Viết phương trình tiếp tuyến tại 1 một điểm – Cách giải {} bài tập có đáp án
Phương pháp giải: bài toán viết pttt tại 1 điểm
Cho hàm số $y=fleft( x right)left( C right)$. Khi đó phương trình tiếp tuyến tại điểm $Aleft( {{x}_{0}};fleft( {{x}_{0}} right) right)in left( C right)$ là
$y={f}’left( {{x}_{0}} right)left( x-{{x}_{0}} right)+fleft( {{x}_{0}} right)$.
Trong đó ${{x}_{0}}$ được gọi là hoành độ tiếp điểm: ${{y}_{0}}=fleft( {{x}_{0}} right)$ là tung độ tiếp điểm và $k={f}’left( {{x}_{0}} right)$ là hệ số góc của tiếp tuyến. Điểm $Aleft( {{x}_{0}};{{y}_{0}} right)$ được gọi là tiếp điểm.
Bài tập viết phương trình tiếp tuyến có đáp án
| Bài tập 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}+3text{x}left( C right)$ tại:
a) Điểm $Aleft( 1;4 right)$. b) Điểm có hoành độ ${{x}_{0}}=-1$ c) Điểm có tung độ ${{y}_{0}}=14$. d) Giao điểm của $left( C right)$ với đường thẳng $d:y=3x-8$. |
Lời giải chi tiết
a) Ta có: ${f}’left( x right)=3{{text{x}}^{2}}+3Rightarrow {f}’left( 1 right)=6$.
Do vậy phương trình tiếp tuyến tại $Aleft( 1;4 right)$ là $y=6left( x-1 right)+4=6text{x}-2$
b) Với $x={{x}_{0}}=-1Rightarrow fleft( {{x}_{0}} right)=-4Rightarrow {f}’left( {{x}_{0}} right)=6$
Do vậy phương trình tiếp tuyến là $y=6left( x+1 right)-4=6x+2$
c) Với ${{y}_{0}}=14Rightarrow {{x}^{3}}+3x=14Leftrightarrow {{x}_{0}}=2;{f}’left( 2 right)=15$
Do vậy phương trình tiếp tuyến là: $y=15left( x-2 right)+14=15x-16$
d) Hoành độ giao điểm của $left( C right)$ và $d$ là ${{x}^{3}}+3text{x}=3x-8Leftrightarrow x=-2$
Với $x=-2Rightarrow y=-14Rightarrow {f}’left( -2 right)=15$. Do đó phương trình tiếp tuyến là $y=15left( x+2 right)-14=15x+16$.
| Bài tập 2: Cho hàm số $y=frac{x-2}{2x+1}left( C right)$.
a) Viết phương trình tiếp tuyến của $left( C right)$ tại điểm có tung độ ${{y}_{0}}=3$. b) Viết phương trình tiếp tuyến của $left( C right)$ tại giao điểm của $left( C right)$ với đường thẳng $d:y=x-2$. |
Lời giải chi tiết
Ta có: ${y}’=frac{5}{{{left( 2x+1 right)}^{2}}}$
a) Ta có: ${{y}_{0}}=3Rightarrow frac{x-2}{2x+1}=3Leftrightarrow 5text{x}=-5Leftrightarrow {{x}_{0}}=-1Rightarrow {y}’left( -1 right)=5$.
Do vậy phương trình tiếp tuyến là: $y=5left( x+1 right)+3$ hay $y=5x+8$.
b) Phương trình hoành độ giao điểm của d và $left( C right)$ là: $frac{x-2}{2x+1}=x-2Leftrightarrow left[ begin{array} {} x=2 \ {} x=0 \ end{array} right.$
Với ${{x}_{0}}=2Rightarrow {{y}_{0}}=0;{y}’left( 2 right)=frac{1}{5}$ suy ra phương trình tiếp tuyến là: $y=frac{1}{5}left( x-2 right)$.
Với ${{x}_{0}}=0Rightarrow {{y}_{0}}=-2;{y}’left( 0 right)=5$ suy ra phương trình tiếp tuyến là: $y=5x-2$.
| Bài tập 3: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-4x+2$ tại điểm có hoành độ bằng 1 là:
A. $y=-x-2$ B. $y=x-2$ C. $y=-x$ D. $y=-x+1$ |
Lời giải chi tiết
Ta có ${{x}_{0}}=1Rightarrow {{y}_{0}}=-1;{f}’left( x right)=3{{x}^{2}}-4Rightarrow {f}’left( 1 right)=-1$
Do vậy PTTT là: $y=-left( x-1 right)-1=-x$. Chọn C.
| Bài tập 4: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=frac{2x+1}{x-1}left( C right)$ tại giao điểm của $left( C right)$ với trục tung là:
A. $y=-3x-1$ B. $y=-3x-3$ C. $y=-3x$ D. $y=-3x+3$ |
Lời giải chi tiết
$left( C right)cap Oy=Aleft( 0;-1 right)$. Lại có ${y}’=frac{-3}{{{left( x-1 right)}^{2}}}Rightarrow {y}’left( 0 right)=-3$
Do vậy phương trình tiếp tuyến là: $y=-3x-1$. Chọn A.
| Bài tập 5: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=sqrt{x+2}-sqrt{3-x}$ tại điểm có hoành độ $x-2$ là:
A. $y=frac{3}{4}x+frac{3}{2}$ B. $y=frac{3}{4}x-frac{1}{2}$ C. $y=frac{3}{4}x-frac{3}{2}$ D. $y=frac{3}{2}x+frac{1}{2}$ |
Lời giải chi tiết
Với $x=2Rightarrow y=1$. Lại có ${f}’left( x right)=frac{1}{2sqrt{x+2}}+frac{1}{2sqrt{3-x}}Rightarrow {f}’left( 2 right)=frac{3}{4}$
Do đó phương trình tiếp tuyến là: $y=frac{3}{4}left( x-2 right)+1=frac{3}{4}x-frac{1}{2}$. Chọn B.
| Bài tập 6: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-4{{x}^{2}}+1$ tại điểm ${{x}_{0}}$ thỏa mãn ${{f}’}’left( {{x}_{0}} right)=4$ là:
A. $y=-3x+1$ B. $y=-4x-1$ C. $y=4x-1$ D. $y=-4x+1$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: ${f}’left( x right)=3{{x}^{2}}-8xRightarrow {{f}’}’left( x right)=6x-8$.
Giải ${{f}’}’left( x right)=4Leftrightarrow {{x}_{0}}=2Rightarrow {{y}_{0}}=-7;{f}’left( 2 right)=-4$
Do đó phương trình tiếp tuyến là: $y=-4left( x-2 right)-7=-4x+1$. Chọn D.
| Bài tập 7: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y={{x}^{4}}-4{{x}^{2}}+2$ tại điểm ${{x}_{0}}=-1$ là:
A. $y=4x+1$ B. $y=-4x-1$ C. $y=4x+2$ D. $y=4x+3$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: ${{x}_{0}}=-1Rightarrow {{y}_{0}}=-1$. Mặt khác ${y}’=4{{x}^{3}}-8xRightarrow {y}’left( -1 right)=4$
Khi đó phương trình tiếp tuyến là: $y=4left( x+1 right)-1=4x+3$. Chọn D.
| Bài tập 8: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=frac{x-2}{2x+1}left( C right)$ tại giao điểm của $left( C right)$ với trục hoành là:
A. $y=frac{1}{5}left( x-2 right)$ B. $y=frac{1}{25}left( x-2 right)$ C. $y=frac{2}{5}left( x-2 right)$ D. $y=frac{-3}{25}left( x-2 right)$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: $left( C right)cap Ox=Aleft( 2;0 right)$. Mặt khác ${f}’left( x right)=frac{5}{{{left( 2x+1 right)}^{2}}}Rightarrow {f}’left( 2 right)=frac{1}{5}$
Do đó phương trình tiếp tuyến tại điểm $Aleft( 2;0 right)$là: $y=frac{1}{5}left( x-2 right)$. Chọn A.
| Bài tập 9: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=2{{x}^{3}}-3x+1left( C right)$ tại điểm có hoành độ $x=1$ cắt đồ thị $left( C right)$ tại điểm thứ 2 có hoành độ là:
A. 0 B. $-2$ C. 3 D. $-1$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: $x=1Rightarrow y=0;{f}’left( x right)=6{{x}^{2}}-3Rightarrow {f}’left( 1 right)=3$.
Phương trình tiếp tuyến là: $y=3left( x-1 right)left( d right)$
Xét $dcap left( C right)Rightarrow 2{{x}^{3}}-3x+1=3left( x-1 right)Leftrightarrow left[ begin{array} {} x=1 \ {} x=-2 \ end{array} right.$. Chọn B.
| .Bài tập 10: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=frac{2x-1}{x+2}$ tại điểm có tung độ bằng $-3$ là:
A. $y=3x+2$ B. $y=5left( x+1 right)$ C. $y=3x+5$ D. $y=5x+2$ |
Lời giải chi tiết
Giải $frac{2x-1}{x+2}=-3Leftrightarrow left{ begin{array}{} xne -2 \{} 2x-1=-3x-6 \end{array} right.Leftrightarrow x=-1$. Lại có ${f}’left( x right)=frac{5}{{{left( x+2 right)}^{2}}}Rightarrow {f}’left( -1 right)=5$
Phương trình tiếp tuyến là: $y=5left( x+1 right)-3=5x+2$. Chọn D.
| Bài tập 11: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y={{x}^{4}}+2$ tại thời điểm có hoành độ $x=-1$ cắt trục hoành tại điểm.
A. $Aleft( 0;-1 right)$ B. $Aleft( -frac{7}{2};0 right)$ C. $Aleft( -frac{7}{4};0 right)$ D. $Aleft( -frac{1}{4};0 right)$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: $x=-1;y=3;{y}’left( -1 right)=-4$. Do đó phương trình tiếp tuyến là: $y=-4left( x+1 right)+3=-4x-1left( d right)$.
Do đó $dcap Ox=Aleft( frac{-1}{4};0 right)$. Chọn D.
| Bài tập 12: Cho hàm số $y=2{{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+1left( C right)$. Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến tiếp tuyến của $left( C right)$ tại điểm có hoành độ $x=1$ là:
A. $d=frac{2}{sqrt{5}}$ B. $d=frac{2sqrt{5}}{5}$ C. $d=frac{1}{sqrt{5}}$ D. $d=2$ |
Lời giải chi tiết
Ta có $x=1Rightarrow y=0;{f}’left( 1 right)=8-6=2$. Do đó phương trình tiếp tuyến là $y=2left( x-1 right)left( d right)$.
Do đó $d:2text{x}-y-2=0$ suy ra $dleft( 0;d right)=frac{left| -2 right|}{5}$. Chọn A.
Chú ý: Bài toán này yêu cầu các em ghi nhớ công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. Khoảng cách từ điểm $Mleft( {{x}_{0}};{{y}_{0}} right)$ đến đường thẳng $d:ax+by+c=0$ là: $d=frac{left| a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}}+c right|}{sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}$.
| Bài tập 13: Cho hàm số $y={{x}^{3}}+mtext{x}left( C right)$. Tìm giá trị của tham số m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x=1$ của $left( C right)$ bằng $sqrt{2}$ là:
A. $left[ begin{array} {} m=-4 \ {} m=-1 \ end{array} right.$ B. $left[ begin{array} {} m=-5 \ {} m=-3 \ end{array} right.$ C. $left[ begin{array} {} m=-4 \ {} m=-2 \ end{array} right.$ D. $left[ begin{array} {} m=-2 \ {} m=0 \ end{array} right.$. |
Lời giải chi tiết
Với ${{x}_{0}}=1Rightarrow {{y}_{0}}=1+m;{f}’left( 1 right)=3+m$. Phương trình tiếp tuyến là: $y=left( m+3 right)left( x-1 right)+m+1left( d right)$
$dleft( O;d right)=frac{left| -m-3+m+1 right|}{sqrt{{{left( m+3 right)}^{2}}+1}}=sqrt{2}Leftrightarrow {{left( m+3 right)}^{2}}+1=2Leftrightarrow left[ begin{array} {} m=-4 \ {} m=-2 \ end{array} right.$. Chọn C.