1.1. Khái niệm mở đầu
– Điểm, đường thẳng, mặt phẳng là ba đối tượng cơ bản của hình học không gian.
– Từ ba đối tượng đó và những quan hệ cơ bản giữa chúng, ta tạo nên những vật thể khác nhau (như: hình chóp, hình nón,…) và xây dựng nên hình học không gian để nghiên cứu tính chất của những hình như vậy.
a. Mặt phẳng
Nhận xét:
– Mặt sân vận động cho ta hình ảnh một phần của mặt phẳng trong không gian.
– Người ta thường biểu diễn một mặt phẳng bằng một hình bình hành và dùng các chữ cái đặt trong dấu ngoặc đơn ( ) để đặt tên cho mặt phẳng ấy.
Ví dụ: mặt phẳng (P), mặt phẳng (Q),…
b. Điểm thuộc mặt phẳng
Nhận xét: Với mỗi điểm A và mặt phẳng (P), chỉ xảy ra một trong hai khả năng sau:
– Điểm A thuộc mặt phẳng (P), ta kí hiệu A ∈ (P). Ta còn nói “điểm A nằm trong (hay nằm trên) mặt phẳng (P)”; “mặt phẳng (P) đi qua điểm A”. (Hình a)
– Điểm A không thuộc mặt phẳng (P) hay A nằm ngoài (P), ta kí hiệu A ∉ (P) (Hình b).
c. Hình biểu diễn của một hình trong không gian
Khái niệm
|
Hình được vẽ trong mặt phẳng để giúp ta hình dung được về một hình trong không gian gọi là hình biểu diễn của hình không gian đó. |
Quy tắc vẽ hình biểu diễn của một hình trong không gian
|
– Đường thẳng được biểu diễn bởi đường thẳng. Đoạn thẳng được biểu diễn bởi đoạn thẳng. – Hai đường thẳng song song (hoặc cắt nhau) được biểu diễn bởi hai đường thẳng song song (hoặc cắt nhau). – Hình biểu diễn giữ nguyên tính liên thuộc giữa điểm với đường thẳng hoặc với đoạn thẳng. – Những đường nhìn thấy được vẽ bằng nét liền, những đường không nhìn thấy được vẽ bằng nét đứt. |
Chú ý: Các quy tắc khác sẽ được đề cập sau.
1.2. Các tính chất thừa nhận của hình học không gian
|
Tính chất 1. Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước. |
– Tức là, có duy nhất một đường thẳng d đi qua hai điểm A, B phân biệt.
| Tính chất 2. Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng cho trước. |
– Như vậy, mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết ba điểm A, B, C không thẳng hàng. Kí hiệu là mp(ABC) hay (ABC).
| Tính chất 3. Nếu một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt của một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều nằm trong mặt phẳng đó. |
– Như vậy, nếu một đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt A, B của mặt phẳng (P) thì mọi điểm của đường thẳng d đều nằm trong mặt phẳng (P).
– Ta nói d nằm trong (P), hoặc (P) chứa d, hoặc (P) đi qua d, kí hiệu d ⊂ (P) hay (P) ⊃ d.
| Tính chất 4. Tồn tại bốn điểm không cùng nằm trên một mặt phẳng. |
| Tính chất 5. Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó. |
– Nếu hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q) có điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất d chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó.
– Đường thẳng d đó gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q), kí hiệu d = (P) ∩ (Q).
Nhận xét:
– Có thể xác định giao tuyến của hai mặt phẳng bằng cách đi tìm hai điểm chung của chúng. Đường thẳng đi qua hai điểm chung đó là giao tuyến cần tìm.
– Để tìm giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng (P) (với giả thiết a cắt (P)), ta làm như sau: Chọn một đường thẳng b thích hợp trong mặt phẳng (P) và tìm giao điểm M của hai đường thẳng a và b. Khi đó, M là giao điểm cần tìm.
|
Tính chất 6. Trên mỗi mặt phẳng của không gian, các kết quả đã biết của hình học phẳng đều đúng. |
1.3. Một số cách xác định mặt phẳng
|
Định lí 1: Cho điểm A không thuộc đường thẳng d. Khi đó, qua điểm A và đường thẳng d có một và chỉ một mặt phẳng, kí hiệu mp(A, d) hoặc (A, d). |
|
Định lí 2: Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau. Khi đó, qua a và b có một và chỉ một mặt phẳng, kí hiệu mp(a, b). |
Nhận xét: Từ Tính chất 2 và hai định lí trên, ta thấy mặt phẳng hoàn toàn được xác định theo một trong ba cách sau:
– Đi qua ba điểm không thẳng hàng;
– Đi qua một đường thẳng và một điểm nằm ngoài đường thẳng đó;
– Đi qua hai đường thẳng cắt nhau.
1.4. Hình chóp và hình tứ diện
a. Hình chóp
|
Trong mặt phẳng (P), cho đa giác A1A2…An (n ≥ 3). Lấy điểm S nằm ngoài (P). Nối S với các đỉnh A1, A2, …, An ta được n tam giác: SA1A2, SA2A3, …, SAnA1. Hình gồm đa giác A1A2…An và n tam giác SA1A2, SA2A3, …, SAnA1 gọi là hình chóp, kí hiệu S.A1A2…An. |
Chú ý:
– Trong hình chóp S.A1A2…An, ta có:
+ Điểm S gọi là đỉnh.
+ Đa giác A1A2…An gọi là mặt đáy.
+ Các cạnh của mặt đáy gọi là cạnh đáy.
+ Các đoạn thẳng SA1, SA2, …, SAn gọi là các cạnh bên;
+ Các tam giác SA1A2, SA2A3, …, SAnA1 gọi là các mặt bên.
– Nếu đáy của hình chóp là một tam giác, tứ giác, ngũ giác,… thì hình chóp tương ứng gọi là hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình chóp ngũ giác,… Hình bên dưới minh họa cho hình chóp ngũ giác S.A1A2A3A4A5.
b. Hình tứ diện
|
Cho bốn điểm A, B, C, D không cùng nằm trong một mặt phẳng. Hình gồm bốn tam giác ABC, ACD, ABD và BCD gọi là hình tứ diện (hay ngắn gọn là tứ diện), kí hiệu là ABCD. |
Chú ý:
– Trong hình tứ diện ABCD, ta có:
+ Các điểm A, B, C, D gọi là các đỉnh.
+ Các đoạn thẳng AB, BC, CD, DA, CA, BD gọi là các cạnh. Hai cạnh không có điểm chung gọi là hai cạnh đối diện.
+ Các tam giác ABC, ACD, ABD, BCD gọi là các mặt.
+ Đỉnh không nằm trên một mặt gọi là đỉnh đối diện với mặt đó.
– Hình tứ diện có các mặt là tam giác đều gọi là hình tứ diện đều.
– Mỗi hình chóp tam giác là một hình tứ diện. Ngược lại, nếu ta quy định rõ đỉnh và mặt đáy trong một hình tứ diện thì hình tứ diện đó trở thành hình chóp tam giác.
Nhận xét: Để chứng minh ba điểm thẳng hàng, ta có thể chỉ ra ba điểm đó cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của đoạn AB và SC.
a) Xác định giao điểm I của đường thẳng AN và mặt phẳng (SBD).
b) Xác định giao điểm J của đường thẳng MN và mặt phẳng (SBD).
c) Chứng minh ba điểm I, J, B thẳng hàng.
Hướng dẫn giải
a) Trong (ABCD): gọi O là giao điểm của AC và BD.
Trong (SAC): gọi I là giao điểm của AN và SO.
Mà SO ⊂ (SBD).
Vậy I là giao điểm của đường thẳng AN và mặt phẳng (SBD).
b) Trong (ABCD): gọi E là giao điểm của MC và BD.
Trong (SMC): gọi J là giao điểm của MN và SE.
Mà SE ⊂ (SBD).
Vậy J là giao điểm của đường thẳng MN và mặt phẳng (SBD).
c) Ta có ba điểm I, J, B lần lượt nằm trên các đường thẳng AN, MN, AM.
Suy ra ba điểm I, J, B đều thuộc mặt phẳng (AMN).
Mà ba điểm I, J, B đều thuộc (SBD).
Do đó ba điểm I, J, B đều nằm trên đường giao tuyến của hai mặt phẳng (AMN) và (SBD).
Vậy ba điểm I, J, B thẳng hàng.