Đề bài
Cho hình bình hành ABCD
a) Chứng minh (2left( {A{B^2} + B{C^2}} right) = A{C^2} + B{D^2})
b) Cho (AB = 4,BC = 5,BD = 7.) Tính AC.
Phương pháp giải – Xem chi tiết
a)
Bước 1. Tính góc AC, BD theo AB, BC, cosA dựa vào định lí cosin
Bước 2: Biến đối để suy ra đẳng thức
b) Theo câu a: (A{C^2} = 2left( {A{B^2} + B{C^2}} right) – B{D^2}), từ đó suy ra AC.
Lời giải chi tiết
a) Áp dụng định lí cosin ta có:
(left{ begin{array}{l}A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} – 2.AB.BC.cos B\B{D^2} = A{B^2} + A{D^2} – 2.AB.AD.cos Aend{array} right.)
Mà (AD = BC;cos A = cos ({180^ circ } – B) = – cos B)
(begin{array}{l} Rightarrow left{ begin{array}{l}A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} + 2.AB.BC.cos A\B{D^2} = A{B^2} + B{C^2} – 2.AB.AD.cos Aend{array} right.\ Rightarrow A{C^2} + B{D^2} = 2left( {A{B^2} + B{C^2}} right)end{array})
b) Theo câu a, ta suy ra: (A{C^2} = 2left( {A{B^2} + B{C^2}} right) – B{D^2})
(begin{array}{l} Rightarrow A{C^2} = 2left( {{4^2} + {5^2}} right) – {7^2} = 33\ Rightarrow AC = sqrt {33} end{array})