■Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song – CD

1.1. Đường thẳng song song với mặt phẳng

Nhận xét: Có ba khả năng xảy ra đối với số điểm chung của d và (P) là:

– d và (P) có từ hai điểm chung trở lên. Khi đó đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) hay (P) chứa d và kí hiệu là d ⊂ (P) hay (P) ⊃ d (Hình a).

– d và (P) có một điểm chung duy nhất A. Khi đó ta nói d và (P) cắt nhau tại điểm A và kí hiệu là d ∩ (P) = {A} hay d ∩ (P) = A (Hình b).

– d và (P) không có điểm chung. Khi đó ta nói d song song với (P) hay (P) song song với d và kí hiệu là d // (P) hay (P) // d (Hình c).

 

 

Định nghĩa:

Đường thẳng được gọi là song song với mặt phẳng nếu chúng không có điểm chung.

 

1.2. Điều kiện và tính chất

Định lí 1: (Dấu hiệu nhận biết một đường thẳng song song với một mặt phẳng)

Nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (P) và a song song với đường thẳng a’ nằm trong (P) thì a song song với (P).

 

 

Định lí 2: (Tính chất của đường thẳng song song với mặt phẳng)

Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). Nếu mặt phẳng (Q) chứa a và cắt (P) theo giao tuyến b thì b song song với a.

 

 

Hệ quả của Định lí 2:

Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.

– Tức là, nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) phân biệt cùng song song với đường thẳng a thì giao tuyến b của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng a.

 

Chú ý: Cho hai đường thẳng chéo nhau. Khi đó có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi (α) là mặt phẳng đi qua trung điểm M của cạnh SB, song song với cạnh AB và cắt các cạnh SA, SD, SC lần lượt tại các điểm Q, P, N. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình thang.

 

Hướng dẫn giải

 

 

– Ta có AB // (α) và M ∈ (α).

Mà AB ⊂ (SAB).

Suy ra (α) ∩ (SAB) = MQ, với MQ // AB và Q ∈ SA.

– Ta lại có CD // AB (do tứ giác ABCD là hình bình hành).

Suy ra CD // MQ (1)

Mà MQ ⊂ (α).

Do đó CD // (α).

Mà (α) ∩ (SCD) = NP.

Vì vậy CD // NP (2)

Từ (1), (2), suy ra MQ // NP.

Vậy tứ giác MNPQ là hình thang.