Cho hình chóp tứ giác đều(S.ABCD),(O)là giao điểm của(AC)và(BD), biết. Gọi(alpha )là góc giữa(SA)với mặt phẳng((SBC)). Tính(sin alpha ).
Câu hỏi:
Cho hình chóp tứ giác đều(S.ABCD),(O)là giao điểm của(AC)và(BD), biết. Gọi(alpha )là góc giữa(SA)với mặt phẳng((SBC)). Tính(sin alpha ).
A. (sin alpha= frac{4}{{sqrt {30} }}).
B. (sin alpha= frac{2}{{sqrt {15} }}).
C. (sin alpha= frac{2}{{sqrt {30} }}).
D. (sin alpha= frac{4}{{sqrt {15} }}).
GY:
Gọi(H)là hình chiếu của(A)trên mặt phẳng((SBC)).
Ta có(widehat {left( {SA,,,(SBC)} right)} = widehat {ASH} = alpha )và(sin alpha= frac{{AH}}{{SA}} = frac{{dleft( {A,,,left( {SBC} right)} right)}}{{SA}}).
Ta có(AO cap (SBC) = C),suy ra(frac{{dleft( {A,,,left( {SBC} right)} right)}}{{dleft( {O,,,left( {SBC} right)} right)}} = frac{{AC}}{{OC}} = 2).
Kẻ(OI bot BC)và(OK bot SI)( Rightarrow OK bot (SBC))và(OK = dleft( {O,,,left( {SBC} right)} right)).
Ta có(frac{1}{{O{K^2}}} = frac{1}{{S{O^2}}} + frac{1}{{O{I^2}}} = frac{1}{{{a^2}}} + frac{4}{{{a^2}}} = frac{5}{{{a^2}}})( Rightarrow OK = frac{a}{{sqrt 5 }}).
Suy ra(dleft( {O,,,left( {SBC} right)} right) = frac{a}{{sqrt 5 }})( Rightarrow dleft( {A,,,left( {SBC} right)} right) = frac{{2a}}{{sqrt 5 }}).
(SA = sqrt {S{O^2} + O{A^2}}= sqrt {{a^2} + frac{{2{a^2}}}{4}}= frac{{asqrt 6 }}{2}).
Vậy(sin alpha= frac{{dleft( {A,,,left( {SBC} right)} right)}}{{SA}} = frac{4}{{sqrt {30} }}).
=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Khoảng cách và góc trong không gian