b) Đường tròn tâm I bán kính IA đi qua những điểm nào?

Câu hỏi:

Cho tam giác ABC vuông cân ở A có đường phân giác AM. Gọi E là điểm nằm giữa B và C. Vẽ BH và CK vuông góc với AE (H, K thuộc AE).
a) Chứng minh ba đường trung trực tương ứng của các đoạn thẳng AB, AC, KH cùng đi qua điểm M.

Trả lời:

a) • Xét DABM và DACM có:
AB = AC (do DABC cân tại A),
$\hat{B A M} = \hat{C A M}$ (do AM là tia phân giác của góc BAC),
AM là cạnh chung
Do đó DABM = DACM (c.g.c)
Suy ra MB = MC (hai cạnh tương ứng).
• Ta có AM là tia phân giác của góc BAC nên:
$\hat{B A M} = \hat{C A M} = \frac{1}{2} \hat{B A C} = \frac{1}{2} .90 ° = 45 °$

Lại có $\hat{A B C} + \hat{A C B} + \hat{B A C} = 180 °$ (tổng ba góc trong tam giác ABC)
Mà $\hat{B A C} = 90 °$ và $\hat{A B C} = \hat{A C B}$ (do DABC cân tại A)
Nên $\hat{A B C} = \hat{A C B} = \frac{180 ° - \hat{B A C}}{2} = \frac{180 ° - 90 °}{2} = 45 °$
Xét DABM có $\hat{M B A} = \hat{M A B}$ (cùng bằng 45°) nên tam giác ABM cân tại M.
Suy ra MA = MB
Mà MB = MC nên MA = MB = MC.
Do đó M nằm trên đường trung trực của AB và AC (1)
• Trong tam giác ABH vuông tại H có ${\hat{B}}_{1} + \hat{B A H} = 90 °$ (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)
Nên ${\hat{B}}_{1} = 90 ° - \hat{B A H}$
Mà ${\hat{A}}_{1} = \hat{B A C} - \hat{B A H} = 90 ° - \hat{B A H}$
Suy ra ${\hat{B}}_{1} = {\hat{A}}_{1}$
Xét DBAH và DACK có:
$\hat{B H A} = \hat{A K C} (= 90 °)$ ,
${\hat{B}}_{1} = {\hat{A}}_{1}$ (chứng minh trên),
AB = AC (chứng minh ở câu a),
Do đó ∆ABH = ∆CAK (cạnh huyển – góc nhọn).
Suy ra AH = CK (hai cạnh tương ứng) và $\hat{B A H} = \hat{A C K}$ (hai góc tương ứng).
Ta có $\hat{B A H} = \hat{B A M} + \hat{M A H} = 45 ° + \hat{M A H}$
$\hat{A C K} = \hat{A C M} + \hat{M C K} = 45 ° + \hat{M C K}$

Mà $\hat{B A H} = \hat{A C K}$ (chứng minh trên)
Suy ra $\hat{M A H} = \hat{M C K}$ .
Xét ∆AMH và ∆CMK có:
AH = CK (chứng minh trên),
$\hat{M A H} = \hat{M C K}$ (chứng minh trên),
AM = AM (chứng minh ở câu a)
Do đó ∆AMH = ∆CMK (c.g.c)
Suy ra MH = MK (hai cạnh tương ứng)
Hay M nằm trên đường trung trực của HK (2)
Từ (1) và (2) ta có điểm M nằm trên đường trung trực của AB, AC, HK.
Vậy ba đường trung trực tương ứng của các đoạn thẳng AB, AC, KH cùng đi qua điểm M.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

Link Hoc va de thi 2021