trình tiếp tuyến tại điểm $Aleft( {{x}_{0}};4text{x}_{0}^{3}-6text{x}_{0}^{2}+1 right)$ là:
$y=left( 12text{x}_{0}^{2}-12{{x}_{0}} right)left( x-{{x}_{0}} right)+4text{x}_{0}^{3}-6text{x}_{0}^{2}+1left( d right)$
Cho $Mleft( -1;-9 right)in d$ ta có: $-9=left( 12text{x}_{0}^{2}-12{{text{x}}_{0}} right)left( -1-{{x}_{0}} right)+4text{x}_{0}^{3}-6text{x}_{0}^{2}+1Leftrightarrow left[ begin{array} {} {{x}_{0}}=frac{5}{4} \ {} {{x}_{0}}=-1 \ end{array} right.$.
Với ${{x}_{0}}=-1Rightarrow $ Phương trình tiếp tuyến là: $y=24text{x}+15$
Với ${{x}_{0}}=frac{-5}{4}Rightarrow $ Phương trình tiếp tuyến là: $y=frac{15}{4}x-frac{21}{4}$. Chọn C.
| Ví dụ 6: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-4text{x}+1left( C right)$ biết tiếp tuyến đi qua điểm $Aleft( -2;1 right)$ là:
A. $y=-x-1$ hoặc $y=8text{x}-17$ B. $y=-x+1$ hoặc $y=8text{x}-17$ C. $y=-x+1$ hoặc $y=-8text{x}-17$ D. $y=-x-1$ hoặc $y=8text{x}+17$ |
Lời giải
Phương trình tiếp tuyến tại điểm $Mleft( {{x}_{0}};x_{0}^{3}-4{{text{x}}_{0}}+1 right)$ là: $y=left( 3text{x}_{0}^{2}-4 right)left( x-{{x}_{0}} right)+x_{0}^{3}-4{{text{x}}_{0}}+1$
Cho tiếp tuyến qua $Aleft( -2;1 right)$ ta có:
$1=left( 3text{x}_{0}^{2}-4 right)left( -2-{{x}_{0}} right)+x_{0}^{3}-4{{text{x}}_{0}}+1Leftrightarrow -2text{x}_{0}^{3}-6text{x}_{0}^{2}+8=0Leftrightarrow left[ begin{array} {} {{x}_{0}}=1 \ {} {{x}_{0}}=-2 \ end{array} right.$.
Do vậy có 2 phương trình tiếp tuyến là: $y=-x-1$, $y=8text{x}+17$. Chọn D.
| Ví dụ 7: Cho hàm số $y={{x}^{2}}-2text{x}+3left( C right)$. Phương trình tiếp tuyến tại điểm $x=2$ của $left( C right)$ đi qua điểm $Aleft( a;a+2 right)$. Giá trị của a là:
A. $a=1$ B. $a=-1$ C. $a=3$ D. $a=-3$ |
Lời giải
Ta có: $x=2;y=3;{f}’left( 2 right)=2$. Tiếp tuyến tại điểm $Mleft( 2;3 right)$ là: $y=2left( x-2 right)+3=2text{x}-1left( d right)$.
Do $Ain d$ nên $a+2=2text{a}-1Leftrightarrow a=3$. Chọn C.
| Ví dụ 8: Cho đồ thị $left( C right):y={{x}^{3}}-3{{text{x}}^{2}}$. Có bao nhiêu số nguyên $bin left( -10;10 right)$ để có đúng một tiếp tuyến của $left( C right)$ đi qua điểm $Bleft( 0;b right)$?
A. 15 B. 9 C. 16 D. 17 |
Lời giải
Phương trình tiếp tuyến của $left( C right)$ tại $Mleft( {{x}_{0}};x_{0}^{3}-3text{x}_{0}^{2} right)$ có dạng: $y=left( 3text{x}_{0}^{2}-6{{text{x}}_{0}} right)left( x-{{x}_{0}} right)+x_{0}^{3}-3text{x}_{0}^{2}$
Do tiếp tuyến đi qua điểm $left( 0;b right)Rightarrow b=left( 3text{x}_{0}^{2}-6{{text{x}}_{0}} right)left( -{{x}_{0}} right)+x_{0}^{3}-3text{x}_{0}^{2}=-2text{x}_{0}^{3}+3text{x}_{0}^{2}$
Để có đúng một tiếp tuyến của $left( C right)$ đi qua $Bleft( 0;b right)$ thì phương trình $b=-2text{x}_{0}^{3}+3text{x}_{0}^{2}$ có duy nhất một nghiệm. Xét hàm số $y=-2{{text{x}}^{3}}+3{{text{x}}^{2}}Rightarrow {y}’=-6{{text{x}}^{2}}+6text{x}=0Leftrightarrow left[ begin{array} {} x=0Rightarrow y=0 \ {} x=1Rightarrow y=1 \ end{array} right.$
Dựa vào đồ thị hàm số suy ra PT có 1 nghiệm khi $left[ begin{array} {} b>1 \ {} b
Vậy $bin left( -10;10 right)$ có 17 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn D.
| Ví dụ 9: Cho hàm số $y=frac{-x+2}{x-1}$ có đồ thị $left( C right)$ và điểm $Aleft( a;1 right)$. Gọi S là tập hợp các giá trị thực của a để có đúng một tiếp tuyến của $left( C right)$ kẻ qua A. Tổng giá trị các phần tử của S là:
A. 1 B. $frac{3}{2}$ C. $frac{5}{2}$ D. $frac{1}{2}$ |
Lời giải
Phương trình tiếp tuyến của $left( C right)$ tại điểm $Mleft( {{x}_{0}};frac{-{{x}_{0}}+2}{{{x}_{0}}-1} right)$ là:
$y={f}’left( {{x}_{0}} right)left( x-{{x}_{0}} right)+frac{{{x}_{0}}+2}{{{x}_{0}}-1}=frac{1}{{{left( {{x}_{0}}-1 right)}^{2}}}left( x-{{x}_{0}} right)+frac{-{{x}_{0}}+2}{{{x}_{0}}-1}$
Do tiếp tuyến đi qua điểm $Aleft( a;1 right)$ nên $1=frac{{{x}_{0}}-a+left( 2-{{x}_{0}} right)left( {{x}_{0}}-1 right)}{{{left( {{x}_{0}}-1 right)}^{2}}}$
$Leftrightarrow {{left( {{x}_{0}}-1 right)}^{2}}=-x_{0}^{2}+4{{text{x}}_{0}}-2-aLeftrightarrow 2text{x}_{0}^{2}-6{{text{x}}_{0}}+3+a=0left( * right)$
Để có đúng một tiếp tuyến đi qua A thì (*) có nghiệm kép hoặc (*) có 2 nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm ${{x}_{0}}=1Leftrightarrow left[ begin{array} {} {Delta }’=3-2text{a}=0 \ {} left{ begin{array} {} {Delta }’=3-2text{a}>0 \ {} 2.1-6+3+a=0 \ end{array} right. \ end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array} {} a=frac{3}{2} \ {} a=1 \ end{array} right.$. Chọn C.
| Ví dụ 10: Cho hàm số $y=fleft( x right)=-{{x}^{3}}+6{{text{x}}^{2}}+2$ có đồ thị $left( C right)$ và điểm $Mleft( m;2 right)$. Gọi S là tập hợp các giá trị thực của m để qua M có hai tiếp tuyến với đồ thị $left( C right)$. Tổng các phần tử của S là
A. $frac{20}{3}$ B. $frac{13}{2}$ C. $frac{12}{3}$ D. $frac{16}{3}$ |
Lời giải
Gọi $Aleft( a;-{{a}^{3}}+6{{text{a}}^{2}}+2 right)in left( C right)$
Phương trình tiếp tuyến của $left( C right)$ tại A là: $y=left( -3{{text{a}}^{2}}+12text{a} right)left( x-a right)-{{a}^{3}}+6{{text{a}}^{2}}+2$
Do tiếp tuyến đi qua $Mleft( m;2 right)$ nên $2=left( -3{{a}^{2}}+12text{a} right)left( x-a right)-{{a}^{3}}+6{{text{a}}^{2}}+2$
$Leftrightarrow left( -3{{text{a}}^{2}}+12 right)left( m-a right)={{a}^{3}}-6{{text{a}}^{2}}Leftrightarrow left[ begin{array} {} a=0 \ {} left( -3text{a}+12 right)left( m-a right)={{a}^{2}}-6text{a}left( * right) \ end{array} right.$
$left( * right)Leftrightarrow -3ma-12text{a}+12m+3{{text{a}}^{2}}={{a}^{2}}-6text{a}Leftrightarrow gleft( a right)=-2{{text{a}}^{2}}+3left( m+2 right)a-12m=0$
Để qua M có hai tiếp tuyến với đồ thị $left( C right)$ ta có 2 trường hợp.
TH1: $gleft( a right)=0$ có nghiệm kép khác 0 $Leftrightarrow left{ begin{array} {} gleft( 0 right)=-12mne 0 \ {} Delta =9{{left( m+2 right)}^{2}}-96m=0 \ end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array} {} m=frac{2}{3} \ {} m=6 \ end{array} right.$
TH2: $gleft( a right)=0$ có 2 nghiệm phân biệt trong đó 1 nghiệm bằng 0 (vô nghiệm)
Vậy $m=frac{2}{3};m=6Rightarrow sum{m}=frac{20}{3}$. Chọn A.
| Ví dụ 11: Cho hàm số $y=frac{x+1}{x-1}$ có đồ thị $left( C right)$ và điểm $Aleft( 0;m right)$. Gọi S là tập hơp tất cả các giá trị thực của m để có đúng một tiếp tuyến từ $left( C right)$ đi qua A. Tổng tất cả giá trị của phần từ S bằng
A. 1 B. $-1$ C. 0 D. $-frac{1}{2}$ |
Lời giải
Gọi $Mleft( a;frac{a+1}{a-1} right)in left( C right)$, phương trình tiếp tuyến tại M là: $y=frac{-2}{{{left( a-1 right)}^{2}}}left( x-a right)+frac{a+1}{a-1}$
Tiếp tuyến đi qua điểm $Aleft( 0;m right)Rightarrow m=frac{2text{a}}{{{left( a-1 right)}^{2}}}+frac{a+1}{a-1}$
$Leftrightarrow left{ begin{array} {} ane 1 \ {} m{{left( a-1 right)}^{2}}=2text{a}+{{a}^{2}}-1 \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} ane 1 \ {} gleft( a right)=left( m-1 right){{a}^{2}}-2left( m+1 right)a+m+1=0 \ end{array} right.left( * right)$
Để có đúng một tiếp tuyến từ 
đi qua A ta xét các trường hợp sau:
TH1: Với $m=1Rightarrow -4text{a}+2=0Leftrightarrow a=frac{1}{2}$
TH2: Do $gleft( 1 right)=-2$ nên để có đúng một tiếp tuyến từ $left( C right)$ đi qua A thì $gleft( a right)$ có nghiệm kép
$Leftrightarrow left{ begin{array} {} mne 1 \ {} {Delta }’={{left( m+1 right)}^{2}}-left( m+1 right)left( m-1 right)=0 \ end{array} right.Leftrightarrow m=-1$. Vậy $sum{m}=0$. Chọn C.
| Ví dụ 12: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-12text{x}+12$ có đồ thị $left( C right)$ và điểm $Aleft( m;-4 right)$. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của m nguyên thuộc khoảng $left( 2;5 right)$ để từ A kẻ được ba tiếp tuyến với đồ thị $left( C right)$. Tổng tất cả các phần tử nguyên của tập S bằng
A. 7 B. 9 C. 3 D. 4 |
Lời giải
Gọi $Mleft( a;{{a}^{3}}-12text{a}+12 right)in left( C right)$, phương trình tiếp tuyến tại M là:
$y=left( 3{{text{a}}^{2}}-12 right)left( x-a right)+{{a}^{3}}-12text{a}+12$
Tiếp tuyến đi qua điểm $Aleft( m;-4 right)$ khi $-4=left( 3{{text{a}}^{2}}-12 right)left( m-a right)+{{a}^{3}}-12text{a}+12$
$Leftrightarrow {{a}^{3}}-12text{a}+16+3left( a-2 right)left( a+2 right)left( m-a right)=0Leftrightarrow left( a-2 right)left[ left( a+4 right)left( a-2 right)+left( 3text{a}+6 right)left( m-a right) right]=0$
$Leftrightarrow left( a-2 right)left( -2{{text{a}}^{2}}+2text{a}+3ma-6text{a}-8+6m right)=0$
$Leftrightarrow left[ begin{array} {} a=2 \ {} gleft( a right)=-2{{text{a}}^{2}}+left( 3m-4 right)a+6m-8=0 \ end{array} right.$
Để từ A kẻ được ba tiếp tuyến với đồ thị $left( C right)$ khi $gleft( a right)=0$ có 2 nghiệm phân biệt khác 2
$Leftrightarrow left{ begin{array} {} gleft( 2 right)=-8+6m-8+6m-8ne 0 \ {} Delta ={{left( 3m-4 right)}^{2}}+8left( 6m-8 right)>0 \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} left[ begin{array} {} m>frac{4}{3} \ {} mChọn A.
| Ví dụ 13: Cho $y=frac{x+3}{x-1}$ có đồ thị $left( C right)$. Gọi A là điểm trên $d:y=2text{x}+1$ có hoành độ a mà từ A kẻ được hai tiếp tuyến tới $left( C right)$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $ain left( -1;2 right)backslash left{ 0;1 right}$ B. $ain left( -1;2 right)backslash left{ 0 right}$ C. $ain left( -2;2 right)backslash left{ 1 right}$ D. $ain left( -2;2 right)backslash left{ 0 right}$ |
Lời giải
Gọi $Aleft( a;2text{a}+1 right)$, gọi $Mleft( {{x}_{0}};frac{{{x}_{0}}+3}{{{x}_{0}}-1} right)in left( C right)$
Phương trình tiếp tuyến tại M là: $y=frac{-4}{{{left( {{x}_{0}}-1 right)}^{2}}}left( x-{{x}_{0}} right)+frac{{{x}_{0}}+3}{{{x}_{0}}-1}$
Do tiếp tuyến đi qua điểm $Aleft( a;2text{a}+1 right)$ nên $2text{a}+1=frac{-4}{{{left( {{x}_{0}}-1 right)}^{2}}}left( a-{{x}_{0}} right)+frac{{{x}_{0}}+3}{{{x}_{0}}-1}$
$Leftrightarrow left{ begin{array} {} {{x}_{0}}ne 1 \ {} left( 2text{a}+1 right){{left( {{x}_{0}}-1 right)}^{2}}=-4text{a}+4{{text{x}}_{0}}+x_{0}^{2}+2{{text{x}}_{0}}-3 \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} {{x}_{0}}ne 1 \ {} gleft( {{x}_{0}} right)=ax_{0}^{2}-2left( a+2 right){{x}_{0}}+3text{a}+2=0 \ end{array} right.$
Để từ A kẻ được hai tiếp tuyến tới $left( C right)$ thì phương trình $gleft( {{x}_{0}} right)=0$ có 2 nghiệm phân biệt khác 1.
$Leftrightarrow left{ begin{array} {} ane 0 \ {} gleft( 1 right)=-4text{a}+4ne 0 \ {} {Delta }’={{left( a+2 right)}^{2}}-3{{text{a}}^{2}}-2text{a}>0 \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} ane 0;ane 1 \ {} -2{{text{a}}^{2}}+2text{a}+4>0 \ end{array} right.Leftrightarrow ain left( -1;2 right)backslash left{ 0;1 right}$. Chọn A.