Cho hai số thực (a), (b) đều lớn hơn (1). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức (S = frac{1}{{{{log }_{ab}}a}} + frac{1}{{{{log }_{sqrt[4]{{ab}}}}b}}) bằng
Câu hỏi:
Cho hai số thực (a), (b) đều lớn hơn (1). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức (S = frac{1}{{{{log }_{ab}}a}} + frac{1}{{{{log }_{sqrt[4]{{ab}}}}b}}) bằng
A. (frac{4}{9}).
B. (frac{9}{4}).
C. (frac{9}{2}).
D. (frac{1}{4}).
Lời giải
Chọn B
Ta có (S = frac{1}{{{{log }_{ab}}a}} + frac{1}{{{{log }_{sqrt[4]{{ab}}}}b}})( = {log _a}left( {ab} right) + {log _b}sqrt[4]{{ab}})
( = 1 + {log _a}b + frac{1}{4}left( {{{log }_b}a + 1} right))( = {log _a}b + frac{1}{{4{{log }_a}b}} + frac{5}{4}).
Đặt (x = {log _a}b). Do (a), (b > 1) nên (x > 0). Khi đó (S = x + frac{1}{{4x}} + frac{5}{4}).
Cách 1.
Ta có (S = x + frac{1}{{4x}} + frac{5}{4})( ge 2sqrt {x.frac{1}{{4x}}} + frac{5}{4} = frac{9}{4}) (Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số dương (x) và (frac{1}{4}x)).
Dấu xảy ra ( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x = frac{1}{{4x}}\x > 0end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x = pm frac{1}{2}\x > 0end{array} right. Rightarrow x = frac{1}{2}).
Vậy (min S = frac{9}{4}) tại ({log _a}b = frac{1}{2} Leftrightarrow b = sqrt a ).
Cách 2.
Ta có (S = x + frac{1}{{4x}} + frac{5}{4})
Xét hàm số (fleft( x right) = x + frac{1}{{4x}} + frac{5}{4}) trên khoảng (left( {0; + infty } right)), ta có
(f’left( x right) = 1 – frac{1}{{4{x^2}}})( = frac{{4{x^2} – 1}}{{4{x^2}}}); (f’left( x right) = 0)( Leftrightarrow )(x = – frac{1}{2} notin left( {0; + infty } right)) hoặc (x = frac{1}{2} in left( {0; + infty } right)).
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, ta có (mathop {min }limits_{left( {0,,; + infty } right)} fleft( x right) = frac{9}{4}) khi (x = frac{1}{2}).
Vậy (min S = frac{9}{4}) tại ({log _a}b = frac{1}{2} Leftrightarrow b = sqrt a ).
=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số