Cho các số thực (0 < y < 1 le x le 3) thỏa mãn ({x^2}{y^2} – {x^2} – {y^2} + 3xy – x + y = 0). Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức (P = 2x + y) là (M,,m). Tính (M + m)?
Câu hỏi:
Cho các số thực (0 < y < 1 le x le 3) thỏa mãn ({x^2}{y^2} – {x^2} – {y^2} + 3xy – x + y = 0). Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức (P = 2x + y) là (M,,m). Tính (M + m)?
A. (12)
B. (frac{5}{2})
C. (frac{{27}}{4})
D. (frac{{37}}{4})
Lời giải
Chọn D
Ta có: ({x^2}{y^2} – {x^2} – {y^2} + 3xy – x + y = 0)( Leftrightarrow {left( {xy} right)^2} + xy = {left( {x – y} right)^2} + x – y) (1)
Xét hàm số: (fleft( t right) = {t^2} + t) với (t > 0) có (f’left( t right) = 2t + 1 > 0,forall t > 0), vậy hàm số (fleft( t right)) đồng biến trên (left( {0; + infty } right)).
Từ giả thiết (0 < y < 1 le x le 3) ta có (xy > 0;,,x – y > 0).
Khi đó (1) trở thành (fleft( {xy} right) = fleft( {x – y} right))( Leftrightarrow xy = x – y)( Leftrightarrow y = frac{x}{{x + 1}}).
Từ đó (P = 2x + frac{x}{{x + 1}}). Tìm GTLN, GTNN hàm số (gleft( x right) = 2x + frac{x}{{x + 1}}) trên (left[ {1;3} right]).
Ta có (g’left( x right) = 2 + frac{1}{{{{left( {x + 1} right)}^2}}} > 0,forall x in left[ {1;3} right]) hàm số (gleft( x right)) đồng biến trên (left( {1;3} right)).
Vậy (MaxP = gleft( 3 right) = frac{{27}}{4}); (min P = gleft( 1 right) = frac{5}{2}). Vậy (M + m = frac{{37}}{4}).
=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số