Câu hỏi:
Cho các số thực dương (a), (b) thỏa mãn (ln frac{{2 – 2ab}}{{a + b}} = 2ab + a + b – 2). Tìm giá trị nhỏ nhất ({P_{min }}) của (P = a + 2b).
A. ({P_{min }} = frac{{2sqrt {10}- 3}}{2}).
B. ({P_{min }} = frac{{3sqrt {10}- 7}}{2}).
C. ({P_{min }} = frac{{2sqrt {10}- 1}}{2}).
D. ({P_{min }} = frac{{2sqrt {10}- 5}}{2}).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Điều kiện: (ab < 1).
Ta có (ln frac{{2 – 2ab}}{{a + b}} = 2ab + a + b – 3)( Leftrightarrow ln left[ {2 – 2ab} right] + left( {2 – 2ab} right) = ln left( {a + b} right) + left( {a + b} right),left( * right)).
Xét hàm số (y = fleft( t right) = ln t + t) trên khoảng (left( {0; + infty } right)).
Ta có (f’left( t right) = frac{1}{t} + 1 > 0,forall t > 0). Suy ra hàm số (fleft( t right)) đồng biến trên khoảng (left( {0; + infty } right)).
Do đó, (left( * right) Leftrightarrow fleft[ {2left( {1 – ab} right)} right] = fleft( {a + b} right))( Leftrightarrow 2left( {1 – ab} right) = a + b)( Leftrightarrow aleft( {2b + 1} right) = 2 – b)( Leftrightarrow a = frac{{ – b + 2}}{{2b + 1}}).
Ta có (P = a + 2b = frac{{ – b + 2}}{{2b + 1}} + 2b = gleft( b right)).
(g’left( b right) = frac{{ – 5}}{{{{left( {2b + 1} right)}^2}}} + 2 = 0)( Leftrightarrow {left( {2b + 1} right)^2} = frac{5}{2})( Leftrightarrow 2b + 1 = frac{{sqrt {10} }}{2})( Leftrightarrow b = frac{{sqrt {10}- 2}}{4}).
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên suy ra ({P_{min }} = gleft( {frac{{sqrt {10}- 2}}{4}} right) = frac{{2sqrt {10}- 3}}{2}).
=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Logarit và hàm số lôgarit