Giải SGK Toán 12 Bài 9 (Kết nối tri thức): Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị

Giải bài tập Toán 12 Bài 9: Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị

1. Khoảng biến thiên

HĐ1 trang 76 Toán 12 Tập 1: Trong tình huống mở đầu, gọi $x_1,x_2,...,x_{30}$ là nhiệt độ cao nhất trong ngày của 30 ngày tháng Sáu năm 2021 (mẫu số liệu gốc).

a) Có thể tính chính xác khoảng biến thiên cho mẫu số liệu gốc hay không?

b) Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất $x_i$ có thể nhận là gì?

c) Hãy đưa ra một giá trị xấp xỉ cho khoảng biến thiên của mẫu số liệu gốc.

Lời giải:

a) Không thể tính chính xác khoảng biến thiên cho mẫu số liệu gốc.

b) Giá trị nhỏ nhất có thể là ${30}^{0}C$, giá trị lớn nhất là giá trị nhiệt độ lớn nhất có thể là $39,9^{0}C$.

c) Một giá trị xấp xỉ cho khoảng biến thiên của mẫu số liệu gốc là: $39,9-30=9,9\left({}^{0}C\right)$

Câu hỏi trang 76 Toán 12 Tập 1: Chỉ ra rằng khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trong Bảng 3.1 lớn hơn khoảng biến thiên của mẫu số liệu gốc.

Nhóm	$[a_1; a_2)$	…	$[a_i; a_{i + 1})$	…	$[a_k; a_{k + 1})$
Tần số	m1	…	mi	…	mk

Bảng 3.1

Lời giải:

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trong bảng 3.1 là: $R=a_{k+1}-a_1$.

Gọi giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu gốc là ${a_1}^{\prime }$ thì ${a_1}^{\prime }\ge a_1$.

Gọi giá trị lớn nhất của mẫu số liệu gốc là ${a_k}^{\prime }$ thì ${a_{k+1}}^{\prime }<a_{k+1}$.

Khi đó, khoảng biến thiên của mẫu số liệu gốc là: $R^{\prime }={a_{k+1}}^{\prime }-{a_1}^{\prime }$.

Do đó, $R>R^{\prime }$

Vậy khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trong Bảng 3.1 lớn hơn khoảng biến thiên của mẫu số liệu gốc.

Luyện tập 1 trang 77 Toán 12 Tập 1: Thời gian hoàn thành bài kiểm tra môn Toán của các bạn trong lớp 12C được cho trong bảng sau:

Thời gian (phút)	[25;30)	[30;35)	[35;40)	[40;45)
Số học sinh	8	16	4	2

a) Tính khoảng biến thiên R cho mẫu số liệu ghép nhóm trên.

b) Nếu biết học sinh hoàn thành bài kiểm tra sớm nhất mất 27 phút và muộn nhất mất 43 phút thì khoảng biến thiên của mẫu số liệu gốc là bao nhiêu?

Lời giải:

a) Khoảng biến thiên R cho mẫu số liệu ghép nhóm trên là: $45-25=20$

b) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu gốc là: $43-27=16$

2. Khoảng tứ phân vị

HĐ2 trang 77 Toán 12 Tập 1: Trong tình huống mở đầu, gọi $y_1,y_2,...,y_{30}$ là nhiệt độ cao nhất trong ngày của 30 ngày tháng Sáu năm 2022 (mẫu số liệu gốc).

a) Có thể tính chính xác khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu gốc hay không?

b) Tìm tứ phân vị thứ nhất $Q_1$ và thứ phân vị thứ ba $Q_3$ cho mẫu số liệu ghép nhóm.

c) Hãy đưa ra một giá trị xấp xỉ cho khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu gốc.

Lời giải:

a) Không thể tính chính xác khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu gốc.

b) Cỡ mẫu $n=30$. Giả sử $y_1,y_2,...,y_{30}$ là nhiệt độ cao nhất trong ngày của 30 ngày tháng Sáu năm 2022 và giả sử dãy số liệu gốc này đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.

Vì $\frac{n}{4}=\frac{30}{4}=7,5$ và $2+3<7,5<2+3+4$ nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là nhóm $\left[32;34\right)$ và tứ phân vị thứ nhất là: $Q_1=32+\frac{\frac{30}{4}-\left(2+3\right)}{4}.\left(34-32\right)=33,25$

Vì $\frac{3n}{4}=\frac{3.30}{4}=22,5$ và $2+3+4+11<22,5<2+3+4+11+8$ nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là nhóm $\left[36;38\right)$ và tứ phân vị thứ ba là: $Q_3=36+\frac{\frac{3.30}{4}-\left(2+3+4+11\right)}{8}.\left(38-36\right)=36,625$

c) Một giá trị xấp xỉ cho khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu gốc là: $36,625-33,25=3,375$

Luyện tập 2 trang 78 Toán 12 Tập 1: Một người ghi lại thời gian đàm thoại của một số cuộc gọi cho kết quả như bảng sau:

Thời gian t (phút)	Số cuộc gọi
$0\le t<1$	8
$1\le t<2$	17
$2\le t<3$	25
$3\le t<4$	20
$4\le t<5$	10

Tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Lời giải:

Hiệu chỉnh lại bảng số liệu ta có:

Thời gian t (phút)	[0;1)	[1;2)	[2;3)	[3;4)	[4;5)
Số cuộc gọi	8	17	25	20	10

Cỡ mẫu $n=80$. Giả sử $x_1,x_2,...,x_{80}$ là thời gian đàm thoại của 80 cuộc gọi và giả sử dãy số liệu gốc này đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.

Vì $\frac{n}{4}=20$ và $8<20<8+17$ nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là nhóm $\left[1;2\right)$ và tứ phân vị thứ nhất là: $Q_1=1+\frac{\frac{80}{4}-8}{17}.1=\frac{29}{17}$

Vì $\frac{3n}{4}=60$ và $8+17+25<20<8+17+25+20$ nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là nhóm $\left[3;4\right)$ và tứ phân vị thứ ba là: $Q_3=3+\frac{\frac{3.80}{4}-\left(8+17+25\right)}{20}.1=3,5$

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: $3,5-\frac{29}{17}=\frac{61}{34}$

Vận dụng trang 78 Toán 12 Tập 1: Hãy giải bài toán trong tình huống mở đầu bằng cách sử dụng khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm.

Lời giải:

Năm 2021: Khoảng biến thiên của nhiệt độ là: $R_1=40-30=10$

Cỡ mẫu $n=30$. Giả sử $y_1,y_2,...,y_{30}$ là nhiệt độ cao nhất trong ngày của 30 ngày tháng Sáu năm 2021 và giả sử dãy số liệu gốc này đã được sắp xếp theo thứ tự không giảm.

Vì $\frac{n}{4}=\frac{30}{4}=7,5$ và $2<7,5<2+8$ nên tứ phân vị thứ nhất thuộc nhóm $\left[32;34\right)$ và tứ phân vị thứ nhất là: $Q_1=32+\frac{\frac{30}{4}-2}{8}.2=33,375$

Vì $\frac{3n}{4}=\frac{3.30}{4}=22,5$ và $2+8+5+6<22,5,5<2+8+5+6+9$ nên tứ phân vị thứ ba thuộc nhóm $\left[38;40\right)$ và tứ phân vị thứ ba là: $Q_3=38+\frac{\frac{3.30}{4}-\left(2+8+5+6\right)}{9}.2=\frac{115}{3}$

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${\mathrm{\Delta }}_{Q_1}=\frac{115}{3}-33,375=\frac{119}{24}$

Năm 2022: Khoảng biến thiên của nhiệt độ là: $R_2=40-28=12$

Cỡ mẫu $n=30$. Giả sử $z_1,z_2,...,z_{30}$ là nhiệt độ cao nhất trong ngày của 30 ngày tháng Sáu năm 2022 và giả sử dãy số liệu gốc này đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.

Vì $\frac{n}{4}=\frac{30}{4}=7,5$ và $2+3<7,5<2+3+4$ nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là nhóm $\left[32;34\right)$ và tứ phân vị thứ nhất là: $Q{}_1^{\prime }=32+\frac{\frac{30}{4}-\left(2+3\right)}{4}.\left(34-32\right)=33,25$

Vì $\frac{3n}{4}=\frac{3.30}{4}=22,5$ và $2+3+4+11<22,5<2+3+4+11+8$ nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là nhóm $\left[36;38\right)$ và tứ phân vị thứ ba là: $Q{}_3^{\prime }=36+\frac{\frac{3.30}{4}-\left(2+3+4+11\right)}{8}.\left(38-36\right)=36,625$

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${\mathrm{\Delta }}_{Q_2}=36,625-33,25=3,375$

Theo khoảng biến thiên: Vì $R_2>R_1$ nên nhiệt độ cao nhất trong ngày vào tháng 6 năm 2022 biến đổi nhiều hơn nhiệt độ cao nhất trong ngày vào tháng 6 năm 2021.

Theo khoảng tứ phân vị: Vì ${\mathrm{\Delta }}_{Q_1}>{\mathrm{\Delta }}_{Q_2}$ nên nhiệt độ cao nhất trong ngày vào tháng 6 năm 2021 biến đổi nhiều hơn nhiệt độ cao nhất trong ngày vào tháng 6 năm 2022.

Bài tập (trang 78, 79)

Bài 3.1 trang 78 Toán 12 Tập 1: Thống kê số thẻ vàng của mỗi câu lạc bộ trong giải ngoại hạng Anh mùa giải 2021-2022 cho kết quả như sau:

 

a) Hãy ghép nhóm dãy số liệu trên thành các nhóm có độ dài bằng nhau với nhóm đầu tiên là $\left[40;50\right)$.

b) Tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu gốc và mẫu số liệu ghép nhóm thu được ở câu a. Giá trị nào là giá trị chính xác? Giá trị nào là giá trị xấp xỉ?

Lời giải:

a) Bảng số liệu ghép nhóm:

b) Với mẫu số liệu gốc: Khoảng biến thiên là: $R_1=101-42=59$

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm là:

42; 47; 50; 55; 55; 57; 59; 60; 61; 63; 63; 67; 67; 68; 73; 75; 78; 79; 79; 101

Vì $n=20$ nên tứ phân vị thứ nhất là trung vị của dãy số liệu: 42; 47; 50; 55; 55; 57; 59; 60; 61; 63. Do đó, $Q_1=\frac{55+57}{2}=56$

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của dãy số liệu: 63; 67; 67; 68; 73; 75; 78; 79; 79; 101. Do đó, $Q_3=\frac{73+75}{2}=74$.

Khoảng tứ phân vị là: ${\mathrm{\Delta }}_{Q_1}=74-56=18$

Với mẫu số liệu ghép nhóm: Khoảng biến thiên là: $R_2=110-40=70$

Cỡ mẫu $n=20$. Giả sử $x_1,x_2,...,x_{20}$ là số thẻ vàng mà mỗi câu lạc bộ ngoại hạng Anh nhận được mùa giải 2021- 2022, các giá trị này đã được sắp xếp theo thứ tự không giảm.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{x_5+x_6}{2}$ nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là nhóm $\left[50;60\right)$ và ta có: $Q{}_1^{\prime }=50+\frac{\frac{20}{4}-2}{5}.10=56$

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $\frac{x_{15}+x_{16}}{2}$ nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là nhóm $\left[70;80\right)$ và ta có: $Q{}_3^{\prime }=70+\frac{\frac{3.20}{4}-\left(2+5+7\right)}{5}.10=72$

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${\mathrm{\Delta }}_{Q_2}=72-56=16$

Gía trị chính xác là $R_1;\mathrm{\Delta }{Q}_1$, giá trị xấp xỉ là $R_2;\mathrm{\Delta }{Q}_2$

Bài 3.2 trang 79 Toán 12 Tập 1: Thu nhập theo tháng (đơn vị: triệu đồng) của người lao động ở hai nhà máy như sau:

Tính mức thu nhập trung bình của người lao động ở hai nhà máy trên. Dựa vào khoảng tứ phân vị, hãy xác định xem mức thu nhập của người lao động ở nhà máy nào biến động nhiều hơn.

Lời giải:

Ta có bảng số liệu với giá trị đại diện của nhóm là:

Mức thu nhập trung bình của người lao động nhà máy A là:

$\frac{6,5.20+9,5.35+12,5.45+15,5.35+18,5.20}{20+35+45+35+20}=\frac{25}{2}$ (triệu đồng)

Mức thu nhập trung bình của người lao động nhà máy B là:

$\frac{6,5.17+9,5.23+12,5.30+15,5.23+18,5.17}{17+23+30+23+17}=\frac{25}{2}$ (triệu đồng)

Nhà máy A: Ta có cỡ mẫu $n=155$. Giả sử $x_1,x_2,...,x_{155}$ là mức thu nhập của người lao động nhà máy A và giả sử dãy số liệu gốc này đã được sắp xếp theo thứ tự không giảm.

Vì $\frac{n}{4}=38,75$ và $20<38,75<20+35$ nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là nhóm $\left[8;11\right)$ và tứ phân vị thứ nhất là: $Q_1=8+\frac{\frac{155}{4}-20}{35}.3=\frac{269}{28}$

Vì $\frac{3n}{4}=116,25$ và $20+35+45<116,25<20+35+45+35$ nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là nhóm $\left[14;17\right)$ và tứ phân vị thứ ba là: $Q_3=14+\frac{\frac{3.155}{4}-\left(20+35+45\right)}{35}.3=\frac{431}{28}$

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${\mathrm{\Delta }}_{Q_1}=\frac{431}{28}-\frac{269}{28}=\frac{81}{14}$

Nhà máy B: Ta có cỡ mẫu $n=110$. Giả sử $x_1,x_2,...,x_{110}$ là mức thu nhập của người lao động nhà máy B và giả sử dãy số liệu gốc này đã được sắp xếp theo thứ tự không giảm.

Vì $\frac{n}{4}=27,5$ và $17<27,5<17+23$ nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là nhóm $\left[8;11\right)$ và tứ phân vị thứ nhất là: $Q{}_1^{\prime }=8+\frac{\frac{110}{4}-17}{23}.3=\frac{431}{46}$

Vì $\frac{3n}{4}=82,5$ và $17+23+30<82,5<17+23+30+23$ nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là nhóm $\left[14;17\right)$ và tứ phân vị thứ ba là: $Q_3=14+\frac{\frac{3.110}{4}-\left(17+23+30\right)}{23}.3=\frac{719}{46}$

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${\mathrm{\Delta }}_{Q_2}=\frac{719}{46}-\frac{431}{46}=\frac{144}{23}$

Vì ${\mathrm{\Delta }}_{Q_1}<{\mathrm{\Delta }}_{Q_2}$ nên mức thu nhập của người lao động nhà máy B biến động nhiều hơn.

Bài 3.3 trang 79 Toán 12 Tập 1: Bảng sau đây cho biết chiều cao của các học sinh lớp 12A và 12B.

a) Tìm khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị cho các mẫu số liệu ghép nhóm về chiều cao của học sinh lớp 12A, 12B.

b) Để so sánh độ phân tán về chiều cao của học sinh hai lớp này ta nên dùng khoảng biến thiên hay khoảng tứ phân vị? Vì sao?

Lời giải:

a) Lớp 12A: Khoảng biến thiên: $R=175-145=30$

Ta có cỡ mẫu $n=43$. Giả sử $x_1,x_2,...,x_{43}$ là chiều cao của các học sinh lớp 12A và giả sử dãy số liệu gốc này đã được sắp xếp theo thứ tự không giảm.

Vì $\frac{n}{4}=10,75$ và $1<10,75<1+15$ nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là nhóm $\left[150;160\right)$ và tứ phân vị thứ nhất là: $Q_1=155+\frac{\frac{43}{4}-1}{15}.5=158,25$

Vì $\frac{3n}{4}=32,25$ và $1+15+12<32,25<1+15+12+10$ nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là nhóm $\left[165;170\right)$ và tứ phân vị thứ ba là: $Q_3=165+\frac{\frac{3.43}{4}-\left(1+15+12\right)}{10}.5=167,125$

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${\mathrm{\Delta }}_{Q_1}=167,125-158,25=8,875$

Lớp 12B: Khoảng biến thiên: $R=175-155=20$

Ta có cỡ mẫu $n=42$. Giả sử $x_1,x_2,...,x_{42}$ là chiều cao của các học sinh lớp 12B và giả sử dãy số liệu gốc này đã được sắp xếp theo thứ tự không giảm.

Vì $\frac{n}{4}=10,5$ và $0<10,5<17$  nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là nhóm $\left[155;160\right)$ và ta có: $Q{}_1^{\prime }=155+\frac{\frac{42}{4}-0}{17}.5=\frac{5375}{34}$

Vì $\frac{3n}{4}=31,5$ và $17+10<31,5<17+10+9$ nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là nhóm $\left[165;170\right)$ và tứ phân vị thứ ba là: $Q{}_3^{\prime }=165+\frac{\frac{3.42}{4}-\left(17+10\right)}{9}.5=\frac{335}{2}$

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${\mathrm{\Delta }}_{Q_2}=\frac{335}{2}-\frac{5375}{34}=\frac{160}{17}$

b) Để so sánh độ phân tán về chiều cao của học sinh hai lớp này, ta nên dùng khoảng tứ phân vị vì khoảng tứ phân vị chỉ phụ thuộc vào nửa giữa của mẫu số liệu, không bị ảnh hưởng bởi các giá trị bất thường.

Xem thêm các bài giải bài tập Toán lớp 12 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 2

Bài 9. Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị

Bài 10. Phương sai và độ lệch chuẩn

Bài tập cuối chương 3

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với phần mềm GeoGebra

Vẽ vectơ tổng của ba vectơ trong không gian bằng phần mêm GeoGebra