Sách bài tập Toán 11 (Kết nối tri thức) Bài tập cuối chương 5 trang 87


Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Giải SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 5 trang 87

Trắc nghiệm

Giải SBT Toán 11 trang 87

Bài 5.26 trang 87 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hai dãy số (un) và (vn) thỏa mãn limn+un=1 và limn+vn=b . Xét các khẳng định sau:

(1) limn+un+vn=1+b ;

(2) limn+vnun=b ;

(3) limn+un+vn=b ;

(4) limn+unvn=1b .

Số khẳng định đúng là

A. 2.

B. 1.

C. 3.

D. 4.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Với limn+un=1 và limn+vn=b , ta có:

+) limn+un+vn=limn+un+limn+vn=1+b nên khẳng định (1) đúng, khẳng định (3) sai.

+) limn+vnun=limn+vnlimn+un=b1=b nên khẳng định (2) đúng.

+) Khẳng định (4) đúng khi b ≠ 0.

Vậy có 2 khẳng định đúng.

Bài 5.27 trang 87 SBT Toán 11 Tập 1: Cho L=limn+n32n+1 . Giá trị của L là

A. L = 0.

B. L = – ∞.

C. L = + ∞.

D. L = 1.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có L=limn+n32n+1=limn+n312n+1n3=+ .

Bài 5.28 trang 87 SBT Toán 11 Tập 1: Biết limn+2n2+n1an2+1=1 với a là tham số. Giá trị của a2 – 2a là

A. – 1.

B. 0.

C. 2.

D. Không xác định.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có limn+2n2+n1an2+1=limn+2+1n1n2a+1n2=2a .

Mà limn+2n2+n1an2+1=1 nên 2a=1 , suy ra a = 2.

Do đó, a2 – 2a = 22 – 2 . 2 = 0.

Bài 5.29 trang 87 SBT Toán 11 Tập 1: Cho un=nn+2n+1 . Khi đó limn+un bằng

A. + ∞.

B. 0.

C. 12 .

D. 1.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có limn+un=limn+nn+2n+1

=limn+nn+2n1n+2+n1

=limn+nn+2+n+1

=limn+11+2n+1+1n=12 .

Bài 5.30 trang 87 SBT Toán 11 Tập 1: Tính tổng S=23+29227++1n23n+

A. S=12 .

B. S=12 .

C. S = – 3.

D. S = 3.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Nhận thấy tổng S=23+29227++1n23n+ là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu u1=23 và công bội q=13 .

Do đó, S=u11q=23113=12 .

Bài 5.31 trang 87 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hàm số f(x) thỏa mãn limx1+fx=3 và limx1fx=3 . Khẳng định đúng là

A. limx1fx=3 .

B. limx1fx=0 .

C. Không tồn tại limx1fx .

D. limx1fx=3 .

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Do limx1+fx=3 và limx1fx=3 nên limx1+fxlimx1fx .

Vậy không tồn tại limx1fx .

Giải SBT Toán 11 trang 88

Bài 5.32 trang 88 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hàm số f(x) thỏa mãn limx1+fx=2 và limx1fx=m+1 . Biết giới hạn của f(x) khi x → 1 tồn tại. Giá trị của m là

A. m = 1.

B. m = – 1.

C. m = 3.

D. Không tồn tại m.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có giới hạn của f(x) khi x → 1 tồn tại khi và chỉ khi limx1+fx=limx1fx .

Điều đó có nghĩa là 2 = m + 1, suy ra m = 1.

Bài 5.33 trang 88 SBT Toán 11 Tập 1: Biết hàm số fx=x2+a   neu x12x+b   neu x>1 có giới hạn khi x → 1. Giá trị của a – b bằng

A. – 1.

B. 0.

C. 1.

D. 3.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có limx1+fx=limx1+2x+b=2.1+b=2+b ;

limx1fx=limx1x+a=1+a.

Vì hàm số fx=x2+a   neu x12x+b   neu x>1 có giới hạn khi x → 1 nên limx1+fx=limx1fx , tức là 2 + b = 1 + a, từ đó suy ra a – b = 1.

Bài 5.34 trang 88 SBT Toán 11 Tập 1: Giới hạn limx1+x1x1 là

A. + ∞.

B. Không tồn tại.

C. 2.

D. 0.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Vì x → 1+ nên x > 1, suy ra x – 1 > 0, do đó x1 có nghĩa.

Ta có limx1+x1x1=limx1+x12x1=limx1+x1=11=0 .

Bài 5.35 trang 88 SBT Toán 11 Tập 1: Cho fx=x2xx . Khi đó, giới hạn limx0fx là

A. 0.

B. – 1.

C. 1.

D. Không tồn tại.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có limx0fx=limx0x2xx=limx0x2xx=limx0x+1=0+1=1 ;

limx0+fx=limx0+x2xx=limx0+x2xx=limx0+x1=01=1.

Suy ra limx0fxlimx0+fx .

Vậy không tồn tại giới hạn limx0fx .

Bài 5.36 trang 88 SBT Toán 11 Tập 1: Giới hạn limxx2+2xx là

A. + ∞.

B. 0.

C. – 2.

D. Không tồn tại.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có limxx2+2xx=limxx1+2x2xx

=limxx1+2x2xx=limx1+2x21=2.

Bài 5.37 trang 88 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hàm số fx=2                neu 1<x11x   neu x1 hoac x>1 . Mệnh đề đúng là

A. Hàm số f(x) liên tục trên [– 1; 1].

B. Hàm số f(x) liên tục trên (– 1; 1].

C. Hàm số f(x) liên tục trên [– 1; 1).

D. Hàm số f(x) liên tục trên ℝ.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

+ Với x < – 1 thì f(x) = 1 – x là hàm đa thức nên nó liên tục trên (– ∞; – 1).

+ Với – 1 < x < 1 thì f(x) = 2 luôn liên tục trên (– 1; 1).

+ Với x > 1 thì f(x) = 1 – x luôn liên tục trên (1; + ∞).

Do đó, hàm số đã cho liên tục trên các khoảng (– ∞; – 1); (– 1; 1) và (1; + ∞).

+ Xét tại điểm x = – 1, ta có f(– 1) = 1 – (– 1) = 2;

limx1fx=limx11x=11=2limx1+fx=limx1+2=2 .

Do đó, limx1fx=limx1+fx=f1 nên hàm số đã cho liên tục tại x = – 1.

+ Xét tại điểm x = 1, ta có f(1) = 2;

limx1fx=limx12=2limx1+fx=limx1+1x=11=0 .

Do đó, limx1fxlimx1+fx nên hàm số đã cho không liên tục tại x = 1.

Vậy hàm số f(x) liên tục trên [– 1; 1) là mệnh đề đúng.

Bài 5.38 trang 88 SBT Toán 11 Tập 1: Xét hàm số fx=x2+3x+2x+1   neu x1      m           neu x=1 với m là tham số. Hàm số f(x) liên tục trên ℝ khi

A. m = 0.

B. m = 3.

C. m = – 1.

D. m = 1.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Với x ≠ – 1 thì fx=x2+3x+2x+1 là hàm phân thức nên nó liên tục trên ℝ \{– 1}.

Vậy hàm số f(x) liên tục trên ℝ khi nó liên tục tại x = – 1.

Ta có limx1fx=limx1x2+3x+2x+1=limx1x+2x+1x+1=limx1x+2=1+2=1 .

Hàm số đã cho liên tục tại x = – 1 khi và chỉ khi limx1fx=f1 m=1 .

Bài 5.39 trang 89 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hàm số fx=xx1x1 . Hàm số này liên tục trên

A. (1; + ∞).

B. (– ∞; 1).

C. [1; + ∞).

D. (– ∞; 1].

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Biểu thức xx1x1 xác định khi x – 1 > 0, tức là x > 1.

Do đó, hàm số fx=xx1x1 có tập xác định là (1; + ∞).

Vậy hàm số này liên tục trên (1; + ∞).

Giải SBT Toán 11 trang 89

Bài 5.40 trang 89 SBT Toán 11 Tập 1: Cho phương trình x7 + x5 = 1. Mệnh đề đúng là

A. Phương trình có nghiệm âm.

B. Phương trình có nghiệm trong khoảng (0; 1).

C. Phương trình có nghiệm trong khoảng (1; 2).

D. Phương trình vô nghiệm.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Xét hàm số f(x) = x7 + x5 – 1.

Đây là hàm đa thức nên nó liên tục trên ℝ.

Do đó, hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0; 1] và [1; 2].

Ta có f(0) = 07 + 05 – 1 = – 1 < 0; f(1) = 17 + 15 – 1 = 1 > 0 và f(2) = 27 + 25 – 1 > 0.

Suy ra f(0) . f(1) < 0.

Do vậy tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (0; 1) sao cho f(c) = 0.

Từ đó suy ra f(x) = 0 hay phương trình x7 + x5 = 1 có nghiệm trong khoảng (0; 1).

Tự luận

Bài 5.41 trang 89 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (un) thỏa mãn |un| ≤ 1. Tính limn+unn+1 .

Lời giải:

Đặt vn=unn+1 , ta có vn=unn+11n+1 .

Mà 1n+10 khi n → + ∞.

Khi đó limn+vn=0 . Vậy limn+unn+1=0 .

Bài 5.42 trang 89 SBT Toán 11 Tập 1: Tìm giới hạn của dãy số (un) với un=n1+2++n2n2+3 .

Lời giải:

Vì 1, 2, …, n là một cấp số cộng gồm n số hạng với u1 = 1 và công sai d = 1.

Do đó 1 + 2 + … + n = nn+12 .

Ta có un=n1+2++n2n2+3=nnn+122n2+3=nnn+122n2+3 .

Vậy limn+un=limn+nnn+122n2+3=limn+1+1n22+3n2=122 .

Bài 5.43 trang 89 SBT Toán 11 Tập 1: Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số:

a) − 0,(31);

b) 2,(121).

Lời giải:

a) Ta có − 0,(31) = – (0,31 + 0,0031 + … + 0,00…31 + …)

=31100+311002++31100n+

=3110011100=3199 .

b) Ta có 2,(121) = 2 + 0,121 + 0,000121 + … + 0,000…121 + …

=2+1211000+12110002++1211000n+

=2+1211000111000=2+121999=2119999 .

Bài 5.44 trang 89 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hình vuông H1 có cạnh bằng a. Chia mỗi cạnh của hình vuông này thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông H2. Lặp lại cách làm như trên với hình vuông H2 để được hình vuông H3. Tiếp tục quá trình trên ta nhận được dãy hình vuông H1, H2, H3, …, Hn, … Gọi sn là diện tích của hình vuông Hn.

Cho hình vuông H1 có cạnh bằng a. Chia mỗi cạnh của hình vuông này thành bốn phần bằng nhau

a) Tính sn.

b) Tính tổng T = s1 + s2 + … + sn + …

Lời giải:

a) Áp dụng định lí Pythagore, ta có cạnh của hình vuông H2 là

a2=a42+3a42=a58.

Khi đó diện tích của hình vuông H2 là s2=a582=58a2 .

Mà diện tích của hình vuông H1 là s1 = a2.

Do đó, s2=58a2=58s1 .

Lí luận tương tự, ta có s3=58s2,….,sn=58sn1=58n1a2 .

b) Ta có T = s1 + s2 + … + sn + … =a21+58+582++58n1+ .

Vì 1,58,582,…,58n1,… là cấp số nhân lùi vô hạn với u1 = 1 và công bội q = 58 nên

1+58+582++58n1+=1158=83.

Vậy T=8a23 .

Bài 5.45 trang 89 SBT Toán 11 Tập 1: Tìm a là số thực thỏa mãn limx+2x2+1x2+2x+3+a2+3a=0 .

Lời giải:

Ta có limx+2x2+1x2+2x+3+a2+3a=limx+2+1x21+2x+3x2+a2+3a = 2 + a2 + 3a.

Để limx+2x2+1x2+2x+3+a2+3a=0 thì 2 + a2 + 3a = 0.

Giải phương trình bậc hai a2 + 3a + 2 = 0 ta được a = – 1 và a = – 2.

Vậy a ∈ {– 1; – 2} thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài 5.46 trang 89 SBT Toán 11 Tập 1: Tính các giới hạn sau:

a) limxxx+12x15x3+x+7 ;

b) limxx312x5 ;

c) limx+x3+x2+13x .

Lời giải:

a)limxxx+12x15x3+x+7=limxx31+1x21xx35+1x2+7x3

=limx1+1x21x5+1x2+7x3=25.

b)limxx312x5=limxx311x3x52x51

=limxx811x32x51=.

c)limx+x3+x2+13x

=limx+x3+x2+1x3x3+x2+123+xx3+x2+13+x2

=limx+x2+1x3+x2+123+xx3+x2+13+x2

=limx+1+1x21+1x+1x323+1+1x+1x33+1=13

Giải SBT Toán 11 trang 90

Bài 5.47 trang 90 SBT Toán 11 Tập 1: Tính limx1x12x12018x .

Lời giải:

Ta có limx1x12x12018x

=limxx20181x11x21x2018=+.

Bài 5.48 trang 90 SBT Toán 11 Tập 1: Biết limx0sinxx=1 . Hãy tính:

a) limx0sinxx3 ;

b) limx0+sinxx2 ;

c) limx0sinxx2 .

Lời giải:

a) limx0sinxx3=limx0sinxx.1x2=limx0sinxxx2 .

Vì limx0sinxx=1 > 0; limx0x2=0 và x2 > 0 nên limx0sinxx3=+ .

b) limx0+sinxx2=limx0+sinxxx .

Vì limx0sinxx=1 nên limx0+sinxx=1>0 ; và x > 0 nên limx0+sinxx2=+ .

c) limx0sinxx2=limx0sinxxx .

Vì limx0sinxx=1 nên limx0sinxx=1>0 ; limx0x=0 và x < 0 nên limx0sinxx2= .

Bài 5.49 trang 90 SBT Toán 11 Tập 1: Tính limx0xsin1x .

Lời giải:

Đặt fx=xsin1x . Lấy dãy số (xn) bất kì thỏa mãn xn → 0. Khi đó

fxn=xn.sin1xnxn0.

Do đó limn+fxn=0 .

Vậy limx0xsin1x=0 .

Bài 5.50 trang 90 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hàm số fx=x11xx . Phải bổ sung thêm giá trị f(0) bằng bao nhiêu để hàm số f(x) liên tục tại x = 0?

Lời giải:

Biểu thức x11xx có nghĩa khi x101x0x0x1x1x0x=1 .

Do đó, tập xác định của hàm số fx=x11xx là D = {1}.

Mà x = 0 không thuộc tập xác định của hàm số nên hàm số đã cho không liên tục tại x = 0.

Vậy không có giá trị của f(0) thỏa mãn.

Bài 5.51 trang 90 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hàm số fx=1x   neu x02   neu x=0 .

a) Chứng minh rằng f(– 1) ∙ f(1) < 0.

b) Chứng minh rằng phương trình f(x) = 0 không có nghiệm thuộc khoảng (– 1; 1).

c) Có kết luận gì về tính liên tục của hàm số f(x) trên đoạn [– 1; 1]?

Lời giải:

a) Ta có f1=11=1 ; f1=11=1 .

Do đó, f(– 1) ∙ f(1) = (– 1) . (1) = – 1 < 0.

b) Ta thấy f(0) = 2 và fx=1x0x1;1\0nên phương trình f(x) = 0 không có nghiệm thuộc khoảng (– 1; 1).

c) Ta có limx0+fx=limx0+1x=+và limx0fx=limx01x=.

Suy ra limx0+fx=limx0fx. Nên hàm số đã cho không liên tục tại x = 0.

Vậy hàm số f(x) không liên tục trên đoạn [– 1; 1].

Bài 5.52 trang 90 SBT Toán 11 Tập 1: Một điểm dịch vụ trông giữ xe ô tô thu phí 30 nghìn đồng trong giờ đầu tiên và thu thêm 20 nghìn đồng cho mỗi giờ tiếp theo

a) Viết hàm số f(x) mô tả số tiền phí theo thời gian trông giữ.

b) Xét tính liên tục của hàm số này.

Lời giải:

a) Theo bài ra ta có hàm số f(x) mô tả số tiền phí theo thời gian trông giữ là

fx=30khi0<x130+20x1khix>1=30khi0<x110+20xkhix>1.

b)

+ Với 0 < x < 1 thì f(x) = 30 luôn liên tục trên (0; 1).

+ Với x > 1 thì f(x) = 10 + 20x là hàm đa thức nên nó luôn liên tục trên (1; +∞).

Ta xét tại điểm x = 1, ta có:

f(1) = 30; limx1fx=limx130=30 và limx1+fx=limx1+10+20x=10+20.1=30.

Suy ra f1=limx1fx=limx1+fxnên hàm số f(x) liên tục tại x = 1.

Vậy hàm số f(x) liên tục trên khoảng (0; + ∞).

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 4

Bài 15: Giới hạn của dãy số

Bài 16: Giới hạn của hàm số

Bài 17: Hàm số liên tục

Bài tập cuối chương 5



Link Hoc va de thi 2024

Chuyển đến thanh công cụ