Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc – cách giải {} bài tập
Phương pháp giải bài toán viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc
Để viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=fleft( x right)left( C right)$ khi biết hệ số góc là k
Giải phương trình $k={f}’left( x right)Rightarrow left[ begin{array} {} x={{x}_{01}} \ {} x={{x}_{02}} \ {} ………. \ {} x={{x}_{i}} \ end{array} right.Rightarrow yleft( {{x}_{i}} right)Rightarrow $ Phương trình tiếp tuyến.
Chú ý: Cho 2 đường thẳng ${{d}_{1}}:y={{k}_{1}}x+{{b}_{1}}$ và ${{d}_{2}}:y={{k}_{2}}x+{{b}_{2}}$
Khi đó ${{k}_{1}},{{k}_{2}}$ lần lượt là hệ số góc của các đường thẳng ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$.
▪ Nếu ${{d}_{1}}//{{d}_{2}}Leftrightarrow left{ begin{array} {} {{k}_{1}}={{k}_{2}} \ {} {{b}_{1}}ne {{b}_{2}} \ end{array} right.$
▪ Nếu ${{d}_{1}}bot {{d}_{2}}Leftrightarrow {{k}_{1}}.{{k}_{2}}=-1$
▪ Đường thẳng $d:y=ktext{x}+b$ tạo với trục hoành một góc α thì $k=pm tan alpha $.
Bài tập trắc nghiệm viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc có đáp án
| Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=frac{x-1}{x-2}$ biết:
a) Tiếp tuyến có hệ số góc là $k=-1$. b) Tiếp tuyến song song với đường thẳng $y=-4text{x}+5$. c) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $y=9text{x}+2$. |
Lời giải
Ta có: ${y}’=frac{-1}{{{left( x-2 right)}^{2}}}$
a) Do tiếp tuyến có hệ số góc $k=-1$ nên ta có: $frac{-1}{{{left( x-2 right)}^{2}}}=-1Leftrightarrow left[ begin{array} {} x=3 \ {} x=1 \ end{array} right.$.
Với ${{x}_{0}}=3Rightarrow {{y}_{0}}=2Rightarrow $ phương trình tiếp tuyến là: $y=-1left( x-3 right)+2=-x+5$.
Với ${{x}_{0}}=1Rightarrow {{y}_{0}}=0Rightarrow $ phương trình tiếp tuyến là: $y=-left( x-1 right)=-x+1$.
b) Do tiếp tuyến song song với đường thẳng $y=-4text{x}+2Rightarrow {{k}_{u}}=-4Leftrightarrow frac{-1}{{{left( x-2 right)}^{2}}}=-4$
$Leftrightarrow {{left( x-2 right)}^{2}}=frac{1}{4}Leftrightarrow left[ begin{array} {} x=frac{5}{2} \ {} x=frac{3}{2} \ end{array} right.$
Với ${{x}_{0}}=frac{5}{2}Rightarrow {{y}_{0}}=3Rightarrow $ phương trình tiếp tuyến là: $y=-4left( x-frac{5}{2} right)+3=-4text{x}+13$
Với ${{x}_{0}}=frac{3}{2}Rightarrow {{y}_{0}}=-1Rightarrow $ phương trình tiếp tuyến là: $y=-4left( x-frac{3}{2} right)-1=-4text{x}+5$ (loại vì trùng với đường thẳng đã cho)
Vậy phương trình tiếp tuyến là $y=-4text{x}+13$.
c) Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $y=9text{x}+2$ suy ra ${{k}_{u}}.{{k}_{d}}=-1Leftrightarrow frac{-1}{{{left( x-2 right)}^{2}}}=frac{-1}{{{k}_{d}}}=frac{-1}{9}$
$Leftrightarrow {{left( x-2 right)}^{2}}=9Leftrightarrow left[ begin{array} {} x=5 \ {} x=-1 \ end{array} right.$.
Với ${{x}_{0}}=5Rightarrow {{y}_{0}}=frac{4}{3}Rightarrow $ phương trình tiếp tuyến là: $y=-frac{1}{9}left( x-5 right)+frac{4}{3}=frac{-1}{9}x+frac{17}{9}$
Với ${{x}_{0}}=-1Rightarrow {{y}_{0}}=frac{2}{3}Rightarrow $ phương trình tiếp tuyến là $y=-frac{1}{9}left( x+1 right)+frac{2}{3}=frac{-1}{9}x+frac{5}{9}$.
| Ví dụ 2: Cho hàm số: $y=frac{x-1}{x+1}left( C right)$
a) Viết phương trình tiếp tuyến của $left( C right)$ biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $d:x+2y+1=0$. b) Viết phương trình tiếp tuyến của $left( C right)$ biết tiếp tuyến song song với đường thẳng ${{d}_{1}}:x-2y-1=0$. |
Lời giải
Gọi $Mleft( {{x}_{0}};{{y}_{0}} right)in left( C right)$ là tiếp điểm.
a) Ta có: $d:y=frac{-1}{2}x-frac{1}{2}Rightarrow {{k}_{d}}=-frac{1}{2}Rightarrow {{k}_{u}}=2$. Khi đó ${y}’left( {{x}_{0}} right)=frac{2}{{{left( {{x}_{0}}+1 right)}^{2}}}=2Leftrightarrow left[ begin{array} {} {{x}_{0}}=0 \ {} {{x}_{0}}=-2 \ end{array} right.$
Với ${{x}_{0}}=0Rightarrow {{y}_{0}}=-1Rightarrow $ Phương trình tiếp tuyến là: $y=2text{x}-1$
Với ${{x}_{0}}=-2Rightarrow {{y}_{0}}=3Rightarrow $ Phương trình tiếp tuyến là: $y=2left( x+2 right)+3=2text{x}+7$
b) Ta có: ${{d}_{1}}:y=frac{1}{2}x-frac{1}{2}$
Do tiếp tuyến song song với đường thẳng $y=20text{x}+1Rightarrow {{k}_{n}}={y}’left( {{x}_{0}} right)=frac{2}{{{left( {{x}_{0}}+1 right)}^{2}}}=frac{1}{2}Leftrightarrow left[ begin{array} {} {{x}_{0}}=1 \ {} {{x}_{0}}=-3 \ end{array} right.$.
Với ${{x}_{0}}=1Rightarrow {{y}_{0}}=0Rightarrow $ Phương trình tiếp tuyến là: $y=frac{1}{2}left( x-1 right)equiv d$ (loại)
Với ${{x}_{0}}=-3Rightarrow {{y}_{0}}=2Rightarrow $ Phương trình tiếp tuyến là: $y=frac{1}{2}left( x+3 right)+2=frac{1}{2}x+frac{7}{2}$.
| Ví dụ 3: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-3{{text{x}}^{2}}+2$ có hệ số góc $k=-3$ là:
A. $y=-3text{x}+3$ B. $y=-3text{x}+2$ C. $y=-3text{x}$ D. $y=-3text{x}-3$ |
Lời giải
Ta có: ${y}’=3{{text{x}}^{2}}-6text{x}$. Giải $3{{x}^{2}}-6text{x}=-3Leftrightarrow 3{{left( x-1 right)}^{2}}=0Leftrightarrow x=1$.
Với $x=1Rightarrow y=0Rightarrow $ Phương trình tiếp tuyến: $y=-3left( x-1 right)$. Chọn A.
| Ví dụ 4: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=frac{x+1}{x-1}$ biết tiếp tuyến song song với đường thẳng $d:2text{x}+y-7=0$ là:
A. $y=-2text{x}-3$ B. $y=-2text{x}+3$ C. $y=-2text{x}+1$ D. $y=-2text{x}-1$ |
Lời giải
Ta có: $d:y=-2text{x}+7;{y}’=frac{-2}{{{left( x-1 right)}^{2}}}=-2Leftrightarrow left[ begin{array} {} x=2 \ {} x=0 \ end{array} right.$ .
Với $x=2Rightarrow y=3Rightarrow $ Phương trình tiếp tuyến: $y=-2left( x-2 right)+3=-2text{x}+7equiv d$ (loại).
Với $x=0Rightarrow y=-1Rightarrow $ Phương trình tiếp tuyến: $y=-2text{x}-1$. Chọn D.
| Ví dụ 5: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y={{x}^{4}}+{{x}^{2}}-5$mà vuông góc với đường thẳng $x+6y+1999=0$ là:
A. $y=6text{x}-9$ B. $y=6text{x}-6$ C. $y=-6text{x}+9$ D. $y=-6text{x}+6$ |
Lời giải
Ta có: $y=frac{-1}{6}x-frac{1999}{6}left( d right)$. Do tiếp tuyến vuông góc với d nên ${{k}_{d}}.{{k}_{u}}=-1Rightarrow {{k}_{u}}=frac{-1}{{{k}_{d}}}=6$.
Giải ${y}’=6Leftrightarrow 4{{text{x}}^{3}}+2text{x}=6Leftrightarrow x=1Rightarrow y=-3Rightarrow $ Phương trình tiếp tuyến là: $y=6left( x-1 right)-3=6text{x}-9$. Chọn A.
| Ví dụ 6: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=frac{2text{x}-3}{2-x}$ tại điểm có hoành độ $x=-1$ có hệ số góc là:
A. 1 B. 7 C. $frac{7}{9}$ D. $frac{1}{9}$ |
Lời giải
Ta có: ${y}’=frac{7}{{{left( 2-x right)}^{2}}}Rightarrow {y}’left( -1 right)=frac{7}{9}=k$. Chọn C.
| Ví dụ 7: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=frac{x-m}{x+1}$ tại điểm có hoành độ $x=-2$ có hệ số góc là $k=3$. Giá trị của tham số m là:
A. $m=4$ B. $m=-4$ C. $m=-2$ D. $m=2$ |
Lời giải
Ta có: ${y}’=frac{1+m}{{{left( x+1 right)}^{2}}}Rightarrow {y}’left( -2 right)=1+m=3Leftrightarrow m=2$. Chọn D.
| Ví dụ 8: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-4m{{text{x}}^{2}}+3text{x}+2$ tại điểm có hoành độ $x=1$ có hệ số góc $k=-2$. Giá trị của tham số m là:
A. $m=1$ B. $m=-1$ C. $m=-2$ D. $m=2$ |
Lời giải
Ta có: ${y}’left( 1 right)=3-8m+3=-2Leftrightarrow m=1$. Chọn A.
| Ví dụ 9: Cho hàm số $y={{x}^{4}}-2{{text{x}}^{2}}-3$. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song với đường thẳng $y=24text{x}-1$.
A. $y=24text{x}-48$ B. $y=24text{x}-21$ C. $y=24text{x}-45$ D. $y=24text{x}-43$ |
Lời giải
Do tiếp tuyến song song với đường thẳng $y=24text{x}-1$ suy ra ${{k}_{n}}=24$
Khi đó ${y}’=4{{text{x}}^{3}}-4text{x}=24Leftrightarrow x=2Rightarrow y=5$.
Phương trình tiếp tuyến là: $y=24left( x-2 right)+5=24text{x}-43$. Chọn D.
| Ví dụ 10: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}+3{{text{x}}^{2}}-3$ biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $y=frac{-x}{9}+1$.
A. $y=9text{x}-8$ B. $y=9text{x}+24$ C. $y=9text{x}+10$ D. $left[ begin{array} {} y=9text{x}-8 \ {} y=9text{x}+24 \ end{array} right.$ |
Lời giải
Do tiếp tuyến vuông góc với $y=frac{-x}{9}+1$ nên ${{k}_{u}}=frac{-1}{{{k}_{d}}}=9$
Giải ${y}’=3{{text{x}}^{2}}+6text{x}=9Leftrightarrow left[ begin{array} {} x=1 \ {} x=-3 \ end{array} right.$
Với $x=1Rightarrow y=1Rightarrow $ Phương trình tiếp tuyến là: $y=9left( x-1 right)+1=9text{x}-8$
Với $x=-3Rightarrow y=-3Rightarrow $ Phương trình tiếp tuyến là: $y=9left( x+3 right)-3=9text{x}+24$
Vậy có 2 phương trình tiếp tuyến là $y=9text{x}-8;y=9text{x}+24$. Chọn D.
| Ví dụ 11: Viết phương trình tiếp tuyến của $left( C right):y=frac{3text{x}+2}{x-1}$ biết tiếp tuyến song song với đường thẳng $5text{x}+y+2=0$.
A. $y=-5text{x}-2$ B. $y=-5text{x}+18$ C. $y=-5text{x}+10$ D. $y=-5text{x}+12$ |
Lời giải
Ta có: $d:y=-5text{x}-2Rightarrow {{k}_{u}}=-5$. Giải ${y}’=frac{-5}{{{left( x-1 right)}^{2}}}=-5Leftrightarrow left[ begin{array} {} x=0 \ {} x=2 \ end{array} right.$
Với $x=0Rightarrow y=-2Rightarrow $ Phương trình tiếp tuyến là: $y=-5text{x}-2$ (loại).
Với $x=2Rightarrow y=8Rightarrow $ Phương trình tiếp tuyến là: $y=-5left( x-2 right)+8=-5text{x}+18$. Chọn B.
| Ví dụ 12: Cho hàm số $y={{x}^{3}}+2mtext{x}+2left( C right)$. Tìm giá trị của tham số m biết tiếp tuyến của $left( C right)$ tại điểm có hoành độ $x=-1$ vuông góc với đường thẳng $y=frac{1}{2}x+3$.
A. $m=-5$ B. $frac{-5}{2}$ C. $frac{5}{2}$ D. 5 |
Lời giải
Ta có: ${{k}_{u}}={y}’left( -1 right)=3+2m$. Từ gt $Rightarrow left( 3+2m right).frac{1}{2}=-1Leftrightarrow 3+2m=-2Leftrightarrow m=frac{-5}{2}$. Chọn B.
| Ví dụ 13: Cho hàm số $y=-{{x}^{3}}+2m{{text{x}}^{2}}+nleft( C right)$. Tìm tổng $m+n$ biết tiếp tuyến của $left( C right)$ tại điểm $Aleft( 1;3 right)$ có hệ số góc là $k=1$.
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 |
Lời giải
Ta có: ${y}’=-3{{text{x}}^{2}}+4mtext{x}Rightarrow {y}’left( 1 right)=-3+4m=1Leftrightarrow m=1$
Mặt khác điểm $Aleft( 1;3 right)in left( C right)$ nên $3=-1+2m+n=n+1Leftrightarrow n=2$. Vậy $m+n=3$. Chọn B.
| Ví dụ 14: Cho hàm số $y=frac{x+m}{x+n}left( C right)$. Biết tiếp tuyến của $left( C right)$ tại điểm $Aleft( 2;-4 right)$ song song với đường thẳng $y=-5x+2017$. Vậy giá trị của $2m-n$ là:
A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 |
Lời giải
Giải hệ $left{ begin{array} {} -4=frac{m+2}{n+2} \ {} {y}’left( 2 right)=frac{n-m}{{{left( n+2 right)}^{2}}}=-5 \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} m=-4n-10 \ {} frac{5n+10}{{{left( n+2 right)}^{2}}}=-5 \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} m=-4n-10 \ {} frac{1}{n+2}=-1 \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} n=-3 \ {} m=2 \ end{array} right.Rightarrow 2m-n=7$.
Chọn D.
| Ví dụ 15: Cho hàm số $y=frac{mtext{x}+n}{x-2}left( C right)$. Biết $left( C right)$ đi qua điểm $Aleft( 1;-3 right)$ và tiếp tuyến của $left( C right)$ tại điểm có hoành độ $x=3$ có hệ số góc $k=-5$. Giá trị của biểu thức ${{m}^{2}}+{{n}^{2}}$ bằng:
A. 5 B. 10 C. 13 D. 25 |
Lời giải
Giải hệ $left{ begin{array} {} -3=frac{m+n}{1-2} \ {} {y}’left( 3 right)=frac{-2m-n}{{{left( 3-2 right)}^{2}}}=-5 \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} m+n=3 \ {} 2m+n=5 \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} m=2 \ {} n=1 \ end{array} right.Rightarrow {{m}^{2}}+{{n}^{2}}=5$.
Chọn A.
| Ví dụ 16: Cho hàm số $y={{x}^{3}}+m{{text{x}}^{2}}+ntext{x}left( C right)$. Tìm giá trị của ${{m}^{2}}+{{n}^{2}}$ để đồ thị hàm số đi qua điểm $Aleft( -1;5 right)$ và tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x=1$ vuông góc với đường thẳng $y=frac{-1}{3}x+2$.
A. 5 B. 10 C. 20 D. 25 |
Lời giải
Giải hệ $left{ begin{array} {} 5=-1+m-n \ {} {y}’left( 1 right).frac{-1}{3}=-1 \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} m-n=6 \ {} left( 3+2m+n right)=3 \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} m=2 \ {} n=-4 \ end{array} right.Rightarrow {{m}^{2}}+{{n}^{2}}=20$. Chọn C.
| Ví dụ 17: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để có 2 tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}+3m{{text{x}}^{2}}+2$ có cùng hệ số góc $k=-3$.
A. $-1 |
Lời giải
Để có 2 tiếp tuyến thì phải có 2 tiếp điểm phân biệt. Giả sử hoành độ tiếp điểm là $x=a$.
Khi đó ta có: ${y}’left( a right)=3{{text{a}}^{2}}+6ma=-3Leftrightarrow {{a}^{2}}+2ma+1=0$.
Đk có 2 tiếp tuyến có cùng hệ số góc $k=-3$ là: ${{Delta }_{left( 1 right)}}={{m}^{2}}-1>0Leftrightarrow left[ begin{array} {} m>1 \ {} mChọn C.
| Ví dụ 18: Gọi d là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị hàm số $y=frac{2}{3}{{x}^{3}}-4{{text{x}}^{2}}+9text{x}-11$. Đường thẳng d đi qua điểm nào dưới đây?
A. $Mleft( -5;frac{2}{3} right)$ B. $Pleft( 5;-frac{2}{3} right)$ C. $Nleft( 2;-frac{5}{3} right)$ D. $Qleft( -2;frac{5}{3} right)$ |
Lời giải
Ta có $y=frac{2}{3}{{x}^{3}}-4{{text{x}}^{2}}+9text{x}-11xrightarrow{{}}{y}’=2{{text{x}}^{2}}-8text{x}+9,forall xin mathbb{R}$.
Hệ số góc của tiếp tuyến d của đồ thị hàm số tại $Mleft( {{x}_{0}};{{y}_{0}} right)$ là $k={y}’left( {{x}_{0}} right)=2text{x}_{0}^{2}-8{{text{x}}_{0}}+9$.
Mặt khác $2text{x}_{0}^{2}-8{{text{x}}_{0}}+9=2left( x_{0}^{2}-4{{text{x}}_{0}}+4 right)+1=2{{left( {{x}_{0}}-2 right)}^{2}}+1ge 1Rightarrow {{k}_{min }}=1$.
Dấu bằng xảy ra khi ${{left( {{x}_{0}}-2 right)}^{2}}=0Leftrightarrow {{x}_{0}}=2Rightarrow {{y}_{0}}=-frac{11}{3}$.
Vậy phương trình d là $y+frac{11}{3}=x-2Leftrightarrow y=x-frac{17}{3}Rightarrow Pleft( 5;-frac{2}{3} right)in d$. Chọn B.
| Ví dụ 19: Cho hàm số $y=frac{ax+b}{cx-1}left( C right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ. Biết tiếp tuyến của $left( C right)$ tại giao điểm của $left( C right)$ với trục tung song song với đường thẳng $y=2text{x}+2018$.
Giá trị của biể thức $T=a+2b+3c$ là: A. $T=3$ B. $T=1$ C. $T=3$ D. $T=2$ |
Lời giải
Do đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=-3$
Do đó hàm số có dạng: $y=frac{-3text{x}+b}{x-1}Rightarrow {y}’=frac{3-b}{{{left( x-1 right)}^{2}}}Rightarrow {y}’left( 0 right)=3-b$
Do tiếp tuyến song song với đường thẳng $y=2text{x}+2018Rightarrow 3-b=2Leftrightarrow b=1$.
Vậy $a=-3;b=1;c=1Rightarrow T=2$. Chọn D.
| Ví dụ 20: Cho hàm số $y=frac{x+4}{x-3}left( C right)$. Điểm $Mleft( {{x}_{0}};{{y}_{0}} right)$ (với ${{y}_{0}}>0$) thuộc sao $left( C right)$ cho tiếp tuyến tại M cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho $AB=5.OAsqrt{2}$. Giá trị của $2{{text{x}}_{0}}+{{y}_{0}}$ là:
A. 16 B. 17 C. 18 D. 19 |
Lời giải
Ta có: $Delta OAB$ vuông tại O ta có: $tan widehat{BAO}=frac{OB}{OA}=frac{sqrt{A{{B}^{2}}-O{{A}^{2}}}}{OA}=7$
Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến ta có: $k=pm 7$.
Gọi $Mleft( {{x}_{0}};frac{{{x}_{0}}+4}{{{x}_{0}}-3} right)Rightarrow {y}’left( {{x}_{0}} right)=frac{-7}{{{left( {{x}_{0}}-3 right)}^{2}}}=pm 7Leftrightarrow {{left( {{x}_{0}}-3 right)}^{2}}=1Leftrightarrow left[ begin{array} {} {{x}_{0}}=4 \ {} {{x}_{0}}=2 \ end{array} right.$
Suy ra $Mleft( 4;8 right)Rightarrow T=16$. Chọn A.