Câu hỏi:
Cho hàm số (f(x) = frac{{x + 1}}{{x – 1}}) có đồ thị (left( H right)). Tìm trên (Oy)tất cả các điểm từ đó kẻ được duy nhất một tiếp tuyến tới (left( H right)).
A. (M(0;1)).
B. ({M_1}(0;1)) và ({M_2}(0; – 1)).
C. Không tồn tại.
D. (M(0; – 1)).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Ta gọi (Mleft( {0;a} right))là điểm cần tìm. Phương trình đường thẳng (d) đi qua (M)có dạng (y = kx + a). Đường thẳng (d) là tiếp tuyến duy nhất của (left( H right) Leftrightarrow left{ begin{array}{l}frac{{x + 1}}{{x – 1}} = kx + a,,,(1)\frac{{ – 2}}{{{{left( {x – 1} right)}^2}}} = k,,,,,,,(2)end{array} right.)có nghiệm duy nhất.
Thế ((2)) vào ((1)) ta có phương trình (frac{{x + 1}}{{x – 1}} = frac{{ – 2}}{{{{left( {x – 1} right)}^2}}}x + a,,,left( * right))
Điều kiện (x ne 1).
Ta có (left( * right) Leftrightarrow left( {a – 1} right){x^2} – 2(a + 1)x + a + 1 = 0 Leftrightarrow gleft( x right) = 0,,,(**))
Yêu cầu bài toán dẫn đến phương trình ((**)) có một nghiệm (x ne 1).
( Leftrightarrow left[ begin{array}{l}left{ begin{array}{l}a = 1\x = frac{1}{2}end{array} right.\left{ begin{array}{l}a ne 1\Delta = 0\gleft( 1 right) ne 0end{array} right.end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = frac{1}{2};a = 1\left{ begin{array}{l}x = 0;a = – 1\ – 2 ne 0end{array} right.end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = frac{1}{2};a = 1\x = 0;a = – 1end{array} right.)
Vậy có hai điểm thõa mãn là ({M_1}left( {0;1} right)) và ({M_2}(0; – 1)).
=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số