■Bài tập cuối chương 2

a) Số vô tỉ

– Khái niệm số vô tỉ

Trong đời sống thực tiễn của con người, ta thường gặp những số không phải là số hữu tỉ, những số đó được gọi là số vô tỉ.

– Số thập phân vô hạn không tuần hoàn

Số thập phân 0,333… = 0.(3) có vô số chữ số khác 0 ở phần thập phân của số đó. Những số thập phân như vậy gọi là số thập phân vô hạn. Tuy nhiên, có những số thập phân vô hạn mà ở phẩn thập phân của nó không có một chu kì nào cả, chẳng hạn, hai số 0,01001000100001000001… và – 5,02002000200002000002… Những số như vậy được gọi là số thập phân vô hạn không tuân hoàn.

– Biểu diễn thập phân của số vô tỉ

Số vô tỉ là số viết được dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn.

b) Căn bậc hai số học

Căn bậc hai số học của một số a không âm, kí hiệu (sqrt a ), là số x không âm sao cho x2 = a.

Chú ý:

– Căn bậc hai số học của số (aleft( {a ge 0} right)) được kí hiệu là (sqrt a ). 

– Căn bậc hai số học của số 0 là số 0, viết là (sqrt 0  = 0)

– Cho (a ge 0). Khi đó:

+ Đẳng thức (sqrt a  = b) đúng nếu (b ge 0;{b^2} = a)

+ ({left( {sqrt a } right)^2} = a)

1.2. Tập hợp R các số thực

a) Tập hợp số thực

+ Số hữu tỉ và số vô tỉ gọi chung là số thực + Tập hợp các số thực được kí hiệu là R.

– Biểu diễn thập phân của số thực

Mỗi số thực là số hữu tỉ hoặc số vô tỉ. Vì thế, mỗi số thực đều biêu diện được dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn. Cụ thể, ta có sơ đồ sau:

b) Biểu diễn số thực trên trục số

+ Do (sqrt 2 ) không phải là số hữu tỉ mà là số vô tỉ nên không phải mỗi điểm trên trục số đều biểu diễn một số hữu tỉ. Vậy các điểm biểu diễn số hữu tỉ không lấp đây trục số.

+ Người ta chứng minh được rằng: Mỗi số thực được biểu diễn bởi một điểm trên trục số; Ngược lại, mỗi điểm trên trục số đều biểu diễn một số thực.

Vì thế, trục số còn được gọi là trục số thực (Hình 4).

c) Số đối của một số thực

* Trên trục số, hai số thực (phân biệt) có điểm biểu diễn nằm về hai phía của điểm gốc 0 và cách đều điểm gốc 0 được gọi là hai số đối nhau. * Số đối của số thực a kí hiệu là – a. * Số đối của số 0 là 0.

Nhận xét: Số đối của số – a là số a, tức là – (- a) = a.

* So sánh 2 số thực

– Cũng như số hữu tỉ, trong hai số thực khác nhau luôn có một số nhỏ hơn số kia.

+ Nếu số thực a nhỏ hơn số thực b thì ta viết a < b hay b > a.

+ Số thực lồn hơn 0 gọi là số thực dương.

+ Số thực nhỏ hơn 0 gọi là số thực âm.

+ Số 0 không phải là số thực dương cũng không phải là số thực âm.

+ Nếu a < b và b < c thì a < c.

* Cách so sánh hai số thực

– Ta viết chúng về cùng dạng phân số (hoặc dạng số thập phân) rồi so sánh chúng.

– Các số thực đều viết được dưới dạng số thập phân ( hữu hạn hay vô hạn). Ta có thể so sánh 2 số thực tương tự như so sánh số thập phân.

Chú ý: Nếu 0 < a < b thì (sqrt a  < sqrt b )

* Minh họa trên trục số

– Giả sử hai điểm x, y lần lượt biểu diễn hai số thực x, y trên trục số nằm ngang. Ta thừa nhận nhận xét sau:

+ Nếu x < y hay y > x thì điểm x nằm bên trái điểm y;

+ Ngược lại, nếu điểm x nằm bên trái điểm y thì x < y hay y > x.

– Đối với hai điểm x, y lần lượt biểu diễn hai số thực x, y trên trục số thẳng đứng, ta cũng thừa nhận nhận xét sau:

+ Nếu x< y hay y > x thì điểm x nằm phía dưới điểm y;

+ Ngược lại, nếu điểm x nằm phía dưới điểm y thì x < y hay y > x.

1.3. Giá trị tuyệt đối của một số thực

a) Khái niệm

Khoảng cách từ điểm x đến điểm gốc O trên trục số được gọi là giá trị tuyệt đối của số x, kí hiệu là |x|.

Nhận xét:

+ Giá trị tuyệt đối của một số luôn là một số không âm: (left| x right| ge 0) với mọi số thực x.

+ Hai số đối nhau thì có giá trị tuyệt đối bằng nhau

b) Tính chất

+ Nếu x là số dương thì giá trị tuyệt đối của x là chính nó: |x| = x (x > 0). + Nếu x là số âm thì giá trị tuyệt đối của x là số đối của nó: |x| = x (x < 0). + Giá trị tuyệt đối của 0 là 0: |0| = 0

Nhận xét: Với mỗi số thực x ta có:

(begin{array}{l}
*left| x right| = left{ begin{array}{l}
x;;neu;;;x ge 0\
x;;neu;;;x le 0
end{array} right.\
*left| { – x} right| = left| x right|
end{array})

Chú ý: Giả sử 2 điểm A và B lần lượt biểu diễn 2 số thực a và b khác nhau trên trục số. Khi đó, độ dài của đoạn thẳng AB là |a – b|, tức là AB = |a – b|.

1.4. Làm tròn và ước lượng

a) Làm tròn số

Ở nhiều tình huống thực tiễn, ta cần tìm một số thực khác xấp xỉ với số thực đã cho để thuận tiện hơn trong ghi nhớ, đo đạc hay tính toán. Số thực tìm được như thế được gọi là số làm tròn của số thực đã cho.

b) Làm tròn số thập phân căn cứ vào độ chính xác cho trước

Nhận xét: Khi làm tròn số 144 đến hàng chục ta được số 140. Trên trục số nằm ngang, khoảng cách giữa điểm 140 và điểm 144 là 144 – 140 = 4. Khoảng cách đó không vượt quá 5.

Ta nói số 144 được làm tròn đến số 140 với độ chính xác 5.

Ta nói số a được làm tròn đến số b với độ chính xác d nếu khoảng cách giữa điểm a và điểm b trên trục số không vượt quá d.

Nhận xét

+ Khi làm tròn số đến một hàng nào đó thì độ chính xác bằng nửa đơn vị của hàng làm tròn (xem mình hoạ ở Bảng 1).

+ Để làm tròn số với độ chính xác cho trước, ta có thể sử dụng cách nêu trong Bảng 2.

Chú ý: Trong đo đạc và tính toán thực tiễn, ta thường cố gắng làm tròn số thực với độ chính xác d càng nhỏ càng tốt. Trong thực tế, làm tròn số thực là một công việc có nhiều khó khăn. Tuy nhiên, người ta cũng biết một số cách để làm tròn số thực.

b) Ước lượng

Trong thực tiên, đôi lúc ta không quá quan tâm đến tính chính xác của kết quả tính toán mà chỉ cần ước lượng kết quả, tức là tìm một số gần sát với kết quả chính xác.

1.5. Tỉ lệ thức

a) Định nghĩa

Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số (frac{a}{b}) và (frac{c}{d}) , viết là (frac{a}{b} = frac{c}{d}).

Tỉ lệ thức (frac{a}{b} = frac{c}{d}) còn được viết là a : b = c : d; các số a, b, c, d gọi là các số hạng của tỉ lệ thức. 

Chẳng hạn, tỉ lệ thức (frac{{12}}{{28}} = frac{{7,5}}{{17,5}}) còn được viết là 12 : 28 = 7,5 : 17,5.

b) Tính chất

* Tính chất 1

Nếu (frac{a}{b} = frac{c}{d}) thì ad = bc.

Ví dụ: (frac{{ – 24}}{{30}} = frac{8}{{ – 10}}) thì (-24). (-10) = 30 . 8

* Tính chất 2

Nếu ad = bc và a, b, c, d khác 0 thì ta có các tỉ lệ thức: (frac{a}{b} = frac{c}{d};frac{a}{c} = frac{b}{d};frac{d}{b} = frac{c}{a};frac{d}{c} = frac{b}{a}).

Nhận xét: Với a, b, c, d đều khác 0 thì từ một trong năm đẳng thức sau đây, ta có thể suy ra các đẳng thức còn lại:

1.6. Dãy số bằng nhau

a) Khái niệm

Những tỉ số bằng nhau và được viết nối với nhau bởi các dấu đẳng thức tạo thành dãy tỉ số bằng nhau.

Chú ý:

+ Với dãy tỉ số bằng nhau (frac{a}{b} = frac{c}{d} = frac{e}{g}), ta cũng có thể viết a : b = c : d = e : g 

+ Khi có dãy tỉ số bằng nhau (frac{a}{b} = frac{c}{d} = frac{e}{g}), ta nói các số a, c, e tỉ lệ với các số b, d, g và viết là a : c : e = b : d : g.

b) Tính chất

Từ tỉ lệ thức (frac{a}{b} = frac{c}{d}), ta suy ra: (frac{a}{b} = frac{c}{d} = frac{{a + c}}{{b + d}} = frac{{a – c}}{{b – d}}(b ne d;b ne  – d))

Nhận xét:

Tính chất trên còn được mở rộng cho dãy tỉ số bằng nhau. Chẳng hạn, từ dãy tỉ số bằng nhau (frac{a}{b} = frac{c}{d} = frac{e}{g}), ta suy ra:

(frac{a}{b} = frac{c}{d} = frac{e}{g} = frac{{a + c + e}}{{b + d + g}} = frac{{a – c + e}}{{b – d + g}}) (giả thiết các tỉ số đều có nghĩa).

 

1.7. Đại lượng tỉ lệ thuận

a) Khái niệm

Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức y = k.x (k là hằng số khác 0) thì y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k.

Chú ý: Nếu y tỉ lệ thuận với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ k thì x tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ (frac{1}{k}). Ta nói x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau.

b) Tính chất

Nếu 2 đại lượng tỉ lệ thuận với nhau thì: + Tỉ số hai đại lượng tương ứng của chúng luôn không đổi. + Tỉ số hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia.

Cụ thể: Nếu y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k. Với mỗi giá trị x1 , x2 , x3 ,… khác 0 của x, lần lượt tương ứng với giá trị y1 , y2 , y3 ,… của y thì:

+ (frac{{{y_1}}}{{{x_1}}} = frac{{{y_2}}}{{{x_2}}} = frac{{{y_3}}}{{{x_3}}} = …. = k)

+ (frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} = frac{{{y_1}}}{{{y_2}}};frac{{{x_1}}}{{{x_3}}} = frac{{{y_1}}}{{{y_3}}};…)

1.8. Đại lượng tỉ lệ nghịch

a) Khái niệm

Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức (y = frac{a}{x}) hay xy = a (với a là một hằng số khác 0) thì ta nói y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a.

Nếu y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a thì x cũng tỉ lệ nghịch với y theo hệ số tỉ lệ a. Ta nói x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau.

b) Tính chất

Nếu hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau thì: * Tích hai giá trị tương ứng của chúng luôn không đổi (bằng hệ số tỉ lệ); * Tỉ số hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng nghịch đảo của tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia.

Cụ thể: Giả sử y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a. Với mỗi giá trị ({x_{1,}}{x_2},{x_3},…) khác 0 của x, ta có một giá trị tương ứng ({y_{1,}}{y_2},{y_3},…) của y. Khi đó:

* ({x_1}{y_1} = {x_2}{y_2} = {x_3}{y_3} = … = a) hay (frac{{{x_1}}}{{frac{1}{{{y_1}}}}} = frac{{{x_2}}}{{frac{1}{{{y_2}}}}} = frac{{{x_3}}}{{frac{1}{{{y_3}}}}} = … = a;)

* (frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} = frac{{{y_2}}}{{{y_1}}};frac{{{x_1}}}{{{x_3}}} = frac{{{y_3}}}{{{y_1}}};…)