Bài tập phương trình mũ – Lấy logarit hai vế phương trình (logarit hóa) có đáp án
Phương pháp giải tổng quát logarit hóa là gì ?
Phương trình dạng: ${{a}^{fleft( x right)}}={{a}^{gleft( x right)}}$, với $a.b=1,left( 1ne a;b>0 right)$ ta sẽ giải như sau:
Lấy logarit 2 vế với cơ số a ta được: ${{log }_{a}}{{a}^{fleft( x right)}}={{log }_{a}}{{a}^{gleft( x right)}}Leftrightarrow fleft( x right)=gleft( x right){{log }_{a}}b$
Một số bài tập trắc nghiệm để biết Cách chọn cơ số trong phương pháp logarit hóa
| Bài tập 1: Giải các phương trình sau
a) ${{7}^{x}}{{.27}^{left( 1-frac{1}{x} right)}}=3087$ b) ${{8}^{frac{x}{x+2}}}={{36.3}^{2-x}}$ |
Lời giải chi tiết
a) ĐK: $xne 0$.Ta có: ${{7}^{x}}{{.27}^{left( 3frac{x-1}{x} right)}}={{7}^{3}}{{.3}^{2}}Leftrightarrow {{7}^{x-3}}={{3}^{2-frac{3x-3}{x}}}Leftrightarrow {{7}^{x-3}}={{3}^{frac{-x+3}{x}}}$
Logarit cơ số 3 cả 2 vế ta được: ${{log }_{3}}{{7}^{x-3}}={{log }_{3}}{{3}^{frac{-x+3}{x}}}$
$Leftrightarrow left( x-3 right){{log }_{3}}7=-frac{x-3}{3}Leftrightarrow left[ begin{array} {} x=3 \ {} {{log }_{3}}7=-frac{1}{x} \ end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array} {} x=3 \ {} x=frac{-1}{{{log }_{3}}7} \ end{array} right.$
b) ĐK: $xne -2$, $PTLeftrightarrow {{2}^{frac{3x}{x+2}}}={{2}^{2}}{{.3}^{2}}{{.3}^{2-x}}Leftrightarrow {{2}^{frac{3x}{x+2}-2}}={{3}^{4-x}}Leftrightarrow {{2}^{frac{3x}{x+2}}}={{3}^{4-x}}$
Logarit cơ số 2 cả 2 vế ta được: $frac{x-4}{x+2}=left( 4-x right){{log }_{2}}3Leftrightarrow left[ begin{array} {} x=4 \ {} frac{1}{x+2}=-{{log }_{2}}3Leftrightarrow x=-2-{{log }_{3}}2 \ end{array} right.$
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là: $x=4;x=-2-{{log }_{3}}2$.
| Bài tập 2: Giải các phương trình sau
a)${{3}^{x}}{{.2}^{x+1}}=72$ b) ${{5}^{x}}{{.3}^{{{x}^{2}}}}=1$ c) ${{7}^{3x}}+{{9.5}^{2x}}={{5}^{2x}}+{{9.7}^{3x}}$ |
Lời giải chi tiết
a) ${{3}^{x}}{{.2}^{x+1}}=72Leftrightarrow frac{{{3}^{x}}{{.2}^{x+1}}}{9.8}=1Leftrightarrow {{3}^{x-2}}{{.2}^{x-2}}=1Leftrightarrow {{6}^{x-2}}=1to x=2$
Vậy phương trình có nghiệm $x=1$.
b) ${{5}^{x}}{{.3}^{{{x}^{2}}}}=1Leftrightarrow {{log }_{3}}left( {{5}^{x}}{{.3}^{{{x}^{2}}}} right)={{log }_{3}}1Leftrightarrow {{log }_{3}}{{5}^{x}}+{{log }_{3}}{{3}^{{{x}^{2}}}}=0Leftrightarrow x{{log }_{3}}5+{{x}^{2}}=0$
$Leftrightarrow xleft( {{log }_{3}}5+x right)=0to left[ begin{array} {} x=0 \ {} x=-{{log }_{3}}5 \ end{array} right.$
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm $x=0$ và $x=-{{log }_{3}}5$.
c) ${{7}^{3x}}+{{9.5}^{2x}}={{5}^{2x}}+{{9.7}^{3x}}Leftrightarrow {{8.7}^{3x}}={{8.5}^{2x}}Leftrightarrow {{7}^{3x}}={{5}^{2x}}Leftrightarrow lg left( {{7}^{3x}} right)=lg left( {{5}^{2x}} right)Leftrightarrow 3x.lg 7-2x.lg 5=0$
$to xleft( 3lg 7-2lg 5 right)=0Leftrightarrow x=0$
Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=0$.
| Bài tập 3: Giải các phương trình sau
a) ${{5}^{x}}{{.8}^{frac{x+1}{x}}}=500$ b) ${{5}^{x}}{{.2}^{frac{2x-1}{x+1}}}=50$ |
Lời giải chi tiết
a) ${{5}^{x}}{{.8}^{frac{x+1}{x}}}=500$ , (1) Điều kiện: $xne 0$
$left( 1 right)Leftrightarrow {{5}^{x}}{{.2}^{3frac{x+1}{x}}}={{5}^{3}}{{.2}^{2}}Leftrightarrow {{2}^{frac{x-3}{x}}}={{5}^{3-x}}Leftrightarrow {{log }_{2}}left( {{2}^{frac{x-3}{x}}} right)={{log }_{2}}left( {{5}^{3-x}} right)Leftrightarrow frac{x-3}{x}=left( 3-x right){{log }_{2}}5$
$Leftrightarrow left( x-3 right)left( frac{1}{x}+{{log }_{2}}5 right)=0to left[ begin{array} {} x=3 \ {} x=-frac{1}{{{log }_{2}}5}=-{{log }_{5}}2 \ end{array} right.$
b) ${{5}^{x}}{{.2}^{frac{2x-1}{x+1}}}=50$ , (2) Điều kiện: $xne -1$
$left( 2 right)Leftrightarrow {{5}^{x}}{{.2}^{frac{2x-1}{x+1}}}={{5}^{2}}.2Leftrightarrow {{5}^{x-2}}{{.2}^{frac{2x-1}{x-1}-1}}=1Leftrightarrow {{log }_{2}}left( {{5}^{x-2}}{{.2}^{frac{2x-1}{x-1}-1}} right)={{log }_{2}}1=0$
$frac{2x-1}{x+1}-1+left( x-2 right){{log }_{2}}5=0Leftrightarrow x-2+left( x-2 right)left( x+1 right){{log }_{2}}5=0to left[ begin{array} {} x-2=0 \ {} 1+left( x+1 right){{log }_{2}}5=0 \ end{array} right.$
$Leftrightarrow left[ begin{array} {} x=2 \ {} x=-frac{left( 1+{{log }_{2}}5 right)}{{{log }_{2}}5}=-frac{1}{lg 5} \ end{array} right.$
Vậy phương trình có hai nghiệm $x=2;x=-frac{1}{lg 5}$.
| Bài tập 4: Giải các phương trình sau
a) ${{2}^{x-3}}={{5}^{{{x}^{2}}-5x+6}}$ b) ${{x}^{2lg x}}=10x$ |
Lời giải chi tiết
a) ${{2}^{x-3}}={{5}^{{{x}^{2}}-5x+6}}Leftrightarrow {{log }_{2}}left( {{2}^{x-3}} right)={{log }_{2}}left( {{5}^{{{x}^{2}}-5x+6}} right)Leftrightarrow x-3=left( {{x}^{2}}-5x+6 right){{log }_{2}}5$
$Leftrightarrow left( x-3 right)left[ 1-left( x-2 right){{log }_{2}}5 right]=0to left[ begin{array} {} x-3=0 \ {} x+{{log }_{2}}5=1+2{{log }_{2}}5 \ end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array} {} x=3 \ {} x=frac{{{log }_{2}}50}{{{log }_{2}}5}={{log }_{2}}50 \ end{array} right.$
Vậy phương trình có hai nghiệm $x=3;x={{log }_{5}}50$
b) ${{x}^{2lg x}}=10x$ , (4). Điều kiện: $x>0$
$left( 4 right)Leftrightarrow lg left( {{x}^{2lg x}} right)=lg left( 10x right)Leftrightarrow 2{{lg }^{2}}x-lg x-1=0Leftrightarrow left[ begin{array} {} lg x=1 \ {} lg x=frac{1}{2} \ end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array} {} x=10 \ {} x=sqrt{10} \ end{array} right.$
Vậy phương trình có hai nghiệm $x=10;x=sqrt{10}$
| Bài tập 5: Gọi ${{x}_{1}}$ và ${{x}_{2}}$ là 2 nghiệm của phương trình ${{2}^{x-3}}={{3}^{{{x}^{2}}-5x+6}}$. Tính $P=left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} right|$
A. $P={{log }_{3}}frac{3}{2}$. B. $P={{log }_{3}}frac{2}{3}$. C. $P={{log }_{3}}frac{9}{4}$. D. $P={{log }_{3}}frac{4}{9}$. |
Lời giải chi tiết
Logarit cơ số 3 cả 2 vế ta được: $left( x-3 right){{log }_{3}}2=left( {{x}^{2}}-5x+6 right)$
$Leftrightarrow left( x-3 right){{log }_{3}}2=left( x-3 right)left( x-2 right)Leftrightarrow left[ begin{array} {} x=3 \ {} x-2={{log }_{3}}2Leftrightarrow left[ begin{array} {} x=3 \ {} x=2+{{log }_{3}}2 \ end{array} right. \ end{array} right.$
Suy ra $P=left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} right|=left| 1-{{log }_{3}}2 right|={{log }_{3}}frac{3}{2}$. Chọn A.
| Bài tập 6: Gọi ${{x}_{1}}$ và ${{x}_{2}}$ là 2 nghiệm của phương trình ${{5}^{{{x}^{2}}-5x+6}}={{2}^{x-3}}$. Biết ${{x}_{1}}>{{x}_{2}}$, tính $P=2{{x}_{1}}-{{x}_{2}}$
A. $P=4-{{log }_{2}}5$. B. $P=4-{{log }_{5}}2$. C. $P=1-{{log }_{5}}2$. D. $P=1+{{log }_{5}}2$. |
Lời giải chi tiết
Logarit cơ số 5 cả 2 vế ta được: $left( {{x}^{2}}-5x+6 right)=left( x-3 right){{log }_{5}}2$
$Leftrightarrow left( x-2 right)left( x-3 right)=left( x-3 right){{log }_{2}}5Leftrightarrow left[ begin{array} {} x=3 \ {} x-2={{log }_{5}}2 \ end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array} {} x=3 \ {} x=2+{{log }_{5}}2 \ end{array} right.$
Vì ${{x}_{1}}>{{x}_{2}}$ nên ${{x}_{1}}=3;{{x}_{2}}=2+{{log }_{5}}2Rightarrow P=6-left( 2+{{log }_{5}}2 right)=4-{{log }_{5}}2$. Chọn B.
| Bài tập 7: Biết tổng các nghiệm của phương trình ${{2}^{x+3}}={{5}^{{{x}^{2}}+2x-3}}$ bằng $a+b{{log }_{5}}2$ với $left( a;bin mathbb{Z} right)$. Tính $a+b$
A. $a+b=1$. B. $a+b=-1$. C. $a+b=-5$. D. $a+b=5$. |
Lời giải chi tiết
Logarit cơ số 5 cả 2 vế ta được: $left( x+3 right){{log }_{5}}2={{x}^{2}}+2x-3=left( x-1 right)left( x+3 right)$
$Leftrightarrow left[ begin{array} {} x=-3 \ {} x-1={{log }_{5}}2Leftrightarrow x=1+{{log }_{5}}2 \ end{array} right.Rightarrow {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-2+{{log }_{5}}2Rightarrow a=-2;b=1Rightarrow a+b=-1$. Chọn B.