Bài toán tìm điểm kết hợp bài toán tương giao và tiếp tuyến
Phương pháp giải tìm điểm thuộc đồ thị hàm số
þ Bài toán 1: Tìm hai điểm $Aleft( a;fleft( a right) right)$ và $Bleft( b;fleft( b right) right)$ $left( ane b right)$ thuộc đồ thị hàm số $y=fleft( x right),,left( C right)$ sao cho tiếp tuyến tại $A$ và $B$ của $left( C right)$ song song với nhau và $A,B$ thỏa mãn điều kiện $K$.
Cách giải: Giải hệ phương trình ${f}’left( a right)={f}’left( b right)$ và điều kiện $K$.
þ Bài toán 2: Tìm hai điểm $A,B$ thuộc đồ thị hàm số $y=fleft( x right),,left( C right)$ sao cho $ABbot Delta $ (hoặc $AB//Delta $) và $A,B$ thỏa mãn điều kiện $K$.
Cách giải:
§ Dựa vào giả thiết $ABbot Delta $ hoặc $AB//Delta $ ta viết phương trình đường thẳng $AB$ theo một tham số $m$ nào đó.
§ Viết phương trình hoành độ giao điểm của $AB$ và đồ thị $left( C right)$.
§ Dựa vào điều kiện $K$ để tìm giá trị của tham số $m$.
Bài tập điểm kết hợp bài toán tương giao và tiếp tuyến có đáp án
|
Bài tập 1: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+4x+1$ tại điểm $Aleft( -3;-2 right)$ cắt đồ thị tại điểm thứ hai là $B$. Điểm $B$ có tọa độ A. $Bleft( 1;10 right).$ B. $Bleft( -2;1 right).$ C. $Bleft( 2;33 right).$ D. $Bleft( -1;0 right).$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: ${y}’=3{{x}^{2}}+8x+4Rightarrow {y}’left( -3 right)=7$
PTTT tại điểm $Aleft( -3;-2 right)$ là: $y=7left( x+3 right)-2=7x+19$ (d)
Phương trình hoành độ tiếp điểm của đồ thị và tiếp tuyến $d$ là: ${{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+4x+1=7x+19$
$Leftrightarrow {{left( x+3 right)}^{2}}left( x-2 right)=0Leftrightarrow left[ begin{array}{*{35}{l}} x=-3Rightarrow y=-2 \ x=2Rightarrow y=33 \end{array} right..$ Vậy $Bleft( 2;33 right)$. Chọn C.
|
Bài tập 2: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-{{x}^{2}}+x+1$ tại điểm $A$ cắt đồ thị tại điểm thứ hai là $Bleft( -1;-2 right)$. Điểm $A$ có tọa độ A. $Aleft( 2;5 right).$ B. $Aleft( -1;-4 right).$ C. $Aleft( 0;1 right).$ D. $Aleft( 1;2 right).$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: ${y}’=3{{x}^{2}}-2x+1$, gọi $Aleft( a;{{a}^{3}}-{{a}^{2}}+a+1 right)$
Phương trình tiếp tuyến tại $A$ là: $y=left( 3{{a}^{2}}-2a+1 right)left( x-a right)+{{a}^{3}}-{{a}^{2}}+a+1$
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và tiếp tuyến là:
${{x}^{3}}-{{x}^{2}}+x+1=left( 3{{a}^{2}}-2a+1 right)left( x-a right)+{{a}^{3}}-{{a}^{2}}+a+1$
$Leftrightarrow left( x-a right)left( {{x}^{2}}+xa+{{a}^{2}} right)-left( x-a right)left( x+a right)+left( x-a right)=left( 3{{a}^{2}}-2a+1 right)left( x-a right)$
$Leftrightarrow left( x-a right)left( {{x}^{2}}+xa+{{a}^{2}}-x-a+1-3{{a}^{2}}+2a-1 right)=0$
$Leftrightarrow left( x-a right)left( {{x}^{2}}+xa-2{{a}^{2}}-x+a right)=0$
$Leftrightarrow {{left( x-a right)}^{2}}left( x+2a-1 right)=0Leftrightarrow left[ begin{array}{*{35}{l}} x=aRightarrow A \ x=-2a+1 \end{array} right.$
Do ${{x}_{B}}=-1Leftrightarrow -2a+1=-1Leftrightarrow a=1Rightarrow Aleft( 1;2 right)$. Chọn D.
|
Bài tập 3: Điểm $M$ thuộc đồ thị hàm số $left( C right):y=-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+2$ mà tiếp tuyến của $left( C right)$ tại đó có hệ số góc lớn nhất, có tọa độ là A. $Mleft( 0;2 right).$ B. $Mleft( -1;6 right).$ C. $Mleft( 1;4 right).$ D. $Mleft( 2;6 right).$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: $k={y}’=-3{{x}^{2}}+6x=-3{{left( x-1 right)}^{2}}+3le 3$
Tiếp tuyến của $left( C right)$ có hệ số góc lớn nhất là 3 khi hoành độ tiếp điểm là $x=1$
Khi đó $Mleft( 1;4 right)$. Chọn C.
|
Bài tập 4: Cho hàm số $y=frac{2x+2}{x-1}left( C right)$. Gọi $A,B$ là 2 điểm phân biệt trên $left( C right)$ sao cho tiếp tuyến tại A và B song song với nhau và $AB=4sqrt{2}$. Tính $T=OA+OB.$ A. $T=5.$ B. $T=6.$ C. $T=7.$ D. $T=8.$ |
Lời giải chi tiết
Gọi $Aleft( a;2+frac{4}{a-1} right),Bleft( b;2+frac{4}{b-1} right),,left( a,bne 1,ane b right)$. Do tiếp tuyến tại $A,B$ song song với nhau nên ta có:
${y}’left( a right)={y}’left( b right)Leftrightarrow frac{4}{{{left( a-1 right)}^{2}}}=frac{4}{{{left( b-1 right)}^{2}}}Leftrightarrow left[ begin{array}{*{35}{l}} a-1=b-1,,left( l right) \ a-1=1-b \end{array} right.Rightarrow a+b=2.$
Ta có: $A{{B}^{2}}={{left( a-b right)}^{2}}+frac{16{{left( a-b right)}^{2}}}{{{left[ left( a-1 right)left( b-1 right) right]}^{2}}}={{left( a-b right)}^{2}}left[ 1+frac{9}{{{left( ab-a-b+1 right)}^{2}}} right]={{left( a-b right)}^{2}}left[ 1+frac{16}{{{left( ab-1 right)}^{2}}} right]$
$=left[ {{left( a+b right)}^{2}}-4ab right]left[ 1+frac{16}{{{left( ab-1 right)}^{2}}} right]=4left( 1-ab right)left[ 1+frac{16}{{{left( ab-1 right)}^{2}}} right].$
Đặt $t=1-ab$ ta có: $4tleft( 1+frac{16}{{{t}^{2}}} right)=32Leftrightarrow t+frac{16}{t}=8Leftrightarrow t=4Rightarrow ab=-3Rightarrow left{ begin{array}{*{35}{l}} a+b=2 \ ab=-3 \end{array} right.$
$Leftrightarrow left[ begin{array}{*{35}{l}} a=-1Rightarrow b=3 \ a=3Rightarrow b=4 \end{array} right.$
Vậy $Aleft( -1;0 right),Bleft( 3;4 right)$ hoặc ngược lại suy ra $T=OA+OB=6$. Chọn B.
|
Bài tập 6: Cho hàm số $y=frac{-x+2}{x-1},left( C right)$. Gọi $A,B$ là 2 điểm phân biệt trên $left( C right)$ sao cho tiếp tuyến tại A và B song song với nhau và tam giác [OAB] vuông tại $O$. Tính độ dài $AB$ A. $AB=4.$ B. $AB=2.$ C. $AB=2sqrt{2}.$ D. $AB=sqrt{2}.$ |
Lời giải chi tiết
Gọi $Aleft( a;frac{-a+2}{a-1} right),Bleft( b;frac{-b+2}{b-1} right)$. Do tiếp tuyến tại $A,B$ song song với nhau nên ta có:
${y}’left( a right)={y}’left( b right)Leftrightarrow frac{-1}{{{left( a-1 right)}^{2}}}=frac{-1}{{{left( b-1 right)}^{2}}}Leftrightarrow left[ begin{array}{*{35}{l}} a-1=b-1 \ a-1=1-b \end{array} right.Rightarrow a+b=2$
Mặt khác $Delta OAB$ vuông tại $O$ nên: $overline{OA}.overline{OB}=ab+frac{left( 2-a right)left( 2-b right)}{left( a-1 right)left( b-1 right)}=0$
$Leftrightarrow ab+frac{4-2left( a+b right)+ab}{ab-left( a+b right)+1}=0Leftrightarrow ab+frac{ab}{ab-1}=0Leftrightarrow ab=0Leftrightarrow left[ begin{array}{*{35}{l}} a=0,b=2 \ a=2,b=0 \end{array} right.$
Vậy 2 điểm cần tìm là $Aleft( 2;0 right),Bleft( 0;-2 right)Rightarrow AB=2sqrt{2}$. Chọn C.
|
Bài tập 7: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-4x+3left( C right)$. Gọi $A,B$ là 2 điểm phân biệt trên $left( C right)$ sao cho tiếp tuyến tại $A$ và $B$ có cùng hệ số góc và đường thẳng đi qua $A,B$ vuông góc với đường thẳng $d:x+5y-7=0$. Tính độ dài $AB$ A. $AB=8.$ B. $AB=12.$ C. $AB=6sqrt{2}.$ D. $AB=6sqrt{26}.$ |
Lời giải chi tiết
Gọi $Aleft( a;{{a}^{3}}-4a+3 right),Bleft( b;{{b}^{3}}-4b+3 right)$ $left( ane b right)$.
Ta có: ${y}’left( a right)={y}’left( b right)Leftrightarrow 3{{a}^{2}}=3{{b}^{2}}Leftrightarrow left[ begin{array}{*{35}{l}} a=b,left( l right) \ a=-b \end{array} right.$
+) Ta có: [overline{AB}left( b-a;{{b}^{3}}-{{a}^{3}}-4left( b-a right) right)=left( b-a;left( b-a right)left( {{b}^{2}}+ba+{{a}^{2}}-4 right) right)], $overline{{{u}_{d}}}left( -5;1 right)$
Do đó chọn $overline{{{u}_{AB}}}=left( 1;{{b}^{2}}+ab+{{a}^{2}}-4 right)Rightarrow overline{{{u}_{AB}}},.,overline{{{u}_{d}}}=0Leftrightarrow -5+{{b}^{2}}+ab+{{a}^{2}}-4=0Leftrightarrow {{left( a+b right)}^{2}}-ab=9$
$Leftrightarrow {{a}^{2}}=9Leftrightarrow left[ begin{array}{*{35}{l}} a=3,b=-3 \ a=-3;b=3 \end{array} right.$
Vậy $Aleft( 3;18 right),Bleft( -3;-12 right)$ hoặc ngược lại suy ra $AB=6sqrt{26}$. Chọn D.
|
Bài tập 8: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3x$ có đồ thị $left( C right)$. Xét điểm $M$ thuộc $left( C right)$. Tiếp tuyến của $left( C right)$ tại $M$ cắt $left( C right)$ tại điểm thứ hai $N,,left( Mne N right)$ thỏa mãn ${{x}_{M}}+{{x}_{N}}=-3$. Hoành độ điểm $M$ là A. $3.$ B. $-1.$ C. $1.$ D. $-3.$ |
Lời giải chi tiết
Vì $Min left( C right)Rightarrow Mleft( m;{{m}^{3}}-3m right)$. Ta có ${y}’=3{{x}^{2}}-3xrightarrow{{}}{y}’left( m right)=3{{m}^{2}}-3.$
Phương trình tiếp tuyến của $left( C right)$ tại $M$ là $y-yleft( m right)={y}’left( m right).left( x-m right)$
$Leftrightarrow y-{{m}^{3}}+3m=left( 3{{m}^{2}}-3 right)left( x-m right)Leftrightarrow y=left( 3{{m}^{2}}-3 right)left( x-m right)+{{m}^{3}}-3m$ (d).
Hoành độ giao điểm của $left( d right)$ và $left( C right)$ là nghiệm phương trình ${{x}^{3}}-3x=left( 3{{m}^{2}}-3 right)left( x-m right)+{{m}^{3}}-3m$
$Leftrightarrow {{x}^{3}}-{{m}^{3}}-3left( x-m right)=left( 3{{m}^{2}}-3 right)left( x-m right)Leftrightarrow left( x-m right)left( {{x}^{2}}+mx+{{m}^{2}} right)-3left( x-m right)=left( 3{{m}^{2}}-3 right)left( x-m right)$
$Leftrightarrow left[ begin{array}{*{35}{l}} x-m=0 \ {{x}^{2}}+mx+{{m}^{2}}-3=3{{m}^{2}}-3 \end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array}{*{35}{l}} x=m \ {{x}^{2}}+mx-2{{m}^{2}} \end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array}{*{35}{l}} x=m \ left( x-m right)left( x+2m right)=0 \end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array}{*{35}{l}} x=m \ x=-2m \end{array} right..$
Suy ra $left{ begin{array}{*{35}{l}} {{x}_{M}}=m \ {{x}_{N}}=-2m \end{array} right.xrightarrow{{}}{{x}_{M}}+{{x}_{N}}=m-2m=-m=-3Leftrightarrow m=3.$
Vậy ${{x}_{M}}=3$. Chọn A.
|
Bài tập 9: Cho hàm số $y=frac{2x+3}{x-1},left( C right)$. Gọi $A,B$ là 2 điểm phân biệt trên $left( C right)$ sao cho $A,B$ đối xứng nhau qua đường thẳng $d:x+5y-11=0$. Tính tổng tung độ ${{y}_{A}}+{{y}_{B}}$ A. ${{y}_{A}}+{{y}_{B}}=3.$ B. ${{y}_{A}}+{{y}_{B}}=2.$ C. ${{y}_{A}}+{{y}_{B}}=-4.$ D. ${{y}_{A}}+{{y}_{B}}=4.$ |
Lời giải chi tiết
Viết lại phương trình đường thẳng $d:y=-frac{1}{5}x+frac{11}{5}$
Vì $ABbot left( d right)$ nên phương trình đường thẳng $AB$ có dạng: $y=5x+m$
Phương trình hoành độ giao điểm của $AB$ và $left( C right)$ là:
$frac{2x+3}{x-1}=5x+mLeftrightarrow left{ begin{array}{*{35}{l}} xne 1 \ gleft( x right)=5{{x}^{2}}+left( m-7 right)x-m-3=0 \end{array} right.$
Để $AB$ cắt $left( C right)$ tại 2 điểm phân biệt $Leftrightarrow gleft( x right)=0$ có 2 nghiệm phân biệt khác
$ILeftrightarrow left{ begin{array}{*{35}{l}} gleft( 1 right)ne 0 \ Delta >0 \end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{*{35}{l}} -5ne 0 \ {{left( m-7 right)}^{2}}+12left( m+3 right)>0 \end{array} right.$ (*).
Khi đó gọi $Aleft( {{x}_{1}};5{{x}_{1}}+m right),Bleft( {{x}_{2}};5{{x}_{2}}+m right)$. Theo định lý Viet ta có: $left{ begin{array}{*{35}{l}} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=frac{7-m}{5} \ {{x}_{1}}{{x}_{2}}=frac{-m-3}{5} \end{array} right.$
Trung điểm $I$ của $AB$: $Ileft( frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{2};frac{5left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} right)}{2}+m right)$ hay $Ileft( frac{7-m}{10};frac{m+7}{2} right)in left( d right)$
$Rightarrow frac{7-m}{10}+frac{5m+35}{2}=11Leftrightarrow m=-3$
Với $m=-3,,left( tm right)Rightarrow Aleft( 0;-3 right),Bleft( 2;7 right)Rightarrow {{y}_{A}}+{{y}_{B}}=4$. Chọn D.
|
Bài tập 10: Cho hàm số $y=frac{x-1}{x+2},,left( C right)$ và 2 điểm $C,D$ thuộc đường thẳng $d:y=x-4$. Gọi 2 điểm $A,B$ là hai điểm phân biệt nằm trên $left( C right)$ sao cho tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật có đường chéo bằng $frac{5}{sqrt{2}}$. Độ dài $AB$ khi đó thỏa mãn A. $ABB. $1 |
Lời giải chi tiết
Do $AB//CD$ nên phương trình đường thẳng $AB:y=x+m$ $left( mne 4 right)$
PT hoành độ giao điểm của $AB$ và $left( C right)$ là: $frac{x-1}{x+2}=x+mLeftrightarrow left{ begin{array}{*{35}{l}} xne -2 \ gleft( x right)={{x}^{2}}+left( m+1 right)x+2m+1=0 \end{array} right.$
$Leftrightarrow left{ begin{array}{*{35}{l}} gleft( -2 right)ne 0 \ Delta >0 \end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{*{35}{l}} 3ne 0 \ {{m}^{2}}-6m-3>0 \end{array} right.$
Khi đó gọi $Aleft( {{x}_{1}};{{x}_{1}}+m right),Bleft( {{x}_{2}};{{x}_{2}}+m right)$ ta có: $left{ begin{array}{*{35}{l}} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-m-1 \ {{x}_{1}}{{x}_{2}}=2m+1 \end{array} right.$
Ta có: $A{{B}^{2}}=2{{left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} right)}^{2}}=2left[ {{left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}} right]=2left( {{m}^{2}}-6m-3 right)$, $AD=dleft( AB;CD right)=frac{left| m+4 right|}{sqrt{2}}$
$A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}=A{{C}^{2}}=2{{left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} right)}^{2}}=2left[ {{left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}} right]=2left( {{m}^{2}}-6m-3 right)+frac{{{m}^{2}}+8m+16}{2}$
$=frac{5}{2}{{m}^{2}}-8m+2=frac{25}{2}Leftrightarrow left[ begin{array}{*{35}{l}} m=-1 \ m=frac{21}{5},left( loai right) \end{array} right.$
Với $m=-1Rightarrow left[ begin{array}{*{35}{l}} {{x}_{1}}=1Rightarrow Aleft( 1;0 right),Bleft( -1;-2 right) \ {{x}_{1}}=-1Rightarrow Aleft( -1;-2 right),Bleft( 1;0 right) \end{array} right.$
Kết luận: Vậy 2 điểm thỏa mãn ycbt là: $left( 1;0 right),left( -1;-2 right)Rightarrow AB=2sqrt{2}$. Chọn D.
|
Bài tập 11: [Đề thị THPT Quốc gia 2018] Cho hàm số $y=frac{x-2}{x+2}$ có đồ thị $left( C right)$. Gọi $I$ là giao điểm của hai tiệm cận của $left( C right)$. Xét tam giác đều $ABI$ có hai đỉnh $A,B$ thuộc $left( C right)$, đoạn thẳng $AB$ có độ dài bằng A. $2.$ B. $4.$ C. $2sqrt{2}.$ D. $2sqrt{3}.$ |
Lời giải chi tiết
Giao điểm của 2 đường tiệm cận là $Ileft( -2;1 right)$ là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.
Hàm số đã cho là hàm đồng biến, có 2 trục đối xứng là 2 đường phân giác của các đường tiệm cận có phương trình là $y=x$ và $y=-x$.
Do tính chất đối xứng nên $ABbot d:y=-xRightarrow AB:y=x+m$
Phương trình hoành độ giao điểm của $left( C right)$ và $AB$ là:
$frac{x-2}{x+2}=x+mLeftrightarrow left{ begin{array}{*{35}{l}} xne -2 \ gleft( x right)={{x}^{2}}+left( m+1 right)x+2m+2=0 \end{array} right.$
Điều kiện để $AB$ cắt $left( C right)$ tại 2 điểm phân biệt là: $left{ begin{array}{*{35}{l}} Delta ={{left( m+1 right)}^{2}}-4left( 2m+2 right)>0 \ gleft( -2 right)ne 0 \end{array} right.$
Khi đó gọi là $Aleft( {{x}_{1}};{{x}_{1}}+m right);Bleft( {{x}_{2}};{{x}_{2}}+m right)$, theo Viet ta có: $left{ begin{array}{*{35}{l}} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-m-1 \ {{x}_{1}}{{x}_{2}}=2m+2 \end{array} right.$
Tam giác $ABC$ luôn cân tại $I$ suy ra nó đều khi $IH=frac{sqrt{3}}{2}ABLeftrightarrow dleft( I;AB right)=frac{sqrt{3}}{2}AB$
$Leftrightarrow frac{left| m-3 right|}{sqrt{2}}=frac{sqrt{3}}{2}sqrt{2{{left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} right)}^{2}}}Leftrightarrow {{left( m-3 right)}^{2}}=3left[ {{left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}} right]=3left( {{m}^{2}}+2m+1-8m-8 right)$
$Leftrightarrow {{m}^{2}}-6m=15Rightarrow AB=sqrt{2left( {{m}^{2}}-6m-7 right)}=4$. Chọn B.