Đề bài
Cho tứ giác ABCD gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD . Chứng minh rằng
a) (overrightarrow {AC} + overrightarrow {BD} = 2overrightarrow {MN} )
b) (overrightarrow {AC} + overrightarrow {BD} = overrightarrow {BC} + overrightarrow {AD} )
Phương pháp giải – Xem chi tiết
Chèn điểm M: (overrightarrow {AB} = overrightarrow {AM} + overrightarrow {MB} ),
Tính chất trung điểm (overrightarrow {MA} + overrightarrow {MB} = overrightarrow 0 )
}
Lời giải chi tiết
a) (overrightarrow {AC} + overrightarrow {BD} = overrightarrow {AM} + overrightarrow {MN} + overrightarrow {NC} + overrightarrow {BM} + overrightarrow {MN} + overrightarrow {ND} \= left( {overrightarrow {AM} + overrightarrow {BM} } right) + left( {overrightarrow {MN} + overrightarrow {MN} } right) + left( {overrightarrow {NC} + overrightarrow {ND} } right) \= overrightarrow 0 + 2overrightarrow {MN} + overrightarrow 0 = 2overrightarrow {MN} ) (đpcm)
b) (overrightarrow {AC} + overrightarrow {BD} = overrightarrow {BC} + overrightarrow {AD} )
()(overrightarrow {BC} + overrightarrow {AD} = overrightarrow {BM} + overrightarrow {MN} + overrightarrow {NC} + overrightarrow {AM} + overrightarrow {MN} + overrightarrow {ND} )
(left( {overrightarrow {BM} + overrightarrow {AM} } right) + left( {overrightarrow {MN} + overrightarrow {MN} } right) + left( {overrightarrow {NC} + overrightarrow {ND} } right) = 2overrightarrow {MN} )
Mặt khác ta có: (overrightarrow {AC} + overrightarrow {BD} = 2overrightarrow {MN} )
Suy ra (overrightarrow {AC} + overrightarrow {BD} = overrightarrow {BC} + overrightarrow {AD} )
Cách 2:
(begin{array}{l}
overrightarrow {AC} + overrightarrow {BD} = overrightarrow {BC} + overrightarrow {AD} \
Leftrightarrow overrightarrow {AC} – overrightarrow {AD} = overrightarrow {BC} – overrightarrow {BD} \
Leftrightarrow overrightarrow {DC} = overrightarrow {DC} (đpcm)
end{array})