Câu hỏi:
Cho tam giác ABC vuông cân ở A có đường phân giác AM. Gọi E là điểm nằm giữa B và C. Vẽ BH và CK vuông góc với AE (H, K thuộc AE).
a) Chứng minh ba đường trung trực tương ứng của các đoạn thẳng AB, AC, KH cùng đi qua điểm M.
Trả lời:
a) • Xét DABM và DACM có:
AB = AC (do DABC cân tại A),
(do AM là tia phân giác của góc BAC),
AM là cạnh chung
Do đó DABM = DACM (c.g.c)
Suy ra MB = MC (hai cạnh tương ứng).
• Ta có AM là tia phân giác của góc BAC nên:
Lại có (tổng ba góc trong tam giác ABC)
Mà và (do DABC cân tại A)
Nên
Xét DABM có (cùng bằng 45°) nên tam giác ABM cân tại M.
Suy ra MA = MB
Mà MB = MC nên MA = MB = MC.
Do đó M nằm trên đường trung trực của AB và AC (1)
• Trong tam giác ABH vuông tại H có (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)
Nên
Mà
Suy ra
Xét DBAH và DACK có:
,
(chứng minh trên),
AB = AC (chứng minh ở câu a),
Do đó ∆ABH = ∆CAK (cạnh huyển – góc nhọn).
Suy ra AH = CK (hai cạnh tương ứng) và (hai góc tương ứng).
Ta có
Mà (chứng minh trên)
Suy ra .
Xét ∆AMH và ∆CMK có:
AH = CK (chứng minh trên),
(chứng minh trên),
AM = AM (chứng minh ở câu a)
Do đó ∆AMH = ∆CMK (c.g.c)
Suy ra MH = MK (hai cạnh tương ứng)
Hay M nằm trên đường trung trực của HK (2)
Từ (1) và (2) ta có điểm M nằm trên đường trung trực của AB, AC, HK.
Vậy ba đường trung trực tương ứng của các đoạn thẳng AB, AC, KH cùng đi qua điểm M.
====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====