Số giá trị nguyên của tham số(m) để phương trình
(sqrt {log _2^2x + 3{{log }_{frac{1}{2}}}{x^2} – 7} = mleft( {{{log }_4}{x^2} – 7} right)) có nghiệm thuộc khoảng (left( {256;, + infty } right))là:
Câu hỏi:
Số giá trị nguyên của tham số(m) để phương trình
(sqrt {log _2^2x + 3{{log }_{frac{1}{2}}}{x^2} – 7} = mleft( {{{log }_4}{x^2} – 7} right)) có nghiệm thuộc khoảng (left( {256;, + infty } right))là:
A. vô số.
B. (4).
C. (3).
D. (1).
Lời giải
Điều kiện xác định: (left{ begin{array}{l}x > 0\{x^2} > 0\log _2^2x + 3{log _{frac{1}{2}}}{x^2} – 7 ge 0end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x > 0\left[ begin{array}{l}x ge 128\x le frac{1}{2}end{array} right.end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x ge 128\0 < x le frac{1}{2}end{array} right.).
Khi phương trình ( Leftrightarrow ) (sqrt {log _2^2x – 6{{log }_2}x – 7} = mleft( {{{log }_2}x – 7} right)) .
Đặt (t = {log _2}x). Do (x in left( {256;, + infty } right) Rightarrow t in left( {8; + {infty ^{}}} right)).
Phương trình trở thành: (sqrt {{t^2} – 6t – 7} = mleft( {t – 7} right) Leftrightarrow m = frac{{sqrt {{t^2} – 6t – 7} }}{{t – 7}}) .
Để phương trình có nghiệm thuộc khoảng (left( {256;, + infty } right))khi và chỉ khi phương trình có nghiệm (t in left( {8; + infty } right)).
Xét hàm số (fleft( t right) = frac{{sqrt {{t^2} – 6t – 7} }}{{t – 7}} = sqrt {frac{{t + 1}}{{t – 7}}} ) trên khoảng (left( {8; + infty } right)).
Ta có: (f’left( t right) = frac{{ – 8}}{{{{left( {t – 7} right)}^2}}}.frac{1}{{2sqrt {frac{{t + 1}}{{t – 7}}} }} < 0,forall t in left( {8; + infty } right)).
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta có: phương trình có nghiệm thỏa mãn yêu cầu đề bài khi và chỉ khi (1 < m < 3,m in mathbb{Z} Rightarrow m = 2). Vậy có 1 giá trị (m) nguyên thỏa mãn.
=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Phương trình và bất phương trình Logarit