Xét số phức (z)thỏa mãn: (left| {z + 4 + i} right| + left| {z – 4 – 3i} right| = 10). Giá trị lớn nhất của (left| {z + 3 – 7i} right|) bằng
Câu hỏi:
Xét số phức (z)thỏa mãn: (left| {z + 4 + i} right| + left| {z – 4 – 3i} right| = 10). Giá trị lớn nhất của (left| {z + 3 – 7i} right|) bằng
A. (4sqrt 5 ) .
B. (frac{{sqrt {71} }}{4}).
C. (2sqrt 5 ).
D. (frac{{5sqrt {13} }}{2}).
Lời giải
Đặt: (z = frac{omega }{{ – 2 + i}} + i)( Rightarrow left{ begin{array}{l}z + 4 + i = frac{{omega – 10}}{{ – 2 + i}}\z – 4 – 3i = frac{{omega + 10}}{{ – 2 + i}}\z + 3 – 7i = frac{{omega + 15i}}{{ – 2 + i}}end{array} right.).
Ta có: (left| {z + 4 + i} right| + left| {z – 4 – 3i} right| = 10)( Leftrightarrow frac{{left| {omega – 10} right|}}{{sqrt 5 }} + frac{{left| {omega + 10} right|}}{{sqrt 5 }} = 10)( Leftrightarrow left| {omega – 10} right| + left| {omega + 10} right| = 10sqrt 5 {rm{ }}left( * right)).
Phương trình (left( * right)) biểu diễn Elip (left( E right))có dạng (frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1), với (left{ begin{array}{l}2a = 10sqrt 5 \2c = 20\{b^2} = {a^2} – {c^2}end{array} right.)( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{a^2} = 125\{b^2} = 25end{array} right.).
Suy ra: (left( E right):frac{{{x^2}}}{{125}} + frac{{{y^2}}}{{25}} = 1 Leftrightarrow {x^2} = 125 – 5{y^2}).
(forall Mleft( {x;y} right) in left( E right) Leftrightarrow Mleft( { pm sqrt {125 – 5{y^2}} ;y} right)).
Ta có (left| {z + 3 – 7i} right| = left| {frac{{omega + 15i}}{{ – 2 + i}}} right| = frac{{left| {omega + 15i} right|}}{{sqrt 5 }} = frac{{MK}}{{sqrt 5 }}{rm{ ; }}Kleft( {0; – 15} right)).
(frac{{MK}}{{sqrt 5 }} = frac{{sqrt {{x^2} + {{left( {y + 15} right)}^2}} }}{{sqrt 5 }})( = frac{{sqrt {125 – 5{y^2} + {{left( {y + 15} right)}^2}} }}{{sqrt 5 }})( = frac{{sqrt {frac{{1625}}{4} – 4{{left( {y – frac{{15}}{4}} right)}^2}} }}{{sqrt 5 }})
( Rightarrow frac{{MK}}{{sqrt 5 }} le frac{{5sqrt {13} }}{2})( Rightarrow left| {z + 3 – 7i} right| le frac{{5sqrt {13} }}{2}).
Vậy (mathop {max }limits_{} {mkern 1mu} left| {z + 3 – 7i} right| = frac{{5sqrt {13} }}{2} Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x = pm frac{{5sqrt {35} }}{4}\y = frac{{15}}{4}end{array} right..)
====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Cực trị Số phức