. Số nghiệm của phương trình ({log _3}left| {{x^2} – x} right| = {log _5}left( {{x^2} – x + 2} right)) là
Câu hỏi:
. Số nghiệm của phương trình ({log _3}left| {{x^2} – x} right| = {log _5}left( {{x^2} – x + 2} right)) là
A. (0).
B. (4).
C. (1).
D. (2).
Lời giải
Điều kiện : (x ne 0,x ne 1).
Đặt (t = {x^2} – x), ta được phương trình ({log _3}left| t right| = {log _5}left( {t + 2} right)).
Đặt ({log _3}left| t right| = {log _5}left( {t + 2} right) = u), ta được (left{ begin{array}{l}left| t right| = {3^u}\t + 2 = {5^u}end{array} right.), suy ra
(left| {{5^u} – 2} right| = {3^u} Leftrightarrow left[ begin{array}{l}{5^u} = {3^u} + 2\{5^u} + {3^u} = 2end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}{left( {frac{3}{5}} right)^u} + 2.{left( {frac{1}{5}} right)^u} – 1 = 0,left( 1 right)\{5^u} + {3^u} – 2 = 0,,,,,,,,,,,,,,,left( 2 right)end{array} right.)
Giải (left( 1 right)). Ta có : (fleft( u right) = {left( {frac{3}{5}} right)^u} + 2.{left( {frac{1}{5}} right)^u} – 1) có (f’left( u right) = {left( {frac{3}{5}} right)^u}ln frac{3}{5} + 2.{left( {frac{1}{5}} right)^u}ln frac{1}{5} < 0,forall u) nên (fleft( u right)) nghịch biến trên (mathbb{R}) mà (fleft( 1 right) = 0) nên (left( 1 right)) có nghiệm duy nhất (u = 1), suy ra (t = 3), ta được phương trình ({x^2} – x – 3 = 0 Leftrightarrow x = frac{{1 pm sqrt {13} }}{2})
Giải (left( 2 right)). Ta có (fleft( u right) = {5^u} + {3^u} – 2) có (f’left( u right) = {5^u}ln 5 + {3^u}ln 3 > 0,forall u) nên (fleft( u right)) đồng biến trên (mathbb{R}) mà (fleft( 0 right) = 0) nên (left( 2 right)) có nghiệm duy nhất (u = 0), suy ra (t = – 1), suy ra ({x^2} – x + 1 = 0) .
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm.
=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Phương trình và bất phương trình Logarit