Cho hàm số (y = fleft( x right) = 2020ln left( {{{rm{e}}^{frac{x}{{2020}}}} + sqrt {rm{e}} } right)). Tính giá trị biểu thức (T = f’left( 1 right) + f’left( 2 right) + … + f’left( {2020} right)).
Câu hỏi:
Cho hàm số (y = fleft( x right) = 2020ln left( {{{rm{e}}^{frac{x}{{2020}}}} + sqrt {rm{e}} } right)). Tính giá trị biểu thức (T = f’left( 1 right) + f’left( 2 right) + … + f’left( {2020} right)).
A. (T = frac{{2021}}{2} + frac{{sqrt e }}{{sqrt e + 1}}).
B. (T = 1011 + frac{{sqrt e }}{{sqrt e + 1}}).
C. (T = frac{{2019}}{2} + frac{{sqrt e }}{{sqrt e + 1}}).
D. (T = frac{{2019}}{2} + frac{e}{{sqrt e + 1}}).
Lời giải
Xét hàm số (gleft( t right) = frac{{{{rm{e}}^t}}}{{{{rm{e}}^t} + sqrt {rm{e}} }}) ta có (gleft( {1 – t} right) = frac{{{{rm{e}}^{1 – t}}}}{{{{rm{e}}^{1 – t}} + sqrt {rm{e}} }} = frac{{frac{{rm{e}}}{{{{rm{e}}^t}}}}}{{frac{{rm{e}}}{{{{rm{e}}^t}}} + sqrt {rm{e}} }} = frac{{sqrt {rm{e}} }}{{sqrt {rm{e}} + {{rm{e}}^t}}}).
Khi đó (gleft( t right) + gleft( {1 – t} right) = frac{{{{rm{e}}^t}}}{{{{rm{e}}^t} + sqrt {rm{e}} }} + frac{{sqrt {rm{e}} }}{{sqrt {rm{e}} + {{rm{e}}^t}}} = 1).
Xét hàm số (y = fleft( x right) = 2020ln left( {{{rm{e}}^{frac{x}{{2020}}}} + sqrt {rm{e}} } right)) ta có (y’ = f’left( x right) = frac{{{{rm{e}}^{frac{x}{{2020}}}}}}{{{{rm{e}}^{frac{x}{{2020}}}} + sqrt {rm{e}} }}).
Do với (forall n in {mathbb{N}^*}), (frac{n}{{2020}} + frac{{2020 – n}}{{2020}} = 1) nên ta có (f’left( n right) + f’left( {2020 – n} right) = gleft( {frac{n}{{2020}}} right) + gleft( {frac{{2020 – n}}{{2020}}} right) = 1).
Khi đó
(T = f’left( 1 right) + f’left( 2 right) + … + f’left( {2020} right))
( = left[ {f’left( 1 right) + f’left( {2019} right)} right] + left[ {f’left( 2 right) + f’left( {2018} right)} right] + … + left[ {f’left( {1009} right) + f’left( {1011} right)} right] + f’left( {1010} right) + f’left( {2020} right))
( = 1 + 1 + … + 1 + frac{{{{rm{e}}^{frac{{1010}}{{2020}}}}}}{{{{rm{e}}^{frac{{1010}}{{2020}}}} + sqrt {rm{e}} }} + frac{{{{rm{e}}^{frac{{2020}}{{2020}}}}}}{{{{rm{e}}^{frac{{2020}}{{2020}}}} + sqrt {rm{e}} }})( = 1009 + frac{1}{2} + frac{e}{{sqrt e + 1}})( = frac{{2019}}{2} + frac{e}{{sqrt e + 1}}).
=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Logarit và hàm số lôgarit