1. Lãi đơn
Số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không tính trên số tiền lãi do số tiền gốc sinh ra.
Công thức tính lãi đơn: ({{V}_{n}}={{V}_{0}}left( 1+r.n right))
Trong đó:
({{V}_{n}}) : Số tiền cả vốn lẫn lãi sau n kỳ hạn;
({{V}_{0}}) : Số tiền gửi ban đầu;
(n) : Số kỳ hạn tính lãi;
(r) : Lãi suất định kỳ, tính theo %.
2. Lãi kép
Là số tiền lãi không chỉ tính trên số tiền gốc mà còn tính trên số tiền lãi do tiền gốc đó sinh ra thay đổi theo từng định kỳ.
a. Lãi kép, gửi một lần: ({{T}_{n}}={{T}_{0}}{{left( 1+r right)}^{n}})
Trong đó:
({{T}_{n}}) : Số tiền cả vốn lẫn lãi sau n kỳ hạn;
({{T}_{0}}) : Số tiền gửi ban đầu;
(n) : Số kỳ hạn tính lãi;
(r) : Lãi suất định kỳ, tính theo %.
b. Lãi kép liên tục: ({{T}_{n}}={{T}_{0}}.{{e}^{nr}})
Trong đó:
({{T}_{n}}) : Số tiền cả vốn lẫn lãi sau n kỳ hạn;
({{T}_{0}}) : Số tiền gửi ban đầu;
(n) : Số kỳ hạn tính lãi;
(r) : Lãi suất định kỳ, tính theo %.
c. Lãi kép, gửi định kỳ.
Trường hợp gửi tiền định kì cuối tháng.
Bài toán 1: Cứ cuối mỗi tháng gửi vào ngân hàng m triệu, lãi suất kép (r%) (tháng hoặc năm). Hỏi sau n (tháng hoặc năm) số tiền thu được là bao nhiêu?
Người ta chứng minh được số tiền thu được là:
({{T}_{n}}=frac{m}{r}left[ {{left( 1+r right)}^{n}}-1 right])
Bài toán 2: Cứ cuối mỗi tháng gửi vào ngân hàng m triệu, lãi suất kép (r%) (tháng hoặc năm). Sau n (tháng hoặc năm) số tiền thu được là A triệu. Hỏi số tiền gửi mỗi tháng m là bao nhiêu?
Người ta chứng minh được số tiền cần gửi mỗi tháng là: (m=frac{Ar}{{{left( 1+r right)}^{n}}-1})
Bài toán 3: Cứ cuối mỗi tháng gửi vào ngân hàng m triệu, lãi suất kép (r%) (tháng hoặc năm). Sau n (tháng hoặc năm) số tiền thu được là A triệu. Hỏi số tháng hoặc năm n là bao nhiêu?
Người ta chứng minh được số tháng thu được đề bài cho là: (n={{log }_{1+r}}left( frac{Ar}{m}+1 right)).
Trường hợp gửi tiền định kì đầu tháng.
Bài toán 4: Cứ đầu mỗi tháng gửi vào ngân hàng m triệu, lãi suất kép (r%) (tháng hoặc năm). Hỏi sau n (tháng hoặc năm) số tiền thu được là bao nhiêu?
Người ta chứng minh được số tiền thu được là: ({{T}_{n}}=frac{m}{r}left[ {{left( 1+r right)}^{n}}-1 right]left( 1+r right))
Bài toán 5: Cứ đầu mỗi tháng gửi vào ngân hàng m triệu, lãi suất kép (r%) (tháng hoặc năm). Sau n (tháng hoặc năm) số tiền thu được là A triệu. Hỏi số tiền gửi mỗi tháng m là bao nhiêu?
Người ta chứng minh được số tiền cần gửi mỗi tháng là: (m=frac{Ar}{left( 1+r right)left[ {{left( 1+r right)}^{n}}-1 right]})
Bài toán 6: Cứ đầu mỗi tháng gửi vào ngân hàng m triệu, lãi suất kép (r%) (tháng hoặc năm). Sau n (tháng hoặc năm) số tiền thu được là A triệu. Hỏi số tháng hoặc năm n là bao nhiêu?
Người ta chứng minh được số tháng thu được đề bài cho là: (n={{log }_{1+r}}left[ frac{Ar}{mleft( 1+r right)}+1 right]).
Trường hợp vay nợ và trả tiền định kì đầu tháng.
Bài toán 7: Vay ngân hàng A triệu đồng. Cứ đầu mỗi tháng (năm) trả ngân hàng m triệu, lãi suất kép (r%) (tháng hoặc năm). Hỏi sau n (tháng hoặc năm) số tiền còn nợ là bao nhiêu?
Người ta chứng minh được số tiền còn nợ là: ({{T}_{n}}=A{{left( 1+r right)}^{n}}-mleft( 1+r right)frac{{{left( 1+r right)}^{n}}-1}{r})
Bài toán 8: Vay ngân hàng A triệu đồng. Cứ đầu mỗi tháng (năm) trả ngân hàng m triệu, lãi suất kép (r%) (tháng hoặc năm). Hỏi sau n (tháng hoặc năn) số tiền còn nợ là bao nhiêu?
Người ta chứng minh được số tiền còn nợ là: ({{T}_{n}}=A{{left( 1+r right)}^{n}}-mleft( 1+r right)frac{{{left( 1+r right)}^{n}}-1}{r})
Ví dụ: Một người gửi tiết kiệm với lãi suất 8,4%/ năn và lãi hàng năm được nhập vào vốn. Hỏi sau bao nhiêu năm người đó thu được gấp ba số tiền ban đầu?
A. 9. B. 14. C. 8. D. 7.
Giải:
({{P}_{n}}=P{{left( 1+0,084 right)}^{n}})
Số tiền sau n năm gấp đôi số tiền ban đầu là:
(3P=P{{left( 1+0,084 right)}^{n}}Leftrightarrow {{log }_{1,084}}3approx 13,6=14) năm. Chọn B.
3. Bài tập áp dụng
Bài 1:
Một người muốn gửi tiết kiệm ở ngân hàng và hi vọng sau 4 năm có được 850 triệu đồng để mua nhà. Biết rằng lãi suất ngân hàng mỗi tháng trong thời điểm hiện tại là 0,45%. Hỏi người đó mỗi tháng phải gửi vào ngân hàng tối thiểu bao nhiêu tiền để đủ số tiền mua nhà? (Giả sử số tiền mỗi tháng là như nhau và lãi suất trong 4 năm là không thay đổi)
A. 15,833 triệu đồng B. 16,833 triệu đồng.
C. 17,833 triệu đồng. D. 18,833 triệu đồng.
Giải:
Giả sử người này gửi tiền ở thời điểm t nào đó, kể từ thời điểm này sau 4 năm (48 tháng) ông muốn có số tiền 850 triệu. Như vậy rõ ràng ta có thể coi đây là bài toán gửi tiền định kì đầu tháng.
Áp dụng bài toán 5 ta có số tiền phải gửi mỗi tháng là: (m=frac{Ar}{left( 1+r right)left[ {{left( 1+r right)}^{n}}-1 right]})
Theo đề: n =48 tháng, (r=0,45%=frac{9}{2000})
Tiền thu được: 850 triệu đồng. thay vào:
(m = frac{{850000000 times 0,45% }}{{left( {1 + 0,45% } right)left[ {{{left( {1 + 0,45% } right)}^{48}} – 1} right]}} = 15,833)
Chọn A.
Bài 2:
Một bà mẹ Việt Nam anh hùng được hưởng số tiền là 4 triệu đồng trên một tháng (chuyển vào tài khoản của mẹ ở ngân hàng vào đầu tháng). Từ tháng 1 năm 2016 mẹ không đi rút tiền mà để lại ngân hàng và được tính lãi suất 1% trên một tháng. Đến đầu tháng 12 năm 2016 mẹ rút toàn bộ số tiền (gồm số tiền của tháng 12 và số tiền đã gửi tháng 1). Hỏi khi đó mẹ lĩnh về bao nhiêu tiền ? (kết quả làm tròn theo đơn vị nghìn đồng).
A. 50 triệu 730 nghìn đồng.
B. 50 triệu 740 nghìn đồng.
C. 53 triệu 760 nghìn đồng.
D. 48 triệu 480 nghìn đồng.
Giải:
Ta có tổng số tiền A thu được, nếu ban đầu gửi vào a đồng, từ đầu tháng sau gửi thêm a đồng (không đổi) vào đầu mỗi tháng với lãi suấ r% trong n tháng:
(A=a+frac{a}{r}left( 1+r right)left[ {{left( 1+r right)}^{n}}-1 right])
Áp dụng với a = 4 triệu đồng, (r=1%,n=11) (từ đầu tháng 2 đến cuối tháng 12)???
(A=frac{4000000}{1%}(1+1%)left[ {{left( 1+1% right)}^{n}}-1 right]+4000000=50730012,05) . Chọn A.
Bài 3:
Ông A vay ngắn hạn ngân hàng 100 triệu đồng, với lãi suất 12% trên năm. Ông muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách sau: sau đúng một tháng kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là như nhau và trả hết tiền nợ sau đúng ba tháng kể từ ngày vay. Hỏi, theo cách đó, số tiền m mà ông A phải trả cho ngân hàng là bao nhiêu? Biết rằng, lãi suất ngân hàng không thay đổi trong thời gian ông A hoàn nợ.
A. (m=frac{100.{{left( 1,01 right)}^{3}}}{3}) (triệu đồng).
B. (m=frac{{{left( 1,01 right)}^{3}}}{{{left( 1,01 right)}^{3}}-1}) (triệu đồng).
C. (m=frac{100.1,03}{3}) (triệu đồng).
D. (m=frac{120.{{left( 1,12 right)}^{3}}}{{{left( 1,12 right)}^{3}}-1}) (triệu đồng).
Giải:
Lãi suất 12%/năm tương ứng 1%/tháng nên (r=0,01) (do vay ngắn hạn)
Số tiền gốc sau 1 tháng là: (T+T.r-m=Tleft( 1+r right)-m)
Số tiền gốc sau 2 tháng là:
(left[ T(1+r)-m right]+left[ T(1+r)-m right].r-m=T{{left( 1+r right)}^{2}}-mleft[ left( 1+r right)+1 right])
Số tiền gốc sau 3 tháng là:
(T{{left( 1+r right)}^{3}}-mleft[ {{left( 1+r right)}^{2}}+1+r+1 right]=0)
Do đó: (m=frac{T{{left( 1+r right)}^{3}}}{{{left( 1+r right)}^{2}}+1+r+1}=frac{T{{left( 1+r right)}^{3}}.r}{{{left( 1+r right)}^{3}}-1}=frac{1,{{01}^{3}}}{1,{{01}^{3}}-1}) (triệu đồng).
Chọn B.
Bài 4:
Ông A muốn sở hữu khoản tiền 20.000.000đ vào ngày 2/3/2012 ở một tài khoản lãi suất năm là 6,05%. Hỏi ông A cần đầu tư bao nhiêu tiền trê tài khoản này vào ngày 2/3/2007 để đạt được mục tiêu đề ra?
A. 14.909.965,25 (đồng).
B. 14.909.965,26 (đồng).
C. 14.909.955,25 (đồng).
D. 14.909.865,25 (đồng).
Giải:
Gọi ({{V}_{0}}) là lượng vốn cần đầu tư ban đầu, lượng vốn sẽ được đầu tư trong 5 năm nên ta có: (20.000.000={{V}_{0}}.{{left( 1+0,0605 right)}^{5}})
(Rightarrow {{V}_{0}}=20.000.000.{{left( 1+0,0605 right)}^{-5}}=14.909.965,25) đ.
Chọn A.
Bài 5:
Ông Tuấn gửi 9,8 triệu đồng tiết kiệm với lãi suất 8,4%/năm và lãi suất hàng năm được nhập vào vốn. Hỏi theo cách đó thì sau bao nhiêu năm ông Tuấn thu được tổng số tiền 20 triệu đồng (biết rằng lãi suất không thay đổi).
A. 9 năm. B. 8 năm. C. 7 năm. D. 10 năm.
Giải:
Gọi P là số tiền gửi ban đầu. Sau n năm (left( nin mathbb{N} right)), số tiền thu được là:
({{P}_{n}}=P{{left( 1+0,084 right)}^{n}}=P{{left( 1,084 right)}^{n}})
Áp dụng với số tiền đề bài cho ta được:
(20=9,8.{{left( 1,084 right)}^{n}}Leftrightarrow {{left( 1,084 right)}^{n}}=frac{20}{9,8}Leftrightarrow n={{log }_{1,084}}left( frac{20}{9,8} right)approx 8,844)
vì n là số tự nhiên nên chọn n = 9.
Chọn A.