Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số bậc 3 chứa tham số m trên R
PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM BẬC 3 CHỨA THAM SỐ M
Xét tam thức bậc 2: $y=a{{x}^{2}}+bx+cleft( ane 0 right)$ ta đã biết ở lớp 10
$yge 0text{ }left( forall xin mathbb{R} right)Leftrightarrow a{{x}^{2}}+bx+cge 0text{ }left( forall xin mathbb{R} right)Leftrightarrow left{ begin{array} {} a>0 \ {} textΔle 0 \ end{array} right.$.
$yle 0text{ }left( forall xin mathbb{R} right)Leftrightarrow a{{x}^{2}}+bx+cle 0text{ }left( forall xin mathbb{R} right)Leftrightarrow left{ begin{array} {} a<0 \ {} textΔle 0 \ end{array} right.$.
þ Xét bài toán 1: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số $y=a{{x}^{2}}+bx+cleft( ane 0 right)$ đồng biến hoặc nghịch biến trên $mathbb{R}$.
Ta có:
– Hàm số đồng biến trên $mathbb{R}$ $Leftrightarrow {y}’ge 0text{ }left( forall xin mathbb{R} right)Leftrightarrow 3a{{x}^{2}}+2bx+cge 0text{ }left( forall xin mathbb{R} right)Leftrightarrow left{ begin{array} {} 3a>0 \ {} {{{{Delta }’}}_{{{y}’}}}le 0 \ end{array} right.$.
– Hàm số đồng biến trên $mathbb{R}$ $Leftrightarrow {y}’le 0text{ }left( forall xin mathbb{R} right)Leftrightarrow 3a{{x}^{2}}+2bx+cle 0text{ }left( forall xin mathbb{R} right)Leftrightarrow left{ begin{array} {} 3a<0 \ {} {{{{Delta }’}}_{{{y}’}}}le 0 \ end{array} right.$.
Chú ý:
§ Trong trường hợp hệ số a có chứa tham số m ví dụ: $y=left( m-1 right){{x}^{3}}+m{{x}^{2}}+2x-3$ ta cần xét $a=0$ trước.
§ Số giá trị nguyên trên đoạn $left[ a;b right]$ bằng $b-a+1$.
BÀI TẬP XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ BẬC 3 CÓ CHỨA THAM SỐ M ĐÁP ÁN CHI TIẾT
| Ví dụ 1: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y=2{{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+6mx+2$ đồng biến trên $mathbb{R}$.
A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. |
Lời giải chi tiết
Ta có: ${y}’=6{{x}^{2}}-6mx+6m$.
Hàm số đồng biến trên $mathbb{R}$ $Leftrightarrow {y}’ge 0text{ }left( forall xin mathbb{R} right)Leftrightarrow left{ begin{array} {} a=6>0 \ {} text{Δ’}=9{{m}^{2}}-36mle 0 \ end{array} right.Leftrightarrow 0le mle 4$.
Kết hợp $min mathbb{R}$ Þ có 5 giá trị của m thỏa mãn đề bài. Chọn C.
| Ví dụ 2: [Trích đề thi THPT Quốc gia 2017] Cho hàm số $y=-{{x}^{3}}-m{{x}^{2}}+left( 4m+9 right)x+5$ với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên khoảng $left( -infty ;+infty right)$?
A. 4. B. 6. C. 7. D. 5. |
Lời giải chi tiết
Ta có: ${y}’=-3{{x}^{2}}-2mx+4m+9$.
Hàm số nghịch biến trên khoảng $left( -infty ;+infty right)$ $Leftrightarrow {y}’le 0text{ }left( forall xin mathbb{R} right)$.$Leftrightarrow left{ begin{array} {} {{a}_{{{y}’}}}=-3<0 \ {} {{{text{Δ’}}}_{{{y}’}}}={{m}^{2}}+3left( 4m+9 right)le 0 \ end{array} right.Leftrightarrow -9le mle -3$.
Kết hợp $min mathbb{R}$ Þ có 7 giá trị của m thỏa mãn đề bài. Chọn C.
| Ví dụ 3: Cho hàm số $y=frac{1}{3}{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+left( m+3 right)x+2$. Số giá trị nguyên của tham số $min left[ -20;20 right]$ để hàm số đã cho đồng biến trên $mathbb{R}$ là:
A. 20. B. 19. C. 21. D. 23. |
Lời giải chi tiết
Ta có: ${y}’={{x}^{2}}+4x+m+3$.
Hàm số đồng biến trên $mathbb{R}$ $Leftrightarrow {y}’ge 0text{ }left( forall xin mathbb{R} right)Leftrightarrow left{ begin{array} {} a=1>0 \ {} {{{text{Δ’}}}_{{{y}’}}}=4-left( m+3 right)<0 \ end{array} right.Leftrightarrow mge 1$.
Kết hợp $left{ begin{array} {} min mathbb{R} \ {} min left[ -20;20 right] \ end{array} right.$ Þ có 20 giá trị của m thỏa mãn đề bài. Chọn A.
| Ví dụ 4: Số giá trị nguyên của tham số m đề hàm số $y=-2{{x}^{3}}-6left( m+3 right){{x}^{2}}+24mx+2$ nghịch biến trên $mathbb{R}$ là:
A. Vô số. B. 11. C. 7. D. 9. |
Lời giải chi tiết
Ta có: ${y}’=-6{{x}^{2}}-12left( m+3 right)x+24m=6left[ -{{x}^{2}}-2left( m+3 right)+4m right]$.
Hàm số nghịch biến trên $mathbb{R}$ $Leftrightarrow {y}’le 0text{ }left( forall xin mathbb{R} right)Leftrightarrow left{ begin{array} {} a=-1<0 \ {} text{Δ’}={{left( m+3 right)}^{2}}+4mle 0 \ end{array} right.$.
$Leftrightarrow {{m}^{2}}+10m+9le 0Leftrightarrow -9le mle -1$
Kết hợp $min mathbb{Z}$ Þ có 9 giá trị của tham số m thỏa mãn đề bài. Chọn D.
| Ví dụ 5: Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y=frac{-1}{3}{{x}^{3}}+2m{{x}^{2}}-2left( m+6 right)x+2$ nghịch biến trên tập xác định của nó. Tính tổng các phần tử của tập hợp S.
A. 4. B. 3. C. 0. D. 2. |
Lời giải chi tiết
Ta có: ${y}’=-{{x}^{2}}+4mx+2m+12$.
Hàm số nghịch biến trên $mathbb{R}$ $Leftrightarrow {y}’le 0text{ }left( forall xin mathbb{R} right)Leftrightarrow left{ begin{array} {} a=-1<0 \ {} text{Δ’}=4{{m}^{2}}-2m-12le 0 \ end{array} right.Leftrightarrow -frac{3}{2}le mle 2$.
Kết hợp $min mathbb{Z}Rightarrow min left{ -1;0;1;2 right}$ Þ Tổng các phần tử của tập hợp S là 2. Chọn D.
| Ví dụ 6: Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y={{x}^{3}}-3left( m-2 right){{x}^{2}}+12x+1$ đồng biến trên tập xác định của nó. Tính tổng các phần tử của tập hợp S là:
A. 5. B. 10. C. 15. D. 6. |
Lời giải chi tiết
Ta có: ${y}’=3{{x}^{2}}-6left( m-2 right)x+12$.
Hàm số đồng biến trên $mathbb{R}$ $Leftrightarrow {y}’ge 0text{ }left( forall xin mathbb{R} right)Leftrightarrow left{ begin{array} {} a=3>0 \ {} {{{text{Δ’}}}_{{{y}’}}}=9{{left( m-2 right)}^{2}}-36le 0 \end{array} right.Leftrightarrow 0le mle 4$.
Kết hợp $min mathbb{Z}Rightarrow min left{ 0;1;2;3;4 right}$ Þ Tổng các phần tử của tập hợp S là 10. Chọn B.
| Ví dụ 7: Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y=frac{{{x}^{3}}}{3}+m{{x}^{2}}+4x+3$ luôn tăng trên $mathbb{R}$. Số phần tử của tập hợp S là:
A. 0. B. 3. C. 4. D. 5. |
Lời giải chi tiết
Ta có: ${y}’={{x}^{2}}+2mx+4$.
.Hàm số đồng biến trên $mathbb{R}$ $Leftrightarrow {y}’ge 0text{ }left( forall xin mathbb{R} right)Leftrightarrow left{ begin{array} {} a=1>0 \ {} {{{text{Δ’}}}_{{{y}’}}}={{m}^{2}}-4le 0 \ end{array} right.Leftrightarrow -2le mle 2$.
Kết hợp $min mathbb{Z}Rightarrow min left{ -2;-1;0;1;2 right}$ Þ Số phần tử của tập hợp S là 5. Chọn D.
| Ví dụ 8: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $y=frac{1}{3}left( m+2 right){{x}^{3}}-left( m+2 right){{x}^{2}}+left( m-8 right)x+{{m}^{2}}-1$ luôn nghịch biến trên $mathbb{R}$.
A. $-2<m<1$. B. $m<-2$. C. $mle 1$. D. $mle -2$. |
Lời giải chi tiết
Với $m=-2$ ta có $y=-10x+3$ (hàm số này luôn nghịch biến trên $mathbb{R}$).
Với $mne -2$ ta có ${y}’=left( m+2 right){{x}^{2}}-2left( m+2 right)x+m-8$.
Hàm số nghịch biến trên $mathbb{R}$ $Leftrightarrow {y}’le 0text{ }left( forall xin mathbb{R} right)Leftrightarrow left{ begin{array} {} m+2<0 \ {} {{{text{Δ’}}}_{{{y}’}}}={{left( m+2 right)}^{2}}-left( m+2 right)left( m-8 right)le 0 \ end{array} right.$.
$Leftrightarrow left{ begin{array} {} m<-2 \ {} left( m+2 right)left( 9-m right)le 0 \ end{array} right.Leftrightarrow m<-2$
Kết hợp cả hai trường hợp. Chọn D.
| Ví dụ 9: [Đề thi tham khảo Bộ GD{}ĐT năm 2017] Hỏi có bao nhiêu số nguyên m để hàm số $y=left( {{m}^{2}}-1 right){{x}^{3}}+left( m-1 right){{x}^{2}}-x+4$ nghịch biến trên khoảng $left( -infty ;+infty right)$?
A. 2. B. 1. C. 0. D. 3. |
Lời giải chi tiết
Với $m=1Rightarrow y=-x+4$ hàm số nghịch biến trên $left( -infty ;+infty right)$.
Với $m=-1Rightarrow y=-2{{x}^{2}}-x+4$ không thỏa mãn nghịch biến trên $left( -infty ;+infty right)$.
Với $mne pm 1Rightarrow {y}’=3left( {{m}^{2}}-1 right){{x}^{2}}+2left( m-1 right)x-1$ nghịch biến trên $left( -infty ;+infty right)$
$Leftrightarrow {y}’le 0text{ }left( forall xin mathbb{R} right)Leftrightarrow left{ begin{array} {} left( {{m}^{2}}-1 right)<0 \ {} {{{text{Δ’}}}_{{{y}’}}}={{left( m-1 right)}^{2}}+3left( {{m}^{2}}-1 right)le 0 \ end{array} right.$
$Leftrightarrow left{ begin{array} {} -1<m<1 \ {} 2left( m-1 right)left( 2m+1 right)le 0 \ end{array} right.Leftrightarrow -frac{1}{2}le mle 1$
Kết hợp $min mathbb{Z}Rightarrow m=0,text{ }m=1$. Chọn A.
| .Ví dụ 10: Hàm số $y=frac{m}{3}{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+left( m+3 right)x+m$ luôn đồng biến trên $mathbb{R}$ thì giá trị m nhỏ nhất là
A. $m=1$. B. $m=-2$. C. $m=-4$. D. $m=0$. |
Lời giải chi tiết
Xét hàm số $y=frac{m}{3}{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+left( m+3 right)x+m$ với $xin mathbb{R}$, ta có ${y}’=m{{x}^{2}}-4x+m+3$.
Để hàm số luôn đồng biến trên $mathbb{R}$ $Leftrightarrow {y}’ge 0;forall xin mathbb{R}Leftrightarrow left{ begin{array} {} a=m>0 \ {} {{{text{Δ’}}}_{{{y}’}}}le 0 \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} m>0 \ {} 4-mleft( m+3 right)le 0 \ end{array} right.Leftrightarrow mge 1$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của m là 1. Chọn A.