Bài toán Tìm điểm cố định và điểm có tọa độ nguyên thuộc đồ thị hàm số
þ Tìm điểm cố định:
Gọi $Mleft( {{x}_{0}};{{y}_{0}} right)$ là điểm cố định mà đồ thị hàm số $y=fleft( x right)$ luôn đi qua.
Khi đó ${{y}_{0}}=fleft( {{x}_{0}} right)$ biến đổi phương trình về dạng $m.left[ gleft( {{x}_{0}};{{y}_{0}} right) right]+hleft( {{x}_{0}};{{y}_{0}} right)=0$
Giải hệ phương trình $left{ begin{array}{*{35}{l}} gleft( {{x}_{0}};{{y}_{0}} right)=0 \ hleft( {{x}_{0}};{{y}_{0}} right)=0 \end{array} right.Rightarrow $ Tọa độ điểm M.
þ Tìm điểm có tọa độ nguyên:
Điểm $Mleft( x;y right)in left( C right):y=fleft( x right)$ có tọa độ nguyên nếu tọa độ điểm $Mleft( x;y right)$ thỏa mãn $left{ begin{array}{*{35}{l}} y=fleft( x right) \ xin mathbb{Z} \ yin mathbb{Z} \end{array} right.$
Bài tập Tìm điểm cố định và điểm có tọa độ nguyên thuộc đồ thị hàm số có đáp án
|
Bài tập 1: Cho hàm số $left( C right):y={{x}^{4}}+m{{x}^{2}}-m-1$. Tọa độ các điểm cố định thuộc đồ thị $left( C right)$ là A. $left( -1;0 right)$ và $left( 1;0 right).$ B. $left( 1;0 right)$ và $left( 0;1 right).$ C. $left( -2;1 right)$ và $left( -2;3 right).$ D. $left( 2;1 right)$ và $left( 0;1 right).$ |
Lời giải chi tiết
Gọi $Mleft( {{x}_{0}};y{{ {} }_{0}} right)$ là tọa độ điểm cố định của $left( C right)$ ta có: ${{y}_{0}}=x_{0}^{4}+mx_{0}^{2}-m-1,,left( forall min mathbb{R} right)$
$Leftrightarrow mleft( x_{0}^{2}-1 right)+x_{0}^{4}-y_{0}^{2}-1=0,,left( forall min mathbb{R} right)Leftrightarrow left{ begin{array}{*{35}{l}} x_{0}^{2}-1=0 \ x_{0}^{4}-y_{0}^{2}-1=0 \end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{*{35}{l}} {{x}_{0}}=pm 1 \ y_{0}^{2}=0 \end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array}{*{35}{l}} {{x}_{0}}=-1;{{y}_{0}}=0 \ {{x}_{0}}=1;{{y}_{0}}=0 \end{array} right.$ Vậy tọa độ các điểm cố định thuộc đồ thị $left( C right)$ là $left( -1;0 right)$ và $left( 1;0 right)$. Chọn A.
|
Bài tập 2: Gọi các điểm $M,N$ là các điểm cố định mà đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+3mx-1left( C right)$ luôn đi qua. Tính độ dài $MN$. A. $MN=1.$ B. $MN=sqrt{2}.$ C. $MN=2.$ D. $MN=4.$ |
Lời giải chi tiết
Gọi $Mleft( {{x}_{0}};{{y}_{0}} right)$ là tọa độ điểm cố định thuộc $left( C right)$ ta có: ${{y}_{0}}=x_{0}^{3}-3mx_{0}^{2}+3m{{x}_{0}}-1,left( forall min mathbb{R} right)$
$Leftrightarrow 3mleft( x_{0}^{2}-{{x}_{0}} right)+{{y}_{0}}+1-x_{0}^{3}=0,,left( forall min mathbb{R} right)Leftrightarrow left{ begin{array}{*{35}{l}} x_{0}^{2}-{{x}_{0}}=0 \ {{y}_{0}}+1=x_{0}^{3} \end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array}{*{35}{l}} {{x}_{0}}=1;{{y}_{0}}=0 \ {{x}_{0}}=0;{{y}_{0}}=-1 \end{array} right.$
Vậy $Mleft( 1;0 right),Nleft( 0;-1 right)Rightarrow MN=sqrt{2}$. Chọn B.
|
Bài tập 3: Cho hàm số $y=m{{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+2left( m-1 right)x+2left( C right)$. Phương trình đường thẳng đi qua các điểm cố định của đồ thị hàm số đã cho là A. $y=-2x+2.$ B. $y=2x+2.$ C. $y=-2x-2.$ D. $y=-2x-1.$ |
Lời giải chi tiết
Gọi $Mleft( {{x}_{0}};{{y}_{0}} right)$ là tọa độ điểm cố định thuộc $left( C right)$ ta có: ${{y}_{0}}=mx_{0}^{3}-3mx_{0}^{2}+2left( m-1 right){{x}_{0}}+2left( forall min mathbb{R} right)$
$Leftrightarrow mleft( x_{0}^{3}-3x_{0}^{2}+2{{x}_{0}} right)-2{{x}_{0}}+2-{{y}_{0}}=0,,left( forall min mathbb{R} right)Leftrightarrow left{ begin{array}{*{35}{l}} x_{0}^{3}-3x_{0}^{2}+2{{x}_{0}}=0 \ {{y}_{0}}=-2{{x}_{0}}+2 \end{array} right.left( * right)$
Như vậy đồ thị hàm số luôn đi qua 3 điểm cố định là nghiệm của hệ phương trình (*) và 3 điểm này đều thuộc đường thẳng $y=-2x+2$. Chọn A.
|
Bài tập 4: Biết rằng đồ thị hàm số $y={{x}^{4}}+m{{x}^{2}}-m-1$ luôn đi qua hai điểm cố định A và B. Tính độ dài đoạn thẳng $AB.$ A. $AB=2sqrt{2}.$ B. $AB=2.$ C. $AB=1.$ D. $AB=4.$ |
Lời giải chi tiết
Gọi $Mleft( {{x}_{0}};{{y}_{0}} right)$ là tọa độ điểm cố định thuộc $left( C right)$ ta có: ${{y}_{0}}=x_{0}^{4}+mx_{0}^{2}-m-1,,left( forall min mathbb{R} right)$
$Leftrightarrow mleft( x_{0}^{2}-1 right)+x_{0}^{4}-1-{{y}_{0}}=0,,left( forall min mathbb{R} right)Leftrightarrow left{ begin{array}{*{35}{l}} x_{0}^{2}-1=0 \ x_{0}^{4}-1-{{y}_{0}}=0 \end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array}{*{35}{l}} {{x}_{0}}=1,{{y}_{0}}=0 \ {{x}_{0}}=-1,{{y}_{0}}=0 \end{array} right.$
Khi đó $Aleft( 1;0 right),Bleft( -1;0 right)Rightarrow AB=2$. Chọn B.
|
Bài tập 5: Có bao nhiêu thuộc đồ thị hàm số $left( C right):y=frac{2x-2}{x+1}$ mà tọa độ là số nguyên? A. $2.$ B. $4.$ C. $5.$ D. $6.$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: $y=frac{2x-2}{x+1}=frac{2left( x+1 right)-4}{x+1}=2-frac{4}{x+1}$
Điểm có tọa độ nguyên khi $xin mathbb{Z}$ và $x+1=$Ư$left( 4 right)=left{ pm 1;pm 2;pm 4 right}$
Khi đó có 6 điểm có tọa độ nguyên thuộc $left( C right):y=frac{2x-2}{x+1}$. Chọn D.
|
Bài tập 6: Gọi $M,N$ là hai điểm thuộc đồ thị hàm số $y=frac{3x+2}{x+1}left( C right)$ sao cho tọa độ của chúng là những số nguyên. Tính độ dài $MN$ A. $MN=2sqrt{2}.$ B. $MN=sqrt{2}.$ C. $MN=2.$ D. $MN=4.$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: $y=frac{3x+2}{x+1}=frac{3left( x+1 right)-1}{x+1}=3-frac{1}{x+1}$
Điểm có tọa độ nguyên khi $xin mathbb{Z}$ và $x+1=$Ư$left( 1 right)=left{ pm 1 right}Rightarrow left[ begin{array}{*{35}{l}} x+1=-1 \ x+1=1 \end{array} right.Rightarrow left[ begin{array}{*{35}{l}} x=-2 \ x=0 \end{array} right.$
Khi đó có 2 điểm có tọa độ nguyên thuộc $left( C right):y=frac{2x-2}{x+1}$ là $Mleft( -2;4 right),Nleft( 0;2 right)$
Khi đó $MN=2sqrt{2}$. Chọn A.
|
Bài tập 7: Có bao nhiêu thuộc đồ thị hàm số $left( C right):y=frac{{{x}^{2}}+5x+15}{x+3}$ mà tọa độ là số nguyên? A. $6.$ B. $7.$ C. $5.$ D. $8.$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: $y=frac{{{x}^{2}}+5x+15}{x+3}=frac{{{x}^{2}}+3x+2x+6+9}{x+3}=x+2+frac{9}{x+3}$
Điểm có tọa độ nguyên khi $xin mathbb{Z}$ và $x+3=$Ư$left( 9 right)=left{ pm 1;pm 3;pm 9 right}Rightarrow left[ begin{array}{*{35}{l}} x=-4 \ x=-6 \ x=-2 \ x=0 \ x=-12 \ x=6 \end{array} right.$
Từ đó suy ra có 6 điểm có tọa độ là số nguyên thuộc $left( C right)$. Chọn A.
|
Bài tập 8: Có bao nhiêu thuộc đồ thị hàm số $y=frac{3x+7}{2x-1}$ mà tọa độ là số nguyên? A. $3.$ B. $1.$ C. $2.$ D. $4.$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: $y=frac{3x+7}{2x-1}Rightarrow 2y=frac{6x+14}{2x-1}=frac{3left( 2x-1 right)+17}{2x-1}=3+frac{17}{2x-1}$
Điểm có tọa độ nguyên khi $xin mathbb{Z}$ và $2x-1=$Ư$left( 17 right)=left{ pm 1;pm 17 right}$ Suy ra $left[ begin{array}{*{35}{l}} 2x-1=-17 \ 2x-1=-1 \ 2x-1=1 \ 2x-1=17 \end{array} right.Rightarrow left[ begin{array}{*{35}{l}} x=-8Rightarrow y=1 \ x=0Rightarrow y=-7 \ x=1Rightarrow y=10 \ x=9Rightarrow y=2 \end{array} right.Rightarrow $ Có 4 điểm có tọa độ là số nguyên. Chọn D.